數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)專題27.5 相似三角形的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型（人教版）（教師版）

專題27.5相似三角形的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型【人教版】【知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的應(yīng)用】在實(shí)際生活中，我們面對(duì)不能直接測(cè)量物體的高度和寬度時(shí)，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立相似三角形模型，再利用對(duì)應(yīng)邊的比相等來(lái)達(dá)到求解的目的。同時(shí)，需要掌握并應(yīng)用一些簡(jiǎn)單的相似三角形模型?！绢}型1相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】【例1】（2020秋?曾都區(qū)期末）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，它奠定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的基本框架，以計(jì)算為中心，密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題為目的．書中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何．”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長(zhǎng)為（）A．2517 B．6017 C．10017【解題思路】根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DE∥BC，則△ADE∽△ACB，列比例式可得結(jié)論．【解答過(guò)程】解：∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，設(shè)ED＝x，則CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC∴x12∴x=60∴正方形CDEF的邊長(zhǎng)為6017故選：B．【變式1-1】（2021?廣西模擬）《九章算術(shù)》中，有一數(shù)學(xué)史上有名的測(cè)量問(wèn)題：“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問(wèn)：出南門幾何步而見木？”今譯如下：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長(zhǎng)9里，南邊城墻AD長(zhǎng)7里，東門點(diǎn)E，南門點(diǎn)F分別位于AB，AD的中點(diǎn)，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，則FH的長(zhǎng)為（）A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里【解題思路】首先根據(jù)題意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式求得答案即可．【解答過(guò)程】解：EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，HG經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴FGFA∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴153.5解得：FH＝1.05里．故選：B．【變式1-2】（2021春?蘇州期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就輝煌．著作《九章算術(shù)》中就有“井深幾何”問(wèn)題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問(wèn)井深幾何？”現(xiàn)在我們可以解釋為：如圖，矩形BCDE的邊BE、CD表示井的直徑，A在CB的延長(zhǎng)線上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根據(jù)以上條件，可求得井深BC為57.5尺．【解題思路】利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求解即可．【解答過(guò)程】解：設(shè)BC＝x尺．∵四邊形BCDE是矩形，∴BF∥CD，∴△AFB∽△ADC，∴FBDC∴0.45解得x＝57.5，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝57.5是分式方程的解．∴BC＝57.5（尺）．故答案為：57.5．【變式1-3】（2020?薌城區(qū)校級(jí)一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，它奠定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的基本框架，以計(jì)算為中心，密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題為目的．書中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和12，求它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長(zhǎng)．【解題思路】根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DE∥BC，則△ADE∽△ACB，列比例式可得結(jié)論．【解答過(guò)程】解：∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，設(shè)ED＝x，則CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC∴x12∴x=60∴正方形CDEF的邊長(zhǎng)為6017【題型2相似三角形的應(yīng)用（影長(zhǎng)問(wèn)題）】【例2】（2021?津南區(qū)模擬）如圖，身高1.8米的小石從一盞路燈下B處向前走了8米到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長(zhǎng)是2米，則路燈的高AB為9米．【解題思路】根據(jù)CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，進(jìn)而得出比例式求出即可．【解答過(guò)程】解：由題意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，則BE＝BC+CE＝10米，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA∴CDAB=CE解得AB＝9（米），即路燈的高AB為9米；故答案為：9．【變式2-1】（2020秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）為更好籌備“十四運(yùn)”的召開，小穎及其小組成員將利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一個(gè)廣告牌的高度EF．