集合的基本關(guān)系及運(yùn)算

集合的基本關(guān)系及運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集．在具體情境中，了解空集和全集的含義．理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集．理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、集合之間的關(guān)系1.集合與集合之間的“包含”關(guān)系集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集（subset）.記作：A匸B（或BA），當(dāng)集合A不包含于集合B時，記作A^B,用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系：A匸B（或B二A）要點(diǎn)詮釋：（1）“A是B的子集”的含義是：A的任何一個元素都是B的元素，即由任意的xeA，能推出xeB.（2）當(dāng)A不是B的子集時，我們記作“A（或B力A）”，讀作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）．真子集：若集合A匸B，存在元素xeB且x笑A，則稱集合A是集合B的真子集（propersubset）.記作：A冠（或B艮A）規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合與集合之間的“相等”關(guān)系A(chǔ)匸B且B匸A，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B要點(diǎn)詮釋：任何一個集合是它本身的子集，記作A匸A.要點(diǎn)二、集合的運(yùn)算并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：AUB讀作：“A并B”，即:AUB={x|xeA,或xeB}Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：(1)“xGA,或xGB"包含三種情況：“xgA,但x電B”；“xgB,但x電A”；“xgA,且xgB”.(2)兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只出現(xiàn)一次).交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：AHB，讀要點(diǎn)詮釋：并不是任何兩個集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是AIB=0.概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“AHB中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“A與B的公共元素都屬于AQB”.兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.補(bǔ)集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.補(bǔ)集：對于全集U的一個子集A,由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集(complementaryset),簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作：痧A；艮卩A={xlxgU且x纟A}；UU補(bǔ)集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：理解補(bǔ)集概念時，應(yīng)注意補(bǔ)集&A是對給定的集合A和U(A匸U)相對而言的一個概念，一個U確定的集合A，對于不同的集合U,補(bǔ)集不同.全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，貝Z為全集；而當(dāng)問題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集時，則R為全集，這時Z就不是全集.&A表示U為全集時A的補(bǔ)集，如果全集換成其他集合(如R)時，則記號中“U”也必須換成U相應(yīng)的集合(即&A).R集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論

AnB匸A,AnB匸B,AnA=A,An0=0,AnB=BnAA匸AuB,B匸AuB,AuA=A,Au0=A,AuB=BuA(痧A)uA=U,(A)nA=0UU若AHB=A，則A匸B，反之也成立若AUB=B，則A匸B，反之也成立若xe(AHB)，貝VxeA且xwB若xe(AUB)，貝VxeA,或xeB求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.【典型例題】類型一、集合間的關(guān)系例1.集合A=例1.集合A={aIa=2k,keN}，集合B=-（n2一1）,neN那么A,B間的關(guān)系是().A.AMbB.b￡AC.A=B D.以上都不對舉一反三：【變式1】若集合A={xIx=2k一1,kez},B={xIx=4l土1,lez}，則（）.A.A^BB.BgAC.A=B D.AUB=Z例2.寫出集合｛a,b,c｝的所有不同的子集.{a,b,c,d,e},則這樣的集舉一反三：{a,b,c,d,e},則這樣的集【變式1】已知｛a,b｝gA合A有 個.

【變式2】同時滿足：①M(fèi)匸{1,2,3,4,5仁②aeM，則6-aeM的非空集合M有()A.16個B.15個C.7個D.6個例3.集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},D={y=x2+1}是否表示同一集合？舉一反三：【變式1】設(shè)集合M={(x,y)ly=3x+4},N={(x,y)ly=-3x—2},則MIN=( )A.{-1,1} B.{x=—1,y=1}C.(—1,1) D.{(—1,1)}變式2】A.B.MUNC.N=MD.NIM=0設(shè)集合M={xIy=2x+1,xeZ},N={yIy=2x+1,xeZ}，則變式2】A.B.MUNC.N=MD.NIM=0變式3】設(shè)M={x|x=a2+1,aeN},N={x|x=b2-4b+5,beN}，則M與N變式3】A.M=NC.N空M D.MHN=0A.M=NM={x,xy,*：x-y},N={0,|x|,y}, 若 M=N ,(x+y)+(x(x+y)+(x2+y2)+A+(x100+y100)=A.－200 B.200C.－100D.0舉一反三：b【變式1】設(shè)a,beR,集合{1,a+b,a}={0,—,b}，則b-a=()a類型二、集合的運(yùn)算例5.設(shè)集合A={xIx=3k,keZ},B={yIy=3k+1,keZ},C={zIz=3k+2,keZ},D={wIw=6k+1,keZ}，求AIB,AIC,BIC,BID.舉一反三：【變式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3,xeR},N={y|y=-x2-2x+8,xeR},則MQN等于()A.0 B.R C.{-1,9} D.[-1,9]例6.設(shè)集合M={3,a},N={x|x2-2x〈0,xeZ},MHN={1}，則MUN%()A.{1,3,a}B.{1,2,3,a}C.{1,2,3}D.{1,3}

