考點(diǎn)15空間幾何的平行與垂直-2024年新高考藝體生一輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)15空間幾何的平行與垂直一．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b二．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b如果兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的一直線平行與另外平面線線平行相似比（常用三角形的中位線）構(gòu)造平行四邊形（證明一組對(duì)邊平行且相等）平行的傳遞性線面垂直的性質(zhì)：垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行線面平行的性質(zhì)面面平行的性質(zhì)平面向量空間向量線面平行證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．五．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b六．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α七．證明線線垂直的思路考點(diǎn)一證明線面平行常用方法【例11】（2023·云南昭通）如圖，在四棱錐中，正方形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】

連結(jié)交于點(diǎn).因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【例12】（2023·遼寧）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，、分別為、的中點(diǎn)，證明：平面.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，四邊形為菱形，所以且.所以且.故四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【例13】（2023北京）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)在棱上.證明：當(dāng)時(shí)，直線平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié)，，，，，又面，面，平面.【例14】（2023·安徽）已知四棱錐中，，設(shè)平面平面，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：因?yàn)椋矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?【例15】（2023·江蘇）如圖，在多面體ABCDEE中，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；【?6】（2023江西）在如圖所示的幾何體中，，，均為等邊三角形，且平面平面，平面平面，證明：；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖示：分別取，的中點(diǎn)，，連結(jié)，，因?yàn)?，△均為全等的等邊三角形，故，且又因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥?，平面平面且交于，故面，面從而有，又，進(jìn)而得四邊形為平行四邊形，得：，又即：【變式】1．（2023·遼寧）如圖，四棱錐中，底面為正方形，E為中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】連結(jié)交于，連結(jié)如下圖所示：因?yàn)闉檎叫?，所以是中點(diǎn)．又為中點(diǎn)，所以．平面，平面，所以平面．2．（2023·江西）如圖，在四棱錐中，為線段的中點(diǎn)，，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)椋瑒t四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)槠矫妫矫妫势矫?3．（2023·內(nèi)蒙古）如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：因?yàn)樵谡襟w中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?4．（2023·甘肅）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，M，N分別為，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】記的中點(diǎn)為，連結(jié)，如圖，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，所以，又是的中點(diǎn)，則，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面平面，所以平面.5．（2023·河南）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是底面的中心，求證:平面【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】證明：連接，設(shè)，連接.且，是平行四邊形..又平面，平面，平面.6（2023·福建）如圖，四邊形為矩形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】取的中點(diǎn)，在上取點(diǎn)使，連接、、，

，且，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，且，且，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面；7．（2023·重）五棱錐中，，，，，，為的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，可得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，平面?.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面平面，，，是等邊三角形，O，M分別為線段AB，PB的中點(diǎn)，且，，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】∵O，M分別為線段AB，PB的中點(diǎn)，∴．∵平面，平面，∴平面．∵，，，∴，，∴四邊形ADCO為平行四邊形，則．∵平面，平面，∴平面．∵，平面，∴平面平面．∵平面，∴平面．9．（2023·江西）如圖，已知四邊形為菱形，對(duì)角線與相交于O，，平面平面直線，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，平面，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫嬷本€平面，所以；10．（2023春·山東濱州）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，，AB=2CD，設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，PA，PB的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，證明：平面DEF．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)M，因?yàn)椋珹B=2CD，所以D為AM的中點(diǎn)，因?yàn)镻A的中點(diǎn)為E，所以，因?yàn)槠矫鍰EF，平面DEF，所以平面DEF，又P，平面PAD，P，平面PBC，所以平面平面PBC=PM，即直線l為直線PM．所以平面DEF．考點(diǎn)二證明面面平行【例2】（2023·遼寧朝陽(yáng)）如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，，證明：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，平面，所以平?因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又平面，平面，所以平?因?yàn)椋矫?，所以平面BCF//平面.【變式】1．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）如圖所示的多面體由正四棱柱與正四棱錐組合而成，與交于點(diǎn)，，，，證明：平面平面【答案】詳見(jiàn)解析；【解析】正四棱錐中，連接交于O，則平面則，又，，則，又，則四邊形為菱形，則，又平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面平面；2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的多面體中，形為矩形，求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】由平面平面，所以平面，四邊形為矩形，則，平面平面，所以平面，又平面平面，平面平面.3（2023·陜西）如圖所示，已知點(diǎn)P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M，N，Q分別，，的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明平面平面；（2）求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）證明：因?yàn)镸，N，Q分別，，的中點(diǎn)，所以，又平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD,平面ABCD,因?yàn)?，平面MNQ,所以平面平面，（2）證明：因?yàn)椋矫妫矫妫云矫?，又平面平面，平面，所?考點(diǎn)三證明線面垂直【例31】（2023·浙江溫州）如圖，直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O為的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】是正三角形，為的中點(diǎn)，，又是直三棱柱，平面，又平面，，又平面，平面.【例32】（2023·廣西）如圖，在四面體中，，分別是線段，上的點(diǎn)且，，，，，，，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】

