高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題07 二次函數(shù)與冪函數(shù)（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題07二次函數(shù)與冪函數(shù)一、【知識精講】1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)[微點(diǎn)提醒]1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))時(shí)恒有f(x)>0，當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))時(shí)，恒有f(x)<0.二、【典例精練】考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】(1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，eq\r(3,3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)(2)若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,3))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c【答案】(1)C(2)D【解析】(1)(1)設(shè)f(x)＝xα，將點(diǎn)(3，eq\r(3,3))代入f(x)＝xα，解得α＝eq\f(1,3)，所以f(x)＝x，可知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選C.(2)因?yàn)閥＝xeq\f(2,3)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(2,3))>b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up6(\f(2,3))，因?yàn)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是減函數(shù)，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(2,3))<c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,3))，所以b<a<c.【解法小結(jié)】1.對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.2.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式【例2】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式.【解析】法一(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用“頂點(diǎn)式”解題)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因?yàn)閒(2)＝f(－1)，所以拋物線的對稱軸為x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2)，所以m＝eq\f(1,2).又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.因?yàn)閒(2)＝－1，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零點(diǎn)式”解題)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8，即eq\f(4a(－2a－1)－(－a)2,4a)＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.【解法小結(jié)】求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例3】(1)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是()(2)(2017·浙江卷)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m()A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】(1)A(2)B【解析】(1)若0<a<1，則y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，y＝(a－1)x2－x開口向下，其圖象的對稱軸在y軸左側(cè)，排除C，D.若a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，y＝(a－1)x2－x圖象開口向上，且對稱軸在y軸右側(cè)，因此B項(xiàng)不正確，只有選項(xiàng)A滿足.(2)設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0，1]上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則m＝xeq\o\al(2,1)＋ax1＋b，M＝xeq\o\al(2,2)＋ax2＋b.∴M－m＝xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1)＋a(x2－x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無關(guān).【解法小結(jié)】1.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.考點(diǎn)四二次函數(shù)的性質(zhì)角度1二次函數(shù)的單調(diào)性與最值【例4－1】(1)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時(shí)，有最大值2，則a的值為________．(2)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(1)－1或2(2)[0,2]【解析】(1)函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，對稱軸方程為x＝a.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1.當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)max＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝eq\f(1±\r(5),2)(舍去)．當(dāng)a>1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.綜上可知，a＝－1或a＝2.(2)依題意a≠0，二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c圖象的對稱軸是直線x＝1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以a>0，即函數(shù)圖象的開口向上，所以f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2.角度2二次函數(shù)的恒成立問題【例4－2】(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________；(2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則k的取值范圍為________．【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))(2)(－∞，1)【解析】(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，則有fm即m解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.(2)由題意得x2＋x＋1>k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立．設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，則g(x)在[－3，－1]上遞減．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k<1.故k的取值范圍為(－∞，1)．【解法小結(jié)】1.二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.【思維升華】1.冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)和圖象，由于α的取值不同而比較復(fù)雜，一般可從三方面考查：(1)α的正負(fù)：α>0時(shí)圖象經(jīng)過(0，0)點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；α<0時(shí)圖象不過(0，0)點(diǎn)，經(jīng)過(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“下降”；(2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時(shí)曲線下凹，0<α<1時(shí)曲線上凸，α<0時(shí)曲線下凹；(3)函數(shù)的奇偶性：一般先將函數(shù)式化為正指數(shù)冪或根式形式，再根據(jù)函數(shù)定義域和奇偶性定義判斷其奇偶性.2.