圖形的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)-2022年中考數(shù)學一輪復習幫(浙江專用)（解析版）

考點22圖形的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)

【命題趨勢】

中考數(shù)學中，圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)是幾何變換的三大變換，也是很多動態(tài)問題的

難點所在。在三種變換中，平移相對較為簡單，多以選擇題形式考察，偶爾也會考察作圖題;

對稱和旋轉(zhuǎn)則難度較大，通常作為選擇、填空題的壓軸題出現(xiàn)，在解答題中，也會考察對稱

和旋轉(zhuǎn)的作圖，以及與特殊幾何圖形結(jié)合的綜合壓軸題，此時常需要結(jié)合幾何圖形或問題類

型去分類討論。

【中考考查重點】

一、軸對稱與軸對稱圖形

二、圖形的平移

三、中心對稱與中心對稱圖形

四、圖形的旋轉(zhuǎn)

五、幾何變換的綜合

考向一：軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱與軸對稱圖形知識總結(jié)

軸對稱軸對稱圖形

定義把一個圖形沿某一條直線折疊，如果他能如果一個圖形沿某一直線對折后，直

夠有另一個圖形完全重合，那么就說這兩線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖

個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做它

對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫的對稱軸，這是我們也說這個圖形關(guān)

對稱點于這條直線成軸對稱

區(qū)別軸對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個

關(guān)系圖形

聯(lián)系(1)如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么這個圖形是軸對稱圖形；

(2)如果把一個軸對稱圖形中對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們成軸對稱

(1)對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分；

軸對稱(2)對應(yīng)線段相等；

的性質(zhì)(3)對應(yīng)線段或延長線的交點在對稱軸上；

(4)成軸對稱的兩個圖形全等

【方法提煉】

點與點的對稱規(guī)律：

若點P(a,b),則點P關(guān)于x軸對稱的坐標為(a,-b)；則點P關(guān)于y軸對稱的坐標為(-a,

b);

【同步練習】

1.(2022?習水縣模擬)下列是北京大學、中國科學院大學、中國藥科大學和中南大學的標

志性圖案；其中是軸對稱圖形的個數(shù)有()

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形

叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：左起第二、四兩個圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊,

直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，

第一、三兩個圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以是軸對稱圖形，

故選：B.

2.（2021秋?綏棱縣期末）下面圖形中，（）對稱軸最少.

A.正方形B.長方形C.等邊三角形D.圓

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

【解答】解：A.正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；

B.長方形是軸對稱圖形，有2條對稱軸；

C.等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸：

D.圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸.

故8選項對稱軸最少.

故選：B.

3.（2022?東明縣一模）如圖，正方形ABCO的邊長為6.則圖中陰影部分的面積為.

【分析】根據(jù)正方形的對稱性質(zhì)得到圖中的面積=上正方形的面積.

2

【解答】解：根據(jù)題意，得S陰影部分=4S正方彩/IBCOua"XGZnlg.

22

故答案為：18.

4.（2021?揚州模擬）如圖，AABC中，NABC=45°,ZBCA=J5°,3。=6-2代，點「

是8c上一動點，于O,于E,在點尸的運動過程中，線段。E的最小

值為(）

A

A.373-3B.V3C.4A/3-6D.2

【分析】當AP，8c時，線段。E的值最小，利用四點共圓的判定可得：A、￡>、P、E四

點共圓，且直徑為AP,得出NA￡>E=/B=45°,從而可得△AE￡)S2\ACB,坦=些,

ABBC

設(shè)AO=2x,表示出A。和48的長，代入比例式中，可求出OE的值.

...NBAC=60°,

,：PDA.AB于D,PEVAC于E,

:.NADP=NAEP=90°,

AZADP+ZAEP=180a,

...A、O、P、E四點共圓，且直徑為AP,

...當APLBC時，OE的值最?。ㄋ倪呅蜛、D、尸、E四點共圓，外是直徑，/3AC=

60是定值，故直徑4P最小時，ND4E所對的弦最?。?，

在RtZ\PBE中，ZB=45°,

.?.△P8E是等腰直角三角形，ZBP￡=45°=ZAPE,

：.ZADE=ZAPE=45°,

.?.NAOE=/8=45°,

,/ZEAD=NCAB,

：./\AED^^ACB,

?.?—AD_DE1

ABBC

設(shè)AE=2x,則PE=EB=2r,AB=4x,AP=2?x,

取AP的中點0,連接。O,則AO=OO=OP=J，x,

,.?/O4P=N8AC-/%E=60°-45°=15°,

:.NDOP=2NDAO=30°,

過。作QMJ_AP于M,則。M=L>O=YLX,OM=MDM=J^,

222

：.AM=OA+OM=?_xN^x=對紅區(qū)x,

22

由勾股定理得：^0=,\/AM2+DM2=（JE+I）X，

?（4+l）x=DE

4x6-273'

:.ED=M，即線段DE的最小值為愿.