因，，，故三角形為直角三角形，所以，由，在中，由余弦定理，，可得，由知①如圖，過(guò)做的垂線，垂足為，由于，則有，又由于，所以有，則有，因則有，又由于，，所以有，則②又，，面，由①②可得：平面.【例33】（2023·重慶）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，且分別為棱的中點(diǎn)，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】在中，易知且是的中點(diǎn)，故，且在正方形中，，面面，面面，面面，故面，易知面，故，又，，綜上【例34】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，為中點(diǎn)，，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)槠矫?，四邊形為矩形，因此兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)?，所以，即；因?yàn)?，所以，即；又，平面，因此平面．【?4】（2023·廣東佛山）已知平行六面體的各條棱長(zhǎng)均為2，且有，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】記，因?yàn)槠叫辛骟w的各條棱長(zhǎng)均為2，，所以，，因?yàn)?，，所以，同理，則，又平面，所以平面.【變式】1.（2023·北京·統(tǒng)考高考真題節(jié)選）如圖，在三棱錐中，平面，，求證：平面PAB；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)椋?，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)?，，所以平?2.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，在平面ABC的射影恰為等邊三角形ABC的中心，且，，證明：平面【答案】證明見(jiàn)詳解【解析】設(shè)在平面ABC的射影為，連接，由題意可得：平面ABC，，且平面ABC，則，可得，則，可得，同理可得：，且，平面，可得平面，又因?yàn)?/，所以平面.3．（2023·福建）如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】由三棱柱的性質(zhì)可，∵平面ABC，∴平面，∵平面，∴，∵為的中點(diǎn)，且是等邊三角形，∴，∵平面,,∴平面.4．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱中，M為的中點(diǎn)，，，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如圖，連接.正四棱柱中，M為的中點(diǎn)，，，，，，又，.，.同理可得.，平面，平面，平面.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形和四邊形是全等的直角梯形，且這兩個(gè)梯形所在的平面相互垂直，其中，，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又，即，且平面，所以平?又平面，故.又，即，且，平面，所以平面.6．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱中，為的中點(diǎn)，，求證：平面；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：正四棱柱中平面，又四邊形是正方形，得，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：，，因?yàn)?，所以即，又平面，，所以平?考點(diǎn)四線線垂直【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，可得，因?yàn)椋?，可知與均為等邊三角形，即，可得，且，平面，則平面，而平面，所以．【變式】1．（2024·云南）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，，，，且在中，，，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接BE．∵，∴．∵且，∴四邊形ABED是矩形，∴．又∵，即，且，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．∵平面PAD，∴．2．（2023·湖北）如圖，在梯形ABCD中，，將沿著B(niǎo)D折起到的位置，使得平面平面，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】過(guò)D作，垂足為N，因?yàn)槠矫嫫矫鍼BC，平面平面，平面，所以平面PBC，因?yàn)槠矫鍼BC，所以，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?．（2023湖南）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，且在中，，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接.又且，四邊形是矩形，.，即，平面，且平面.平面.考點(diǎn)五面面垂直【例5】（2023·遼寧沈陽(yáng)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面為棱的中點(diǎn)，證明：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】平面底面，平面底面，又平面，底面，又底面，，又底面為正方形，則，平面，平面，又平面，平面平面；【變式】1．（2023·山東威海）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連接與交于點(diǎn)，連接，底面為菱形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又平面,平面，又平面，平面平面；2．（2023·河南）如圖，在幾何體中，平面，求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)槠矫妫?，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，則平面，所以，又，所以，取的中點(diǎn)，連接，則，且，又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?．（2024·黑龍江）如圖，在四棱錐中，，．求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如圖：

因?yàn)椋詾榈冗吶切?，又，所以，又，所?因?yàn)?，所以為直角三角形?又，，為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，平面，所以：平面平面.1．（2023河北）在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析.【節(jié)選】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以.又平面，平面，所以平面.2．（2023·廣西）如圖，正四棱錐中，E為PA的中點(diǎn)，求證：平面EBD.【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO.四邊形ABCD為正方形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，又E為PA中點(diǎn)，，又面，面EBD，面.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且．求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又平面，所以平面?．（2023·河南）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】設(shè)的中點(diǎn)為N，連接，而，因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，故，又，故，則四邊形為平行四邊形，故，平面，平面，故平面；5．（2023·河北）如圖，在四棱錐中，，設(shè)分列為棱的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】取的中點(diǎn)，連接，則，且，又，且，于是，四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，所以平面.6．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，為頂點(diǎn)，底面為正方形，設(shè)面與面交于交線，求證：【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】在正方形中，平面，平面，所以平面，又平面，面和面交于，所以.7．（2023·北京）如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：取的中點(diǎn)為，連接．