舉一反三：【變式1】(1)已知：M={x|x22},P={x|x2-x-2=0},求MUP和MQP；已知:A={y|y=3x2}, B={y|y=-x2+4},求：AQB,AUB；已知集合A={-3,a2,1+a},B={a-3,a2+1,2a-l},其中a^R,若AQB={-3}，求AUB.【變式2】設(shè)集合A={2,a2-2a,6},B={2,2a2,3a-6}，若AQB={2,3},求AUB.例7.已知全集U例7.已知全集U={1,2,3,4,5},A=Ix2+px+4=求CA.u舉一反三：【變式1】設(shè)全集U={xeN|xW8}，若AQ(CB)={1,8},(CA)QB={2,6},(CA)n(CB)={4,7},+uuuu求集合A,B.類型三、集合運(yùn)算綜合應(yīng)用例8.已知全集A={x|-2WxW4}, B={x|x〉a}.若AQBH0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若AQBHA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若AQBH0且AQBHA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.舉一反三：【變式1】已知集合P={x|x2<1},M={a}.若PUM=PJ則a的取值范圍是()A.3,-1]C.[-1,1]B.[1,+w)D.(-8,-1]U[1,+w)

例9.設(shè)集合A=XxIx2+4x=0,B=\xIx2+2(a+1)x+a2-1=0,aeRf.若AIB=B，求a的值；若AUB=B，求a的值.舉一反三：【變式1】已知集合A舉一反三：【變式1】已知集合A={-2},B=fxIx2+ax+a2-12=o},若AIB=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【變式2】設(shè)全集U=R，集合A={xI-1<x<2},B={xI4x+p<0}，若B空C0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.【鞏固練習(xí)】1.設(shè)U=R，A={xIx>0}，B={xIx>1}，則AI/=()A.{x10<x<1}B.{xI0<x<1}C.{xIxC.{xIx<0}D.{xIx>1}2.已知全集U=R，則正確表示集合M={-1,0,1}和N=（Ix2+x=0}關(guān)系的韋恩（Venn）圖是2.D.￡.D.3.若集合A={-1,1}，B={xImx=1}，且AoB=A，則m的值為()A.1B.-1C.1或-1 D.1或-1或04?已知集合A,B滿足AIB=A，那么下列各式中一定成立的是()A. A殳B B.B氨 C.AUB=BD.AUB=A

5?若全集U={0丄2,3}<cua= 則集合A的真子集共有（）A.3個B.5個C.7個D.8個6?設(shè)集合m={xIx=—+,keZ}，N={xIx=+—,keZ}，則（ ）2 4 4 2A.M=NB.M殳NC.N臺MD.MIN=07.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨簕m,n}7.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨簕m,n}；（2）{m}（1）m{m,n}；（3）0{m,n}.&若集合A={xIx<6,xeN},B={xIx是非質(zhì)數(shù)},C=AIB,則C的非空子集的個數(shù)為 .9.若集合A={x13<x<7},B={x12<x<10},則AUB= 10.設(shè)集合A={x\-3<x<2},B={x|2k-1<x<2k+1}，且A二B，則實(shí)數(shù)k的取值范圍11.已知A11.已知A=Ay=-x2+2x一1},B={y|y=2x+1},則AIB=12.已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},若A呈M匸B，請寫出滿足上述條件得集合M.13.已知A={x|-2<x<5},B={x|m+1<x<2m-1},B匸A，求m的取值范圍.14.已知集合A=^xIx14.已知集合A=^xIx2+px-2=0},B=（Ix2-x+q=0},且AUB={-2,0,1},求實(shí)數(shù)p,q的值.15設(shè)全集U15設(shè)全集U=RM=I方程mx2-x-1=0有實(shí)數(shù)根}N={nI方程x2-x+n=0有實(shí)數(shù)根}，求(C^M)IN.鞏固練習(xí)】1.1.設(shè)A={(x,y)||x+l|+(y-2)2=0},B={T,2},則必有()A、BUA B、AUB C、A=B D、AHB=02.集合M={y|y=x2-1,xGR},N={x|A、{(-y2,2.集合M={y|y=x2-1,xGR},N={x|A、{(-y2,1),G'2,1)}y=J3-x2}，貝UMnN等于()I0<x<J3}B、C、I-1<x<D、03.已知全集U=R，則正確表示集合M=｛-1,0,1｝和N=（Ix2+x=0｝關(guān)系的韋恩（Venn）圖是3.))4?已知集合A,B滿足AIB=A，那么下列各式中一定成立的是()A.A殳BB.B氨C.AUB=BD.AUB=A5.若集合A={-1,1},B={xImx=1}，且AoB=A，則m的值為()A.1B.-1C.1或-1 D.1或-1或06?設(shè)集合m={xIx=+—,kgZ}，N={xIx=+—,keZ}，則( )2 4 4 2A.M=NB.M^NC.n￡md.MIN=0

7.設(shè)U=R,A={xIa<x<b}C/=?Ix>4或x<3/,貝ya= ,b= TOC\o"1-5"\h\z8．某班有學(xué)生55人，其中體育愛好者43人，音樂愛好者34人，還有4人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為 人.9.若A={1,4,x},B={,x2}且AIB=B，則x= .10.若I={xIx>-1,xeZ}，貝yCN= ,11.設(shè)全集U={(x,