故選：B.

5.（2022?貴港模擬）已知關(guān)于點A的坐標為（a,-1）,且a+2020的相反數(shù)為-2022,則

點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（）

A.（2,-1）B.（2,1）C.（-2,-1）D.（-2,1）

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義可得〃的值，再根據(jù)關(guān)于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標

不變，縱坐標互為相反數(shù)，即點尸G,y）關(guān)于x軸的對稱點P'的坐標是（x,-y）,

進而得出答案.

【解答】解：：。+2020的相反數(shù)為-2022,

a+2020=2022,

解得a=2,

...點A的坐標為（2,-1）,

??.點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（2,1）.

故選：B.

6.（2022?灌南縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，對在第一象限的△A8C進行循環(huán)往復

的軸對稱變換，若原來點A的坐標是（a,b）,則經(jīng)過第2022次變換后所得A點坐標

是

第1次?第2次，第3次.第4次

關(guān)于x軸對稱關(guān)于J軸對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于1軸對稱

【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4,然后根據(jù)商

和余數(shù)的情況確定出變換后的點A所在的象限，然后解答即可.

【解答】解：???點A第一次關(guān)于x軸對稱后在第四象限，

點A第二次關(guān)于y軸對稱后在第三象限，

點A第三次關(guān)于x軸對稱后在第二象限，

點A第四次關(guān)于y軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置，

.?.每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

V20224-4=505-2,

經(jīng)過第2022次變換后所得的4點與第一次變換的位置相同，在第三象限，坐標為（-

a,-b）,

故答案為：（-〃，-

7.（2021?青島）如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC,AB=10,ZB=60°,將紙片

折疊，使點B落在AD邊上的點G處，折痕為EF,若NBFE=45°,則BF的長為（）

A.5B.3遙C.5A/3D.江

5

【分析】由折疊知：BF=GF,NBFE=NGFE,得/BFG=90：過點A作AH_LBC于

H,在中，求出4H的長度，再證四邊形AHFG是矩形，從而得出AH=GF,

即可解決問題.

【解答】解：由折疊知：BF=GF,NBFE=NGFE,

"：ZBFE=45°,

；.NBFG=90”,

過點A作AHL8C于，，

在中，4H=sin60°XAB=^~x10=5?,

,JAD//BC,

.?.NG4H=NAHB=90°,

ZGAH=NAHB=NBFG=90°,

四邊形AHFG是矩形，

：.FG=AH=5\f3,

：.BF=GF=5\[3.

故選：C.

8.（2021?巴中）如圖，矩形AOBC的頂點A、B在坐標軸上，點C的坐標是（-10,8）,

點。在4c上，將△BCD沿8。翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，貝Ijtan/OBE等

于（）

X

A.3B.3C.叵D.A

4532

【分析】利用翻折后△AOE與△0E8相似得到ED的長,進而求解，

【解答】解：；四邊形AOBC為矩形，且點C(-10,8）,

：.AC=OB=S,AO=8C=10,/C=/A=/EOB=90°>

,/ABCD沿8￡＞翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，

：.CD=DE,BC=BE=1Q,

在RtZ\08E中，OE={BE2_0B2={]02_82=6,

設(shè)AD^m,貝ijCD=DE=8-m,

VZADE+ZAED^ZAED+ZOEB=90°,

：.ZADE=ZOEB,

'.'ZA=ZAOB,

△ADES^OEB,

?DA0E叩m6

DEBE8-m10

解得m—3,

：.DE=S-3=5,

在RtZ\BQE中，DE=5,BE=10,

.,?tanZDB￡=-L=A,

102

另一種思路：OE=6,則AE=4,

在RtZXAOE中,(8-m)2+42=m2,

解得m=5,所以QE=5,

在RlZ\8力E?中，BE=IO,

tanZDBE--^-=—,

102

故選：D.

