高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題03 簡單邏輯連接詞、全稱量詞與存在量詞（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題03簡單邏輯連接詞、全稱量詞與必存在量詞一、【知識精講】1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的“或”“且”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．(2)命題p∧q，p∨q，﹁p的真假判斷pqp∧qp∨q﹁p真真真真假pqp∧qp∨q﹁p真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等?存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等?3.全稱命題和特稱命題名稱形式全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x，有p(x)成立存在M中的一個x0，使p(x0)成立簡記?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)否定?x0∈M，﹁p(x0)?x∈M，﹁p(x)二、【典例精練】例1.(1)(1)(2018·東北三省四市模擬(一))已知命題p：函數(shù)y＝lg(1－x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，命題q：函數(shù)y＝2cosx是偶函數(shù)，則下列命題中為真命題的是()A．p∧q B．(﹁p)∨(﹁q)C．(﹁p)∧q D．p∧(﹁q)(2)(2019·安徽安慶模擬)設(shè)命題p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋eq\f(1,x0)>3；命題q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，則下列命題為真的是()A．p∧(﹁q) B．(﹁p)∧qC．p∧q D．(﹁p)∨q【答案】(1)B(2)A[解析](1)命題p中，因為函數(shù)u＝1－x在(－∞，1)上為減函數(shù)，所以函數(shù)y＝lg(1－x)在(－∞，1)上為減函數(shù)，所以p是真命題；命題q中，設(shè)f(x)＝2cosx，則f(－x)＝2cos(－x)＝2cosx＝f(x)，x∈R，所以函數(shù)y＝2cosx是偶函數(shù)，所以q是真命題，所以p∧q是真命題，故選A．(2)對于命題p，當x0＝4時，x0＋eq\f(1,x0)＝eq\f(17,4)>3，故命題p為真命題；對于命題q，當x＝4時，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝xeq\o\al(2,0)成立，故命題q為假命題，所以p∧(綈q)為真命題，故選A.【方法小結(jié)】判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的步驟例2.(1)下列命題中，真命題是()A．?x∈R，x2－x－1＞0B．?α，β∈R，sin(α＋β)＜sinα＋sinβC．?x∈R，x2－x＋1＝0D．?α，β∈R，sin(α＋β)＝cosα＋cosβ(2)對命題?x0>0，xeq\o\al(2,0)>2x0，下列說法正確的是()A．真命題，其否定是?x0≤0，xeq\o\al(2,0)≤2x0B．假命題，其否定是?x>0，x2≤2xC．真命題，其否定是?x>0，x2≤2xD．真命題，其否定是?x≤0，x2≤2x【答案】（1）D，（2）C【解析】（1）因為x2－x－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(5,4)≥－eq\f(5,4)，所以A是假命題．當α＝β＝0時，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，所以B是假命題．x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，所以C是假命題．當α＝β＝eq\f(π,2)時，有sin(α＋β)＝cosα＋cosβ，所以D是真命題，故選D．](2)已知命題是真命題，如32＝9>8＝23，其否定是?x>0，x2≤2x.故選C.【方法小結(jié)】1.全稱命題、特稱命題的真假判斷方法1）要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證px成立；但要判斷全稱命題是假命題，只要能找出集合M中的一個x＝x0，使得px0不成立即可.2）要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使px0成立即可，否則，這一特稱命題就是假命題.2.全稱命題與特稱命題的否定1）改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫.2）否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進行否定.例3.已知p：存在x0∈R，mxeq\o\al(2,0)＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】依題意知p，q均為假命題，當p是假命題時，則mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當q是真命題時，則Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均為假命題得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，m≤－2或m≥2，))即m≥2.例4.給定命題p：對任意實數(shù)x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實數(shù)根．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】當p為真命題時，“對任意實數(shù)x都有ax2＋ax＋1＞0成立”?a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0，))∴0≤a＜4.當q為真命題時，“關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實數(shù)根”?Δ＝1－4a≥0，∴a≤eq\f(1,4).∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，∴p，q一真一假．∴若p真q假，則0≤a＜4，且a＞eq\f(1,4)，∴eq\f(1,4)＜a＜4；若p假q真，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0或a≥4，,a≤\f(1,4)，))即a＜0.故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4)).【方法小結(jié)】根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟(1)求出當命題p，q為真命題時所含參數(shù)的取值范圍；(2)根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷命題p，q的真假性；(3)根據(jù)命題p，q的真假情況，利用集合的交集和補集的運算，求解參數(shù)的取值范圍．所以實數(shù)m的取值范圍為[2，＋∞)．