求二次函數(shù)的解析式就是確定函數(shù)式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件選用適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式，用待定系數(shù)法確定相應(yīng)字母的值.3.二次函數(shù)與一元二次不等式密切相關(guān)，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可直觀地解決與不等式有關(guān)的問題.4.二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸緊密相連，二次函數(shù)的最值問題要根據(jù)其圖象以及所給區(qū)間與對稱軸的關(guān)系確定.【易錯(cuò)注意點(diǎn)】1.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).2.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說明a≠0時(shí)，就要討論a＝0和a≠0兩種情況.三、【名校新題】1.(2019·濟(jì)寧聯(lián)考)下列命題正確的是()A.y＝x0的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，(1，1)C.若冪函數(shù)y＝xα是奇函數(shù)，則y＝xα是增函數(shù)D.冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限【答案】D【解析】A中，點(diǎn)(0，1)不在直線上，A錯(cuò)；B中，y＝xα，當(dāng)α<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，B錯(cuò)；C中，當(dāng)α<0時(shí)，y＝xα在(－∞，0)，(0，＋∞)上為減函數(shù)，C錯(cuò).冪函數(shù)圖象一定過第一象限，一定不過第四象限，D正確.2.(2019·衡水中學(xué)月考)若存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)＝f(a－x)對定義域上任意的x恒成立，則函數(shù)f(x)可能是()A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1【答案】A【解析】由存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)＝f(a－x)對定義域上任意的x恒成立，可得函數(shù)圖象的對稱軸為x＝eq\f(a,2)≠0.只有選項(xiàng)A中，f(x)＝x2－2x＋1關(guān)于x＝1對稱.3.(2019·杭州模擬)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]內(nèi)的最大值為－5，則a的值為()A.eq\f(5,4) B．1或eq\f(5,4)C．－1或eq\f(5,4) D．－5或eq\f(5,4)【答案】D【解析】f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－4a，對稱軸為直線x＝eq\f(a,2).①當(dāng)eq\f(a,2)≥1，即a≥2時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．②當(dāng)0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2時(shí)，f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－4a.令－4a＝－5，得a＝eq\f(5,4).③當(dāng)eq\f(a,2)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.令－4a－a2＝－5，得a＝－5或a＝1(舍去)．綜上所述，a＝eq\f(5,4)或－5.4.(2019·安陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為()A.1 B.0 C.－1 D.2【答案】A【解析】f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，∴函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.5．(2019·安徽名校聯(lián)考)冪函數(shù)y＝x|m－1|與y＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，則滿足條件的整數(shù)m的值為()A．0 B．1和2C．2 D．0和3【答案】C【解析】由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m－1|>0，,3m－m2>0，,m∈Z，))解得m＝2.6.(2019·巢湖月考)已知p：|m＋1|<1，q：冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】p：由|m＋1|<1得－2<m<0，∵冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.∴p是q的必要不充分條件.7.(2019·武漢模擬)冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq\f(1,b)＝()A.0 B.1 C.eq\f(1,2) D.2【答案】【解析】BM＝MN＝NA，點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y＝xa，y＝xb，得a＝logeq\f(1,3)eq\f(2,3)，b＝logeq\f(2,3)eq\f(1,3)，∴a－eq\f(1,b)＝logeq\f(1,3)eq\f(2,3)－eq\f(1,log\f(2,3)\f(1,3))＝0.8.（2019濟(jì)南統(tǒng)考）若函數(shù)y=x2?3x?4的定義域?yàn)?.m，值域?yàn)?25A.0.4B.3C.32,+∞【答案】D【解析】y=x2?3x?4=x?322?254,函數(shù)在0，329.(2019·銀川模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍是________．【答案】(3,5)【解析】由題意得，冪函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,2)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由f(a＋1)<f(10－2a)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>10－2a，,a＋1>0，,10－2a>0，))解得3<a<5.10.(2019·泉州質(zhì)檢)若二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值為0，則a＋4b的取值范圍是________.【答案】[2，＋∞)【解析】依題意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，∴4ab＝1，且b>0.故a＋4b≥2eq\r(4ab)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4b，即a＝1，b＝eq\f(1,4)時(shí)等號成立.所以a＋4b的取值范圍是[2，＋∞).11.(2018·浙江名校協(xié)作體考試)y＝eq\r(2ax2＋4x＋a－1)的值域?yàn)閇0，＋∞)，則a的取值范圍是________．【答案】[0,2]【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，y＝eq\r(4x－1)，值域?yàn)閇0，＋∞)，滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，要使y＝eq\r(2ax2＋4x＋a－1)的值域?yàn)閇0，＋∞)，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a>0，,Δ＝16－8aa－1≥0，))解得0<a≤2.綜上，0≤a≤2.12.已知奇函數(shù)y＝f(x)定義域是R，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x(1－x).(1)求出函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)寫出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(不用證明，只需直接寫出遞增區(qū)間即可)【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，所以f(－x)＝－x(1＋x).又因?yàn)閥＝f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).綜上f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（1－x），x≥0，,x（1＋x），x<0.))(2)函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\r