在第一次測(cè)量中，小穎來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，其影子末端與廣告牌影子末端重合于點(diǎn)H，其中DH＝1m．隨后，組員在直線DF上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線DF上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)G．鏡子不動(dòng)，小穎從點(diǎn)D沿著直線FD后退5m到B點(diǎn)時(shí)，恰好在鏡子中看到頂端E的像與標(biāo)記G重合，此時(shí)BG＝2m．如圖，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小穎的身高為1.5m（眼睛到頭頂距離忽略不計(jì)），平面鏡的厚度忽略不計(jì)．根據(jù)以上信息，求廣告牌的高度EF．【解題思路】根據(jù)鏡面反射原理結(jié)合相似三角形的判定方法得出△EFH∽△CDH，△EFG∽△ABG，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出EF的長(zhǎng)．【解答過(guò)程】解：設(shè)廣告牌的高度EF為xm，依題意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．∴GD＝DB﹣BG＝3m，∴FG＝GD+DF＝4m．∵CD⊥BF，EF⊥BF，∴CD∥EF．∴△EFH∽△CDH．∴EFCD=FH∴x1.5∴DF=23由平面鏡反射規(guī)律可得：∠EGF＝∠AGB．∵AB⊥BF，∴∠ABG＝90°＝∠EFG．∴△EFG∽△ABG．∴EFAB=FG∴x1.5∴x＝3．故廣告牌的高度EF為3m．【變式2-2】（2020?秦皇島一模）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈BC下的影長(zhǎng)為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方．①計(jì)算小亮在路燈AD下的影長(zhǎng)；②計(jì)算AD的高．【解題思路】解此題的關(guān)鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【解答過(guò)程】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EPA＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴EP∴1.8∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴FQ∴1.8∴DA＝12．【變式2-3】如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B．當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部；當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小華的身高是1.6m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求兩個(gè)路燈之間的距離．（2）當(dāng)小華走到路燈B的底部時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)是多少？【解題思路】（1）如圖1，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=16AB，再證明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=16AB，則16AB+12+AB＝AB（2）如圖2，他在路燈A下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質(zhì)得BNBN+18=1.6【解答過(guò)程】解：（1）如圖1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，APAB=PM∴AP=16∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴BQBA=QN∴BQ=16而AP+PQ+BQ＝AB，∴16AB+12+16AB∴AB＝18．答：兩路燈的距離為18m；（2）如圖2，他在路燈A下的影子為BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴BNAN=BMAC，即答：當(dāng)他走到路燈B時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)是3.6m．【題型3相似三角形的應(yīng)用（杠桿問(wèn)題）】【例3】（2020秋?漢壽縣期末）學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為0.2m．【解題思路】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，據(jù)此得AOCO【解答過(guò)程】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，則AOCO∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，∴61解得：CD＝0.2，∴欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為0.2m．故答案為：0.2．【變式3-1】．（2020?南安市校級(jí)自主招生）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起10cm，已知杠桿的動(dòng)力臂AC與阻力臂BC之比為6：1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓60cm．【解題思路】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得端點(diǎn)A向下壓的長(zhǎng)度．【解答過(guò)程】解：如圖；AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN；∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN；∴ACBC∵AC與BC之比為6：1，∴ACBC=AMBN=6∴當(dāng)BN≥10cm時(shí)，AM≥60cm，故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端點(diǎn)A向下壓60cm．故答案為：60．【變式3-2】太原市某學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置AB繞定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到DC位置，已知欄桿AB的長(zhǎng)為3.5m，OA的長(zhǎng)為3m，C點(diǎn)到AB的距離為0.3m．支柱OE的高為0.5m，則欄桿D端離地面的距離為2.3m．