因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫?，所以，，平面，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．平面，平面，所以平面，平面，且，所以平面平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面?．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)橹彼睦庵?，又，且平面，平面，平面，平面而，平?平面平面，又平面平面9．（2023·陜西）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，且，點(diǎn)在棱上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為中點(diǎn)，若，求證：直線//平面【答案】答案見(jiàn)詳解；【解析】在上找一點(diǎn),使得,∵,，∴∥，∵∥，∴，∥，∴四邊形為平行四邊形，∴∥，又∵平面，平面，∴直線//平面；10．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】菱形中，設(shè)的交點(diǎn)為，連接，由∽且為的中點(diǎn)，得，在中，，所以，所以，又平面，平面，則平面.11．（2023·四川綿陽(yáng)）如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】取的中點(diǎn),連接∵,∴是等腰三角形，∵點(diǎn)為的中點(diǎn).∴.,,∵,可得四邊形是平行四邊形，∴,又∵平面平面，∴.平面;12.（2023·山西）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，平面，過(guò)的平面交平面于，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：因?yàn)槠矫?，過(guò)的平面交平面于，即平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，四邊形為菱形，則，平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.又平面，所以平面.13．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】設(shè)的交點(diǎn)為，連接，易知，，且，所以，所以，得，在中，，所以，又平面，平面，則平面.14.（2023·湖北荊門）如圖，點(diǎn)為半圓弧上異于，的點(diǎn)，在矩形中，，設(shè)平面與平面的交線為，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴平面又平面，平面平面，∴，∵平面，不在平面內(nèi)，∴平面.15．（2023·浙江）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，證明：平面【答案】詳見(jiàn)解析.【解析】證明：如圖所示：

取MD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镸是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，所以，又平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，同理平面BCD，又平面，所以平面平面BCD，又平面EFG，則平面；16．（2023貴溪市）在直三棱柱中,分別為的中點(diǎn),，證明:平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連接交于點(diǎn),連接,延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn).因?yàn)樗运运詣t又因?yàn)樗詾榈闹形痪€,則因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫?7．（2023·上海）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，證明：直線平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：如上圖，取中點(diǎn)，連接、，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴在矩形中，在中，又∵平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，又∵平面，平面，，∴平面平面，又∵平面，∴平面.18．（2023·遼寧）如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且為棱中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)闉槔庵悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；19．（2023·四川）將長(zhǎng)方體沿截面截去一個(gè)三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】連接，如圖所示，∵長(zhǎng)方形中，，分別是，的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，又∵長(zhǎng)方體中且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.又∵平面，平面，∴平面20（2023·新疆）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，因?yàn)槭侵崩庵?，所以平面，因此平面的一個(gè)法向量為，所以，即，又平面，所以平面；21．（2023·云南·高二學(xué)業(yè)考試）已知：如圖，四棱錐，平面，四邊形是平行四邊形，為中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?，，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，又因平面，所?22．（2023·安徽）如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，所以，，因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，又，即，又平面，所以平面.（2）由（1）知，所以，所以.23．（2024·江蘇揚(yáng)州）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，，求證：WSD【答案】證明見(jiàn)解析【解析】在梯形ABCD中，由，，，得，所以，所以，又因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，則，因?yàn)槠矫?，平面PAC，且，所以平面PAC．又平面PAC，所以．24．（四川省遂寧市2024屆高三一模數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面，求證：【答案】證明見(jiàn)講解；【解析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所?25．（2023·云南昆明）如圖甲，在矩形中，，，，為邊上的點(diǎn)，且.將沿翻折，使得點(diǎn)到，滿足平面平面，連接，，如圖乙，求證：平面平面；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】過(guò)在平面內(nèi)作交于，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?平面，故，又，，且平面，所以平面，平面，故；在中，，，.同理，在中，，，可得.又，平面，平面.又平面，平面平面.26．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，側(cè)棱底面，且，，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，而，，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以；而，，平面，所以平面，平面，所以，即.27．（2024·黑龍江哈爾濱）如圖，在以為頂點(diǎn)，母線長(zhǎng)為的圓錐中，底面圓的直徑長(zhǎng)為是圓所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且是圓的切線，連接交圓于點(diǎn)，連接，求證：平面【答案】證明見(jiàn)詳解【解析】因?yàn)槭菆AO的直徑，與圓O切于點(diǎn)A，所以，又底面圓，底面圓，，，平面，平面，平面，，在中，，，則，，因?yàn)椋矫?，所以平?28．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?因?yàn)?，，平面，且，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，平面，且，所以平?29．（2023·河南）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：取中點(diǎn)，連接，由于為中點(diǎn)，且四邊形為正方形，因此，由于為中點(diǎn)，且是正方體，因此平面，又平面，則，因此平面，則平面，又平面，因此；30．（2023·江西）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如圖所示：連接，因?yàn)闉槔馀_(tái)，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?31．