9.(2022?研口區(qū)模擬)如圖是由小正方形組成的9X9網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格

點.矩形ABCQ的四個頂點以及點E,F都是格點，EF與AB相交于點兒僅用無刻度

(1)直接寫出絲的值；

BH

(2)在圖1中的CD上畫點G,使得EG=EH；

(3)在圖2中，先畫點A關(guān)于EF對稱點A',再在3c上畫點M,連接M/7,使得

=ZAHE.

【分析】(1)利用平行線分線段成比例定理求解：

(2)取格點P,Q,連接P。，連接EF,PQ與網(wǎng)格線的交點LR交CD于點G,點G即

為所求；

(3)取格點K,L,連接KJ,JK交網(wǎng)格線于點T,連接7W交于點M,點M即可所

求.

【解答】解：(1)'JAE//BF,

.?必膽=2；

HBBF

（2）如圖，點G即為所求;

（3）如圖，點M即為所求.

考向二：圖形的平移

平移知演梳理：

1.平移的兩個基本條件：平移的方向和距離；

2.平移不改變圖形的形狀和大小（即平移前后的兩個圖形全等）；一個圖形和它經(jīng)過平

移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點的連線平行（或在同一直線上）且相等。

【方法提煉】

點平移的規(guī)律：

若點P（a,b）,則點P向右平移m個單位的坐標為（a+m,b）；點P向左平移m個單位的

坐標為（a-m,b）；點P向上平移m個單位的坐標為（a,b+m）；點P向下平移m個單位

的坐標為（a,b-m）；

【同步練習】

1.（2021?鞍山）如圖，/XABC沿8c所在直線向右平移得到△￡）￡￡已知EC=2,BF=8,

則平移的距離為.

【分析】利用平移的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，BE=CF,

,:BF=8,EC=2,

：.BE+CF=8-2=6,

：.BE=CF=3,

二平移的距離為3,

故答案為：3.

2.（2021?清苑區(qū)模擬）木匠有32公尺的木材可以做花圃周圍的邊界，以下造型中，花圃周

圍用32公尺木材做邊界不能完成的是()

6m

D.*-10加

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)以及矩形的周長公式分別求出各圖形的周長即可得解.

【解答】解：A、周長=2(10+6)=32/M；

8、?.?垂線段最短，

...平行四邊形的另一邊一定大于6m,

V2(10+6)=32，”，

.?.周長一定大于32"?；

C、周長=2(10+6)=32皿

。、周長=2(10+6)=32m；

故選：B.

3.如圖，在aABC中，BC=3,將aABC平移5個單位長度得到△AiBiCj,點P、。分別

是AB、4G的中點，PQ的最小值等于.

【分析】取AC的中點M,Ai@的中點M連接尸M,MQ,NQ,PN,根據(jù)平移的性質(zhì)

和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】解：取的中點N,連接NQ,PN,

?.?將△A8C平移5個單位長度得到△AIBICI,

：.B\C\=BC=3,PN=5,4

???點P、Q分別是AB、4。的中點，A/I

"Q十C號，

：.5-S〈PQW5+旦,B；

22B

即工WPQWll,

22

的最小值等于工,

2

故答案為：1.

2

考向三：中心對稱與中心對稱圖形

中心對稱與中心對稱圖形知識總結(jié):

中心對稱中心對稱圖形

定義把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180。后，如把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180度

果它能與另一個圖形完全重合，那么就后能夠與原來的圖形重合,那么我們

說這兩個圖形關(guān)于這個點成中心對稱，把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個

該點叫做對稱中心點叫做對稱中心

區(qū)別軸對稱是指兩個全等圖形之間的相互位軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一

置關(guān)系個圖形

聯(lián)系(1)成中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱

中心平分；

(2)成中心對稱的兩個圖形全等

特別地：平行四邊形是中心對稱圖形，但不一定是軸對稱圖形；正多邊形中，邊數(shù)為奇

數(shù)時，只是軸對稱圖形，邊數(shù)為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

【方法提煉】

點與點成中心對稱的規(guī)律:

若點P(a,b),則點P關(guān)于點原點0對稱的點的坐標為(-a,-b)；

【同步練習】

1.(2021?遵義)下列美術(shù)字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

AMlBAlcH

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：兒是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意：

D.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.故本選項符合題意.

故選：D.

2.(2022?麗水一模)把8個邊長為1的正方形按如圖所示擺放在直角坐標系中，經(jīng)過原點

O的直線/將這8個正方形分成面積相等的兩部分，則該直線的函數(shù)表達式是

【分析】設(shè)直線/和八個正方形的最上面交點為A,過A作A8_LOB于B,易知08=3,

利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標即可得到該直線/的解析式.

