同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件D13函數(shù)的極限

同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件D13函數(shù)的極限目錄CONTENTS函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的運(yùn)算性質(zhì)函數(shù)極限的應(yīng)用函數(shù)極限的求解方法函數(shù)極限的深入理解01函數(shù)極限的定義123當(dāng)x趨于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)f(x)無限接近于一個(gè)常數(shù)A。描述性定義直觀、易于理解，但不夠精確。描述性定義的特點(diǎn)無法直接用于證明或計(jì)算。描述性定義的局限性函數(shù)極限的描述性定義精確定義對于任意給定的正數(shù)$epsilon$，存在一個(gè)正數(shù)$delta$，當(dāng)$0<|x-x_0|<delta$時(shí)，有$|f(x)-A|<epsilon$。精確定義的特點(diǎn)精確、嚴(yán)謹(jǐn)，是計(jì)算和證明的基礎(chǔ)。精確定義的應(yīng)用用于判斷函數(shù)在某點(diǎn)的極限，以及求極限的方法。函數(shù)極限的精確定義唯一性函數(shù)在某點(diǎn)的極限是唯一的。局部有界性函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)附近是有界的。局部保號性函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)附近的符號保持不變。局部連續(xù)性函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)附近是連續(xù)的。函數(shù)極限的性質(zhì)02函數(shù)極限的運(yùn)算性質(zhì)極限的加法性質(zhì)若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)-g(x)]=A-B。極限的減法性質(zhì)極限的乘法性質(zhì)極限的除法性質(zhì)01020403若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B（B≠0），則lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B。若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)+g(x)]=A+B。若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)×g(x)]=A×B。極限的四則運(yùn)算性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限存在性若lim(x→x0)u=u0，且lim(u→u0)g(u)=A，則lim(x→x0)[g[u(x)]]=A。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算若lim(x→x0)[f(x)]=A和lim(u→u0)[g(u)]=B，則lim(x→x0)[g[f(x)]]=B。反函數(shù)的極限存在性若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)a處有定義，且f'(a)存在，則反函數(shù)在點(diǎn)f(a)處有定義，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于1/f'(a)。反函數(shù)的極限運(yùn)算若lim(x→a)f(x)=b，則反函數(shù)在點(diǎn)b處的極限存在，且反函數(shù)在點(diǎn)b處的極限等于1/f'(a)。反函數(shù)的極限03函數(shù)極限的應(yīng)用通過函數(shù)極限，我們可以求解某些數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)值?？偨Y(jié)詞在數(shù)學(xué)建模中，經(jīng)常需要求解某些參數(shù)的值，這些參數(shù)可能影響函數(shù)的形態(tài)或行為。利用函數(shù)極限，我們可以更好地理解函數(shù)的變化趨勢，從而更準(zhǔn)確地確定這些參數(shù)的值。詳細(xì)描述利用函數(shù)極限求參數(shù)值總結(jié)詞函數(shù)極限在證明不等式中起著重要的作用。詳細(xì)描述在證明不等式時(shí)，我們經(jīng)常需要利用函數(shù)的性質(zhì)和極限的概念來推導(dǎo)和證明不等式的正確性。例如，利用函數(shù)的極限來證明函數(shù)的單調(diào)性或比較不同函數(shù)的大小關(guān)系。利用函數(shù)極限證明不等式總結(jié)詞通過研究函數(shù)極限，我們可以深入了解函數(shù)的性質(zhì)和行為。詳細(xì)描述函數(shù)的極限描述了函數(shù)在某些點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的行為。通過研究這些極限，我們可以更好地理解函數(shù)的整體性質(zhì)和行為，例如函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、奇偶性等。利用函數(shù)極限研究函數(shù)的性質(zhì)04函數(shù)極限的求解方法VS直接代入法適用于函數(shù)在某點(diǎn)的極限值可以直接通過代入得到的情況。詳細(xì)描述當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)的極限可以直接通過將該點(diǎn)的x值代入函數(shù)表達(dá)式得到時(shí)，我們就可以使用直接代入法求解。這種方法適用于一些簡單的函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)等?？偨Y(jié)詞直接代入法夾逼準(zhǔn)則法是通過比較函數(shù)與兩個(gè)夾逼函數(shù)在某點(diǎn)的取值來求解函數(shù)極限的方法。當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)的極限受到兩個(gè)夾逼函數(shù)的限制時(shí)，我們可以通過比較這三個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的取值來求解原函數(shù)的極限。這種方法需要找到合適的夾逼函數(shù)，并確保它們在某點(diǎn)的取值能夠正確地逼近原函數(shù)的極限。總結(jié)詞詳細(xì)描述夾逼準(zhǔn)則法總結(jié)詞單調(diào)有界定理法適用于函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)且有界的情況。要點(diǎn)一要點(diǎn)二詳細(xì)描述當(dāng)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或遞減，并且在該區(qū)間內(nèi)有界時(shí)，我們可以使用單調(diào)有界定理法來求解函數(shù)在該區(qū)間的極限。這種方法需要證明函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)且有界，然后利用單調(diào)有界定理得出函數(shù)在該區(qū)間的極限值。單調(diào)有界定理法05函數(shù)極限的深入理解無窮小量在某一過程中，一個(gè)變量相對于另一個(gè)變量趨于零，被稱為無窮小量。無窮大量在某一過程中，一個(gè)變量相對于另一個(gè)變量趨于無窮大，被稱為無窮大量。無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3有限個(gè)無窮小量的積仍為無窮小量。常數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量。有限個(gè)無窮小量的和仍為無窮小量。應(yīng)用1利用無窮小量替