三、【名校新題】1．(2019·西安摸底)命題“?x>0，eq\f(x,x－1)>0”的否定是()A．?x0≥0，eq\f(x0,x0－1)≤0 B．?x0>0,0≤x0≤1C．?x>0，eq\f(x,x－1)≤0 D．?x<0,0≤x≤1【答案】B【解析】∵eq\f(x,x－1)>0，∴x<0或x>1，∴eq\f(x,x－1)>0的否定是0≤x≤1，∴命題的否定是“?x0>0,0≤x0≤1”．2．(2019·惠州調(diào)研)已知命題p，q，則“?p為假命題”是“p∧A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】充分性：若?p為假命題，則p為真命題，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命題．必要性：p∧q是真命題，則p，q均為真命題，則?p為假命題．所以“?p為假命題”是“3．(2019·陜西質(zhì)檢)已知命題p：對任意的x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(?p)∧(?C．(?p)∧q D．p∧(?【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知命題p為真命題．易知x>1是x>2的必要不充分條件，所以命題q為假命題．由復(fù)合命題真值表可知p∧(?q4．(2018·湘東五校聯(lián)考)下列說法中正確的是()A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分條件B．命題p：?x∈R,2x>0，則?p：?x0∈R,2x0C．命題“若a>b>0，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)”的逆命題是真命題D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要條件【答案】A【解析】對于選項A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正確．對于選項B，全稱命題的否定是特稱命題，所以命題p：?x∈R,2x>0的否定是綈p：?x0∈R,2x0≤0，故B錯誤．對于選項C，其逆命題：若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則a>b>0，可舉反例，如a＝－1，b＝1，顯然是假命題，故C錯誤．對于選項D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D錯誤．故選A.5．(2019·唐山五校聯(lián)考)已知命題p：“a>b”是“2a>2b”的充要條件；命題q：?x0∈R，|x0＋1|≤x0，則()A．(?p)∨q為真命題 B．p∧(?C．p∧q為真命題 D．p∨q為真命題【答案】D【解析】由題意可知命題p為真命題．因為|x＋1|≤x的解集為空集，所以命題q為假命題，所以p∨q為真命題．6．(2019·安徽安慶模擬)設(shè)命題p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋eq\f(1,x0)>3；命題q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，則下列命題為真的是()A．p∧(?q) B．(?p)C．p∧q D．(?p)∨【答案】A【解析】(2)對于命題p，當x0＝4時，x0＋eq\f(1,x0)＝eq\f(17,4)>3，故命題p為真命題；對于命題q，當x＝4時，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝xeq\o\al(2,0)成立，故命題q為假命題，所以p∧(?q)為真命題，故選A.7．(2019·長沙模擬)已知命題“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)【答案】C【解析】當原命題為真命題時，a>0且Δ<0，所以a>4，故當原命題為假命題時，a≤4.8．（安徽蕭縣中學(xué)2019屆高三考試題）已知命題則（）A．是假命題，B．是假命題，C．是真命題，D．是真命題，【答案】C【解析】因為x>0,fx<0恒成立，所以p真，，9．（荊州市2019屆高三第二次八校聯(lián)考）下列有關(guān)命題的說法正確的是（）A．，使得成立．B．命題：任意，都有，則：存在，使得．C．命題“若且，則且”的逆命題為真命題．D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則是的必要不充分條件．【答案】D【解析】選項A，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最小值3，故A錯誤；選項B，：存在，使得，所以B錯誤．選項C，逆命題為：“若且，則且”當時，滿足且，但不滿足且，所以C錯誤．選項D，若數(shù)列是等比數(shù)列，，則，反過來，若數(shù)列是等比數(shù)列，當公比為1時，，不能推出，故D正確．10.（江西九校2019屆高三聯(lián)考）下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題.B.“”是“”的充要條件.C.命題“，則或”的逆否命題為“若或，則”.D.命題：，使得，則：，使得.【答案】B【解析】因為ab>0?a,b同號?11.（2019屆江西省紅色七校高三第一次聯(lián)考）已知直線，，平面，；命題若,,則//；命題若,,,則，下列是真命題的是()A． B.

C. D.【答案】C【解析】p假，q真，所以?p12．若命題p的否定是“?x∈(0，＋∞)，eq\r(x)＞x＋1”，則命題p可寫為________________________．【答案】?x0∈(0，＋∞)，eq\r(x0)≤x0＋1【解析】因為p是綈p的否定，所以只需將全稱量詞變?yōu)樘胤Q量詞，再對結(jié)論否定即可．13．已知命題p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”與“?q”同時為假命題，則x【答案】-2【解析】若p為真，則x≥－1或x≤－3，因為“?q”為假，則q為真，即x∈又因為“p∧q”為假，所以p為假，故－3＜x＜－1，由題意，得x＝－2.14．已知p：a<0，q：a2>a，則?p是?【答案】必要不充分【解析】：由題意得?p：a≥0，?q：a2≤a，即0≤a≤1.因為{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以?p15．已知命題p：a2≥0(a∈R)，命題q：函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列命題：①p∨q；②p∧q；③(?p∧(?q)；④(?p其中為假命題的序號為________．【答案】②③④【解析】：顯然命題p為真命題，?p∵f(x)＝x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．∴命題q為假命題，?q∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，(?p∧(?q為假命題，(?p16．設(shè)t∈R，已知命題p：函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1有零點；命題q：?x∈[1，＋∞)，eq\f(1,x)－x≤4t2－1.(1)當t＝1時，判斷命題q的真假；(2)若p∨q為假命題，求t的取值范圍．【解析】(1)當t＝1時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))max＝