高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考大題規(guī)范解答系列（四）-立體幾何（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

高考大題規(guī)范解答系列(四)——立體幾何考點(diǎn)一線面的位置關(guān)系與體積計(jì)算例1(2017·全國卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)證明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．【分析】①看到證明線線垂直(AC⊥BD)，想到證明線面垂直，通過線面垂直證明線線垂直．②看到求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比，想到確定同一平面，轉(zhuǎn)化為求高的比．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO.1分eq\x(得分點(diǎn)①)因?yàn)锳D＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO．又因?yàn)镈O∩BO＝O，從而AC⊥平面DOB， 3分eq\x(得分點(diǎn)②)故AC⊥BD． 4分eq\x(得分點(diǎn)③)(2)連接EO. 5分eq\x(得分點(diǎn)④)由(1)及題設(shè)知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°. 7分eq\x(得分點(diǎn)⑤)由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC． 8分eq\x(得分點(diǎn)⑥)又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD．故E為BD的中點(diǎn)， 9分eq\x(得分點(diǎn)⑦)從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq\f(1,2)，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq\f(1,2)， 11分eq\x(得分點(diǎn)⑧)即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1. 12分eq\x(得分點(diǎn)⑨)【評(píng)分細(xì)則】①作出輔助線，并用語言正確表述得1分．②得出AC⊥DO和AC⊥BO得1分，由線面垂直的判定寫出AC⊥平面DOB，再得1分．③由線面垂直的性質(zhì)得出結(jié)論得1分．④作出輔助線，并用語言正確表述得1分．⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB＝90°得2分．⑥由直角三角形的性質(zhì)得出EO＝eq\f(1,2)AC得1分．⑦由等邊三角形的性質(zhì)得出E為BD的中點(diǎn)，得1分．⑧得出四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq\f(1,2)得2分．⑨正確求出體積比得1分．【名師點(diǎn)評(píng)】1．核心素養(yǎng)：空間幾何體的體積及表面積問題是高考考查的重點(diǎn)題型，主要考查考生“邏輯推理”及“直觀想象”的核心素養(yǎng)．2．解題技巧：(1)得步驟分：在立體幾何類解答題中，對(duì)于證明與計(jì)算過程中的得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以，對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫，如第(1)問中AC⊥DO，AC⊥BO；第(2)問中BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2等．(2)利用第(1)問的結(jié)果：如果第(1)問的結(jié)果對(duì)第(2)問的證明或計(jì)算用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無法解決，如本題就是在第(1)問的基礎(chǔ)上得到DO＝AO．〔變式訓(xùn)練1〕(2019·河北省石家莊市質(zhì)檢)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，側(cè)面ABB1A1為菱形，側(cè)面ACC1A1為正方形，側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面ACC1A1．(1)求證：A1B⊥平面AB1C；(2)若AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱錐C1－COB1的體積．[解析](1)證明：∵四邊形ACC1A1為正方形，∴AC⊥AA1，又平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，從而A1B⊥AC，又側(cè)面ABB1A1為菱形，∴A1B⊥AB1，又AB1?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴A1B⊥平面AB1C．(2)因?yàn)锳1C1∥AC，A1C1?平面AB1C，AC?平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，所以，三棱錐C1－COB1的體積等于三棱錐A1－COB1的體積，A1B⊥平面AB1C，所以A1O為三棱錐A1－COB1的高，因?yàn)锳B＝2，∠ABB1＝60°，S△COB1＝eq\f(1,2)×OB1×CA＝eq\f(1,2)×1×2＝1，所以VC1－COB1＝eq\f(1,3)×A1O×S△COB1＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3)．考點(diǎn)二線面的位置關(guān)系與空間角例2(2018·課標(biāo)Ⅲ，19)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up8(︵))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點(diǎn)．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．【分析】①在題目所給的兩個(gè)平面中選擇一條直線，證明該直線垂直于另一個(gè)平面；②建立空間直角坐標(biāo)系，求得幾何體體積最大時(shí)點(diǎn)M的位置，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求解即可．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM. 2分eq\x(得分點(diǎn)①)因?yàn)镸為eq\o\ac(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的兩點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM. 3分eq\x(得分點(diǎn)②)又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC． 