【解題思路】過(guò)D作DG⊥AB于G，過(guò)C作CH⊥AB于H，則DG∥CH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】解：過(guò)D作DG⊥AB于G，過(guò)C作CH⊥AB于H，則DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴DGCH∵欄桿從水平位置AB繞固定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴DG0.3∴DG＝1.8m，∵OE＝0.5m，∴欄桿D端離地面的距離為1.8+0.5＝2.3m．故答案是：2.3m．【變式3-3】（2020秋?秦都區(qū)期末）隨著生活水平的提高，家用轎車已經(jīng)成為很多人們出行的交通工具，為此修建了很多停車場(chǎng)．如圖，已知某停車場(chǎng)入口處的欄桿的長(zhǎng)臂AO長(zhǎng)是12米，短臂BO長(zhǎng)是1.1米，當(dāng)長(zhǎng)臂端點(diǎn)垂直升高A′C＝9米時(shí)，短臂端點(diǎn)垂直下降了多少米？（欄桿寬度忽略不計(jì)）【解題思路】欄桿長(zhǎng)短臂在升降過(guò)程中，將形成兩個(gè)相似三角形，利用對(duì)應(yīng)邊成比例解題．【解答過(guò)程】解：∵A′C⊥AB，B′D⊥AB，∴∠OCA′＝∠ODB′＝90°，又∵∠COA′＝∠DOB′，∴△OCA′∽△ODB′．∴B'DA'C即B'D9∴B/【題型4相似三角形的應(yīng)用（建筑物問(wèn)題）】【例4】（2021?市中區(qū)一模）如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測(cè)量“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知直角三角紙板中DE＝16cm，EF＝12cm，測(cè)得眼睛D離地面的高度為1.8米，他與“步云閣”的水平距離CD為104m，則“步云閣”的高度AB是（）m．A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5【解題思路】先判定△DEF和△DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BC的長(zhǎng)，再加上AC即可得解．【解答過(guò)程】解：在△DEF和△DCB中，∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB，∴DEEF即1612解得：BC＝78（m），∵AC＝1.8m，∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m），即樹高79.8m，故選：C．【變式4-1】（2021?韓城市模擬）真身寶塔，位于陜西省扶風(fēng)法門鎮(zhèn)法門寺內(nèi)，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和曉靜很想知道真身寶塔的高度PQ，于是，有一天，他們帶著標(biāo)桿和皮尺來(lái)到法門寺進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小玲在C處放置一平面鏡，她從點(diǎn)C沿QC后退，當(dāng)退行1.8米到B處時(shí)，恰好在鏡子中看到塔頂P的像，此時(shí)測(cè)得小玲眼睛到地面的距離AB為1.5米；然后，曉靜在F處豎立了一根高1.6米的標(biāo)桿EF，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)M、標(biāo)桿頂點(diǎn)E和塔頂P在一條直線上，此時(shí)測(cè)得FM為2.4米，CF為11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，點(diǎn)Q、C、B、F、M在一條直線上，請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算真身寶塔的高度PQ．【解題思路】根據(jù)已知條件推出△PCQ∽△ACB，求得QC＝1.2PQ，又根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PQ1.6【解答過(guò)程】解：∵∠PQC＝∠ABC＝90°，∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴PQAB∴PQ1.5∴QC＝1.2PQ，∵∠PQF＝∠EFM＝90°，∠PMQ＝∠EMF，∴△PMQ∽△EMF，∴PQEF∴PQ1.6即PQ1.6∴PQ＝47，答：真身寶塔的高度PQ為47米．【變式4-2】（2021?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，建筑物BC上有一根旗桿AB，小芳計(jì)劃用學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)量該建筑物的高度，測(cè)量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB＝3米，F(xiàn)D＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請(qǐng)你幫助小芳求出這座建筑物的高BC．【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出CD，進(jìn)而解答即可．【解答過(guò)程】解：由題意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，∴△ACE∽△FDE，∴ACFD即3+BC4∴CD=5BC?5由題意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，∴△BCG∽△FDG，∴BCFD即BC4∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×5BC?5∴BC＝14（米），∴這座建筑物的高BC為14米．【變式4-3】（2021?鳳翔縣一模）青龍寺是西安最著名的櫻花觀賞地，品種達(dá)到了13種之多，每年3、4月陸續(xù)開放的櫻花讓這里成為了花的海洋．一天，小明和小剛?cè)デ帻埶掠瓮?，想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棵櫻花樹的高度（櫻花樹四周被圍起來(lái)了，底部不易到達(dá)）．小明在F處豎立了一根標(biāo)桿EF，小剛走到C處時(shí)，站立在C處看到標(biāo)桿頂端E和樹的頂端B在一條直線上．此時(shí)測(cè)得小剛的眼睛到地面的距離DC＝1.6米；然后，小剛在C處蹲下，小明平移標(biāo)桿到H處時(shí)，小剛恰好看到標(biāo)桿頂端G和樹的頂端B在一條直線上，此時(shí)測(cè)得小剛的眼睛到地面的距離MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，F(xiàn)H＝1.6米，點(diǎn)C、F、H、A在一條直線上，點(diǎn)M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根據(jù)以上測(cè)量過(guò)程及測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出這棵櫻花樹AB的高度．【解題思路】過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，交GH于點(diǎn)K，構(gòu)造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度即可．