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，且，，E為棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PB上的點(diǎn)，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，，即，平面ABC，所以平面PAC.因?yàn)槠矫鍼AC，所以.因?yàn)?，E是PC的中點(diǎn)，所以.又，平面PBC，所以平面PBC.因?yàn)槠矫鍼BC，所以.32．（2023上·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是平行四邊形，且，，，，，證明：平面【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，，又，由余弦定理得，故，所以，由勾股定理逆定理得⊥，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平?33．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐中,，，為的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖，連接，相交于點(diǎn)．因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，．同理，，．又，所以．因?yàn)?，平面，，所以平面．又因?yàn)槠矫妫?，即．因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，所以平行四邊形為菱形，則．又因?yàn)?，平面，，所以平面?4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，四邊形CDEF是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，，，G，H分別為CF，DE的中點(diǎn)，證明：平面BDE【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：在中，，，，∴由余弦定理得，∴，∴．∵，∴．在矩形CDEF中，，又，平面BDE，∴平面BDE．∵在矩形CDEF中，G，H分別為CF，DE的中點(diǎn)，∴，∴平面BDE．35．（2023貴州銅仁）如圖,在直角梯形中，，，且，現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面互相垂直，求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】結(jié)合題意：連接,在直角梯形中，，易得,,,四邊形為正方形，,由平面與平面互相垂直，且平面平面,平面面,面，，,且面,面,面,平面平面.36（2023·內(nèi)蒙古）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在上，且，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】由平面，截面為矩形，以D為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，又，即，則，所以，，，，且平面，所以平面．37.（2023·河南）如圖，已知斜四棱柱，底面為等腰梯形，E為線段的中點(diǎn)，四邊形為菱形，點(diǎn)到底面的距離為，且為線段的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】

連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，，又因?yàn)榈酌鏋榈妊菪危珽為線段的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平?38．（2023·四川）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，二面角的大小是，分別是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】依題意，∵平面，平面，∴，∵底面是正方形，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，，為二面角的平面角，即，即，∵是中點(diǎn)，∴，又平面，∵平面，∴，又∵，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面，∴平面；39．（2023·江蘇）如圖，在四棱錐中，是正三角形，，平面平面，是棱上動(dòng)點(diǎn)，求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，所以，即，取AD的中點(diǎn)，連結(jié)PO，因?yàn)槭钦切?，所以又面面ABCD，面面，面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．40（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，，求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：取的中點(diǎn)，連接．，．又平面平面，平面平面，平面，平面．又平面，．，．又，，平面．又平面，平面平面．41．（2023上·四川成都·）如圖，長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱，為棱的中點(diǎn)，證明：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】是長(zhǎng)方體，平面,平面,,是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱，且為棱的中點(diǎn)，,,,,,平面，平面，且，平面，平面，平面平面.42．（2023·河北邢臺(tái)·寧晉中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，，，，證明：【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】連接，由題設(shè)，易知為菱形，故，由點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在AC上，則面，面，則，而，則，又，面，故面，面，則，而，面，則面，由面，則.43．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角梯形中，，，是上一點(diǎn)，，，．將沿著翻折，使運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，得到四棱錐，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，BE．，，.又，，.，，四邊形為平行四邊形．又，四邊形為菱形．由，得，，又，，平面，平面．平面，．44．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考期中）如圖所示，在四棱錐中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】連接，因?yàn)?，故，因?yàn)椋仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，又因?yàn)?，故四邊形為矩形，不妨設(shè)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，所以，故，故，即，又，平面，故平面，而平面，故.45．（2023·河南）如圖，在三棱柱中，，平面平面為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，且平面，所以平面.（2）連接，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所?46．（2023·廣東佛山）在四棱錐中，已知底面是直角梯形，，平面平面，且，證明：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，易知兩兩垂?以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，從?又，所以平面，易知為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以即取，得因?yàn)?，所以平面平?47．（2023·河南駐馬店）如圖1，梯形中，，過(guò)，分別作，，垂足分別為、.若，，，將梯形沿，折起，且平面平面（如圖2），證明：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】∵平面平而，平而，平面平面，，∴平面，（法一）又平而，則，又正方形中，，且，平面，則平面，又平面，則.（法二）∵平而，，∴以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，∴，，∴，∴；48．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面，求證：【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】在四棱錐中，平面平面，平面平面，平面，則平面，在平面內(nèi)過(guò)作，于是直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，則，，顯然，所以.49．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起，使得平面平面．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】在長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，則，即有，于是，因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>