4分eq\x(得分點(diǎn)③)而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． 5分eq\x(得分點(diǎn)④)(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz．當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時(shí)，M為eq\o\ac(CD,\s\up8(︵))的中點(diǎn)．由題設(shè)得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0，1,1)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2,1,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2,0,0)． 7分eq\x(得分點(diǎn)⑤)設(shè)n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AM,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＋z＝0，,2y＝0.))可取n＝(1,0,2). 9分eq\x(得分點(diǎn)⑥)eq\o(DA,\s\up6(→))是平面MCD的法向量，因此cosn，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(n·\o(DA,\s\up6(→)),|n|·|\o(DA,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)， 11分eq\x(得分點(diǎn)⑦)sinn，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(2\r(5),5)．所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是eq\f(2\r(5),5). 12分eq\x(得分點(diǎn)⑧)【評(píng)分細(xì)則】①由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)一步得到線線垂直，給2分，直接得出不給分．②由直徑所對(duì)角為直角得到DM⊥CD，給1分．③寫出結(jié)論DM⊥平面BMC，給1分．④得到平面AMD⊥平面BMC，給1分．⑤建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的坐標(biāo)及向量，給2分(酌情)．⑥正確求出平面的法向量，給2分．⑦寫出公式cosn1，n2＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)，并正確求出余弦值，給2分．⑧求出正弦值，并寫好結(jié)論，給1分．【名師點(diǎn)評(píng)】1．核心素養(yǎng)：本題主要考查面面垂直的證明以及空間二面角的求解，考查考生的邏輯推理能力與空間想象力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算．2．解題技巧：(1)得步驟分：對(duì)于解題過程中得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫，如第(1)問中寫出平面AMD⊥平面BMC成立的條件，寫不全則不能得全分．(2)得關(guān)鍵分：第(1)問中，面面垂直性質(zhì)定理的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．第(2)問一定要正確算出cosn1，n2＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)的結(jié)果才能得2分．〔變式訓(xùn)練2〕(2019·江西臨川一中、九江一中等九校聯(lián)考)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，且AD＝2AB＝2BC＝2，∠BAD＝90°，△PAD為等邊三角形，平面ABCD⊥平面PAD，點(diǎn)E、M分別為PD、PC的中點(diǎn)．(1)證明：CE∥平面PAB；(2)求直線DM與平面ABM所成角的正弦值．[解析](1)設(shè)PA的中點(diǎn)為N，連接EN，BN，∵E為PD的中點(diǎn)，所以EN為△PAD的中位線，則可得EN∥AD，且EN＝eq\f(1,2)AD．在梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC∥EN，BC＝EN，所以四邊形ENBC是平行四邊形，∴CE∥BN，又BN?平面PAB，CE?平面PAB，∴CE∥平面PAB．(注：本題也可取AD的中點(diǎn)O，連CO、OE，通過證平面OEC∥平面PAB得證．)(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為O，又∵PA＝PD，∴PO⊥AD．因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，交線為AD，PO?平面PAD．∴PO⊥平面ABCD，又由CO∥BA，∠BAD＝90°，∴CO⊥AD．即有OA，OC，OP兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸，OP為y軸，OC為z軸建立坐標(biāo)系．A(1,0,0)，B(1,0,1)，M(0，eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，D(－1,0,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－1，eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，設(shè)平面ABM的法向量為：m＝(x，y，z)．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AB,\s\up6(→))＝z＝0,m·\o(AM,\s\up6(→))＝－x＋\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0))，可得平面ABM的一個(gè)法向量為m＝(eq\r(3)，2,0)，又eq\o(DM,\s\up6(→))＝(1，eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，∴cosm，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(m·\o(DM,\s\up6(→)),|m|·|\o(DM,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3)×1＋2×\f(\r(3),2)＋0×\f(1,2),\r(\r(3)2＋22＋02)·\r(12＋\f(\r(3),2)2＋\f(1,2)2))＝eq\f(\r(42),7)．所以直線DM與平面ABM所成角的正弦值為eq\f(\r(42),7)．