【解答過(guò)程】解：過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，交GH于點(diǎn)K，由題意可得：DP＝MQ＝AC，DN＝CF＝2米，MK＝CH，AP＝DC＝1.6米，AQ＝HK＝MC＝0.8米．∵∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，∴△DEN∽△DBP，∴BPEN∴AB?1.62.4?1.6∵∠GMK＝∠BMQ，∠GKM＝BQM＝90°，∴△GMK∽△BMQ∴BQGK∴AB?0.82.4?0.8∴AB＝8.8（米）．答：這棵櫻花樹AB的高度是8.8米．【題型5相似三角形的應(yīng)用（河寬問(wèn)題）】【例5】（2021?津南區(qū)模擬）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一點(diǎn)A，再在河的這一邊選定點(diǎn)B和點(diǎn)C，使得AB⊥BC，然后選定點(diǎn)E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點(diǎn)為D，若測(cè)得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的寬是多少嗎？【解題思路】先證明△ABD∽△ECD，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出AB的長(zhǎng)度．【解答過(guò)程】解：由已知得，∠ABD＝∠DCE＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC將BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，代入可得：AB50解得：AB＝150．答：小河的寬是150m．【變式5-1】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一定A，再在河的這一邊選定點(diǎn)B和點(diǎn)C，使得AB⊥BC，然后選定點(diǎn)E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點(diǎn)D，若測(cè)得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，請(qǐng)你求出小河的寬度是多少米？【解題思路】先證明△ABD∽△ECD，然后利用相似比計(jì)算出AB即可得到小河的寬度．【解答過(guò)程】解：∵AB⊥BD，EC⊥BC，∴AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴ABCE=BD∴AB＝210．答：小河的寬度是210米．【變式5-2】（2021?崆峒區(qū)一模）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著再過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R．如果測(cè)得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的寬度PQ．【解題思路】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出PQPQ+QS【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意得出：QR∥ST，則△PQR∽△PST，故PQPQ+QS∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，∴PQPQ+45解得：PQ＝90（m），∴河的寬度為90米．【變式5-3】（2020秋?安國(guó)市期中）如圖，洋洋和華華用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量一條小河的寬度，河的對(duì)岸有一棵大樹，底部記為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，并且使AB與河岸垂直，在B處與地面垂直豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D，與地面垂直豎起標(biāo)桿DE，使得A、C、E三點(diǎn)共線．經(jīng)測(cè)量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的寬度．【解題思路】由BC⊥AD，ED⊥AD，可得∴△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：設(shè)小河的寬度AB＝xm，根據(jù)題意得：BC⊥AD，ED⊥AD，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：ED，∴x：（x+5）＝1：1.5，解得x＝10，∴AB＝10，即小河的寬度為10米．【題型6相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問(wèn)題）】【例6】（2020秋?大理市期末）如圖是一塊三角形鋼材ABC，其中邊BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是（）A．16 B．24 C．30 D．36【解題思路】根據(jù)正方形的對(duì)邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊或其它兩邊的延長(zhǎng)線，得到的三角形與原三角形相似”，設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為xcm，則KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果．【解答過(guò)程】解：∵四邊形EGHF為正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為xcm，則KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，∵AD⊥BC，∴EFBC∴x60解得：x＝24．即：正方形零件的邊長(zhǎng)為24cm．故選：B．【變式6-1】（2020秋?陽(yáng)山縣期末）如圖，有一塊銳角三角形材料，邊BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC，且EH＝2EF，則這個(gè)矩形零件的長(zhǎng)為（）A．36mm B．40mm C．72mm D．80mm【解題思路】設(shè)矩形的寬EF＝xmm，則長(zhǎng)EH＝2xmm，由矩形的性質(zhì)得到EH∥BC，EF∥AD，推出△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，然后進(jìn)行計(jì)算即可求得結(jié)果．【解答過(guò)程】解：設(shè)矩形的寬EF＝xmm，則長(zhǎng)EH＝2xmm，∵四邊形EFGH為矩形，∴EH∥BC，EF∥AD，∴△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，∴EFAD=BE∴x45=BE∵BE+AE＝AB，∴x45解得：x＝18，∴EF＝18mm，EH＝36mm，故選：A．【變式6-2】（2021?唐山開學(xué)）如圖，Rt△ABC為一塊鐵板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小鐵板，有如圖所示的兩種加工方案，請(qǐng)