【解答】解:如圖，

?.?經(jīng)過原點的一條直線/將這八個正方形分成面積相等的兩部分，

??SZ^O8=4+1=5,

而08=3,

：3比3=5,

48=西，

3

二4點坐標為（改，3）,

3

設(shè)直線方程為y="，

貝IJ3=也次,

3

...直線/解析式為y=&.

故答案為：y=2r.

10

3.（2022?富平縣一模）如圖，點。是平行四邊形A8C。的對稱中心，點E、/分別為邊BC、

A。上任意一點，且0、E、尸三點在一條直線上，連接A。，BO,EO,FO.若A8=4,

BC=6,NA3C=60°,則圖中陰影部分的面積是

BE

【分析】連接C。，過A作A”,8c于，，依據(jù)點O是平行四邊形A8CQ的對稱中心,

即可得至IJSABOC=X$MBC，再根據(jù)ZVIOF且△COE(SAS),即可得至ljSAAOF=SACOE，進

2

而得出S陰影部分=SABOC=3J"5.

【解答】解：如圖所示，連接CO,過A作A，_LBC于"，

,.,AB=4,/4BC=60°,NAH8=90°,

；.NBAH=30°,BH=1AB=2,

2

.*.A/7=2V3，

?*-5AABC=-^-^CXAH—^x6X2A/3,

又：點。是平行四邊形ABCD的對稱中心，

二0是AC的中點，

:?SABOC=LSAABC=▲X6a=3點，

22

???點0是平行四邊形ABC。的對稱中心，且0、E、F三點在一條直線上,

：.AO=CO,FO=EO,ZAOF=ZCOE,

...△AOF絲△COE(SAS),

S4AoF=S4COE，

?'?S陰影部分=Sa5OC=3j^，

故答案為：3Vs-

4.(2022?孝南區(qū)一模)在平面直角坐標系中，點A(2,/)與點B(小3)關(guān)于原點對稱,

貝IJ()

A.m~~3,九:=2B.tn~~一3,n~~~2C.m=3,n~~-2D.rn—~-3，〃=2

【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)求出〃?，〃的值，進而得出答案.兩個點關(guān)于原

點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x,y)關(guān)于原點。的對稱點是P'(-X,-

y).

【解答】解：???點A(2,m)與點8(n,3)關(guān)于原點對稱，

.,.〃?=-3,〃=-2,

故選：B.

5.(2022?萊蕪區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標系中，AABC的頂點都在方格紙的格點上，

將△ABC繞著某點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，得到△AEC,則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為()

A.（-1,1）B.（-1,2）C.（1,1）D.(1,-1)

【分析】對應(yīng)點連線段的垂直平分線的交點P即為所求.

【解答】解：如圖，點P即為所求，P（-1,1）.

故選：A.

考向四：圖形的旋轉(zhuǎn)

一.旋轉(zhuǎn)的比義：

如果一個圖元繞某一個定點沿某一個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形變換稱為旋轉(zhuǎn)

變換，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心；

二.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

（1）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小（即旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等）；

（2）任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等（都是旋轉(zhuǎn)角）；

（3）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等

三.旋轉(zhuǎn)變換三要素

①旋轉(zhuǎn)中心，②旋轉(zhuǎn)方向，③旋轉(zhuǎn)角度

【同步練習】

1.（2021?桓臺縣二模）下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時

針旋轉(zhuǎn)90°后，能與原圖形完全重合的是（）

【分析】求出各旋轉(zhuǎn)對稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，繼而可作出判斷.

【解答】解：A、最小旋轉(zhuǎn)角度=逝二=90°.

4

B、最小旋轉(zhuǎn)角度=絕一=72°.

5

C、最小旋轉(zhuǎn)角度=360°=120°.

3

。、最小旋轉(zhuǎn)角度=360°=60。.

6

綜上可得：順時針旋轉(zhuǎn)90°后，能與原圖形完全重合的是A.

故選：A.

2.（2022?瑞金市模擬）如圖，將邊長為遂的正方形繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)30°,那么圖中陰

影部分的面積為（）

A.3B.73C.3-V3D.1473

【分析】設(shè)C。'與AD交于M,連接BM,邊長為我的正方形繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°,

可得ZA=ZC=90°,ZCBC=30°,從而有△A8W絲△CBM(HL),即得

NABM=NCBM=30°,4用=媽=1,可得5AABM=」AB?AM=1_=SABCW，故S陰

V322

影=(V3)2-S^ABM-SMCM=3-V3.