考點(diǎn)三立體幾何中的折疊問題例3(2019·啟東模擬)如圖，已知在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60°，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC．(1)若M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)，求證：MN∥平面CDEF；(2)若BD＝eq\r(5)，求二面角E－AC－F的余弦值．【分析】①利用面面平行的判定和性質(zhì)即可證明；②建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出二面角兩個(gè)面的法向量，利用空間向量法求解．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)取AD的中點(diǎn)G，連接GM，GN，在三角形ADE中，∵M(jìn)，G分別為AE，AD的中點(diǎn)，∴MG∥DE，∵DE?平面CDEF，MG?平面CDEF，∴MG∥平面CDEF. 2分eq\x(得分點(diǎn)①)由于G，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，由棱柱的性質(zhì)可得GN∥DC，∵CD?平面CDEF，GN?平面CDEF，∴GN∥平面CDEF. 3分eq\x(得分點(diǎn)②)又GM?平面GMN，GN?平面GMN，MG∩NG＝G，∴平面GMN∥平面CDEF， 4分eq\x(得分點(diǎn)③)∵M(jìn)N?平面GMN，∴MN∥平面CDEF. 5分eq\x(得分點(diǎn)④)(2)連接EB，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝eq\r(3)，∴BE＝2，又ED＝1，DB＝eq\r(5)，∴EB2＋ED2＝DB2，∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，∴DE⊥平面ABFE.∴EA、EF、ED兩兩垂直. 7分eq\x(得分點(diǎn)⑤)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得E(0,0,0)，A(eq\r(3)，0,0)，F(xiàn)(0,1,0)，C(0,1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1,1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，0,0)，eq\o(FC,\s\up6(→))＝(0,0,1). 8分eq\x(得分點(diǎn)⑥)設(shè)平面AFC的法向量為m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AC,\s\up6(→))＝－\r(3)x＋y＋z＝0，,m·\o(FC,\s\up6(→))＝z＝0，))則z＝0，令x＝1，得y＝eq\r(3)，則m＝(1，eq\r(3)，0)為平面AFC的一個(gè)法向量，設(shè)平面ACE的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝－\r(3)x1＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－\r(3)x1＋y1＋z1＝0，))則x1＝0，令y1＝1，得z1＝－1，∴n＝(0,1，－1)為平面ACE的一個(gè)法向量. 10分eq\x(得分點(diǎn)⑦)設(shè)m，n所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，由圖可知二面角E－AC－F的余弦值是eq\f(\r(6),4). 12分eq\x(得分點(diǎn)⑧)【評(píng)分細(xì)則】①由線線平行得到線面平行，給2分．②同理再推出一個(gè)線面平行，給1分．③由線面平行推出面面平行，給1分．④由面面平行得到線面平行，給1分．⑤由線線垂直證出線面垂直，為建系作好準(zhǔn)備，給2分．⑥建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，給1分．⑦正確求出平面的法向量，給2分．⑧利用公式求出兩個(gè)向量夾角的余弦值，并正確寫出二面角的余弦值，給2分．【名師點(diǎn)評(píng)】1．核心素養(yǎng)：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)定理，考查二面角的求解，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是空間想象力、推理論證能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．2．解題技巧：(1)得分步驟：第(1)問中的DE?平面CDEF，MG?平面CDEF，要寫全．(2)得分關(guān)鍵：第(2)中，證明線面垂直從而得到線線垂直，才能建系，解題時(shí)折疊前后變量與不變量要弄清晰．〔變式訓(xùn)練3〕(2020·湖南永州模擬)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2CD＝4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將△BEC沿線段EC翻折，得四棱錐P－AECD，且二面角P－EC－D為直二面角．(1)求證：EC⊥PD；(2)求二面角P－AE－C的余弦值．[解析](1)如圖連接DE，易知△DCE，△PCE均為正三角形，取CE中點(diǎn)Q，連接PQ，DQ，則PQ⊥CE，DQ⊥CE．又∵DQ∩PQ＝Q，PQ，DQ?平面DPQ，∴EC⊥平面PDQ，又∵PD?平面PDQ，所以EC⊥PD．(2)因?yàn)槎娼荘－EC－D為直二面角，所以平面PEC⊥平面AECD，又因?yàn)槠矫鍼EC∩平面AECD＝EC，且PQ⊥EC，所以PQ⊥平面AEC．又因?yàn)镋C⊥DQ，故以點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QC，QD，QP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Q－xyz．則A(－2，eq\r(3)，0)，E(－1,0,0)，P(0,0，eq\r(3))．所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2，－eq\r(3)，eq\r(3))．設(shè)平面PAC的法向量為m＝(x，y，z)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝0,m·\o(AP,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＝0,2x－\r(3)y＋\r(3)z＝0))，令y＝1，則m＝(eq\r(3)，1，－1)，又因?yàn)橹本€PQ⊥平面AEC，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(0,0，eq\r(3))是平面AEC的一個(gè)法向量，所以cosm，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(m·\o(PQ,\s\up6(→)),|m|·|\o(PQ,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\r(3),\r(5)×\r(3))＝－eq\f(\r(5),5)．又因?yàn)槎娼荘－AE－C為銳二面角，所以二面角P－AE－C的余弦值eq\f(\r(5),5)．考點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題例4(2016·北京高考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝eq\r(5)．(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求eq\f(AM,AP)的值；若不存在，說明理由．【分析】①由線面垂直的判定定理證明PD⊥平面PAB；②構(gòu)造線面垂直，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求解；③假設(shè)棱PA上存在點(diǎn)M，再根據(jù)條件分析論證．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD．又AB⊥AD，AB?平面ABCD．所以AB⊥平面PAD． 2分eq\x(得分點(diǎn)①)因?yàn)镻D?平面PAD．所以AB⊥PD．又PA⊥PD，PA∩AB＝A．所以PD⊥平面PAB． 4分eq\x(得分點(diǎn)②)(2)取AD中點(diǎn)O，連接CO，PO，因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD．又因?yàn)镻O?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO，因?yàn)锳C＝CD，所以CO⊥AD．以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 6分eq\x(得分點(diǎn)③)易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，－1,0)，C(2,0,0)．則eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2,0，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－1,0)．設(shè)n＝(x0，y0，z0)為平面PDC的一個(gè)法向量．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y0－z0＝0，,2x0－z0＝0，))令z0＝1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－1,x0＝\f(1,2).))即n＝(eq\f(1,2)，－1,1)．設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ．則sinθ＝|cosn，eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\f(n·\o(PB,\s\up6(→)),|n||\o(PB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,2)－1－1,\r(\f(1,4)＋1＋1)×\r(3))))＝eq\f(\r(3),3). 8分eq\x(得分點(diǎn)④)(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在λ∈[0,1]使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→))， 9分eq\x(得分點(diǎn)⑤)因此點(diǎn)M(0,1－λ，λ)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－1，－λ，λ)，因?yàn)锽M?平面PCD，所以BM∥平面PCD，又因?yàn)閚為平面PDC的一個(gè)法向量，當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(BM,\s\up6(→))·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(eq\f(1,2)，－1,1)＝0時(shí)，滿足條件．解得λ＝eq\f(1,4) 10分eq\x(得分點(diǎn)⑥)所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM∥平面PCD，此時(shí)eq\f(AM,AP)＝eq\f(1,4). 12分eq\x(得分點(diǎn)⑦)【評(píng)分細(xì)則】①證明出AB⊥平面PAD得2分．②利用線面垂直的定理得出PD⊥平面PAB．得2分，沒有體現(xiàn)線面垂直定理的內(nèi)容，直接寫出結(jié)論不得分．③正確建立空間直角坐標(biāo)系得2分．④寫出sinθ＝|cosn，eq\o(PB,\s\up6(→))|得1分，計(jì)算結(jié)果正確再得1分．⑤假設(shè)存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD，過程說明正確得1分．⑥求出λ＝eq\f(1,4)，正確得1分，錯(cuò)誤不得分．⑦得出結(jié)論，得2分．【名師點(diǎn)評(píng)】1．核心素養(yǎng)：本題考查線面的位置關(guān)系及線面角，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算．2．解題技巧：(1)寫全得分步驟：對(duì)于解題過程中得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫，如第(1)問中PA⊥PD，PA∩AB＝A．(2)寫明得分關(guān)鍵：對(duì)于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在解答時(shí)一定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(2)問中空間直角坐標(biāo)系的建立；第(3)問中的“設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在λ∈[0,1]使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→))”．〔變式訓(xùn)練4〕(2019·陜西省質(zhì)檢)如圖所示，等腰梯形ABCD的底角∠BAD＝∠ADC＝60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，且∠EDA＝90°，ED＝AD＝2AF＝2AB＝2．(1)證明：平面ABE⊥平面EBD；(2)點(diǎn)M在線段EF上，試確定點(diǎn)M的位置，使平面MAB與平面ECD所成的銳二面角的余弦值為eq\f(\r(3),4)．[解析](1)證明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴ED⊥AB，∵AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，∴BD＝eq\r(1＋4－2×1×2cos