【解答】解：設(shè)C。'與A。交于M,連接如圖:

???邊長為我的正方形繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)30°,

：.AB=BC,NA=NC=90°,ZCBC=30°,

,:BM=BM,

.'.△A8M絲△CBM(HL),

：.ZAHM=ZCBM=30°,

在RtAABAf中，

AM=-^=l,

V3

.,.S&ABM=^AB*AM=^--S&BCM>

22

?*-S用彩=(Vs)2-S&ABM-5ABCM=3-Vs，

故選：c.

3.（2022?和平區(qū)一模）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70°得到△?!￡）￡點B,C的對

應(yīng)點分別為。，E.當點3,C,D,P在同一條直線上時，則/POE的度數(shù)為（）

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A8=AO,ZADE,/BAO=70°,由等腰三角形的

性質(zhì)可得NA8c=/4。8=55°=NADE,即可求解.

【解答】解：；將△48C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70°得到△AOE,

：.AH=AD,ZABC=AADE,N8AO=70°,

.?.NA8C=N4OB=55°,

：.ZABC=ZADB=55°=ZADE,

：.ZPDE=}^0°-ZADB-ZADE=10Q,

故選：B.

4.（2022?鐘山縣校級模擬）如圖，點E為正方形ABC。外一點，NAEB=90°,將Rt/XABE

繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△4OF,。尸的延長線交8E于”點.

（1）試判定四邊形4F77E的形狀，并說明理由；

（2）已知84=7,DH=17,求BC的長.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NAEB=/AFZ）=90°,ZEAF=90°,AE=AF,從

而可得四邊形AFHE是正方形；

（2）連接BD,先在Rt/XDHB中利用勾股定理求出BD,再在RtABCD中求出BC,即

可解答.

【解答】解：（1）四邊形是正方形,

理由：由旋轉(zhuǎn)得：

NAEB=NAFD=90°,NE4F=90°,

.?.NA"7=I8O°-ZAFD=90°,

四邊形是矩形，

由旋轉(zhuǎn)得：AE=AF,

四邊形是正方形；

???四邊形4FHE是正方形，

ZAHF=90°,

:.NDHB=180°-/AH尸=90°,

'：BH=1,DH=\1,

?*-BD=VDH2+BH2=V172+72=13日

???四邊形A8CO是正方形，

：.BC=CD,NC=90°,

阮=尊=13#=13,

V2V2

；.8C的長為13.

4.（2022?朝陽區(qū)校級一模）圖1、圖2分別是7X7的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的

邊長均為1,點A、B在小正方形的頂點上，僅用無刻度直尺完成下列作圖.

（1）在圖1中確定點C、D（點C、。在小正方形的頂點上），并畫出以AB為對角線的

四邊形，使其是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，且面積為15；

（2）在圖2中確定點E、F（點、E、尸在小正方形的頂點上），并畫出以A8為對角線的

四邊形，使其既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且面積為15.

【分析】（1）畫一個底為3,高為5的平行四邊形即可；

（2）畫一個對?角線分別為3&,5&的菱形AEBF即可.

【解答】解：（1）如圖1中，平行四邊形AC8。即為所求.

（2）如圖2中，菱形AE8尸即為所求.

5.（2022?鄭州一模）馬老師在帶領(lǐng)學生學習《正方形的性質(zhì)與判定》這一課時，給出如下

問題：如圖①，正方形ABCD的對角線AC、8。相交于點O,正方形ABC,。與正方形

ABCD的邊長相等.在正方形A'B'C'O繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，0T與AB相交于點M,OC'

與8c相交于點N,探究兩個正方形重疊部分的面積與正方形A8CO的面積有什么關(guān)系.

（1）小亮第一個舉手回答“兩個正方形重疊部分的面積是正方形ABCD面積的_工_”；

4

（2）馬老師鼓勵同學們編道拓展題，小穎編了這樣一道題：如圖②，在四邊形ABC。中，

AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°,連接AC.若AC=6,求四邊形ABC。的面積.請你

幫小穎解答這道題.

圖①圖②

【分析】（1）證明aBOM絲△CON（ASA）,可得結(jié)論SABOM=S&CON，則可得出S四邊形

OMUN—S^OBC——SX-HKABCD-<

4

(2)過A作AE_LAC,交CD的延長線于E,證明△ABC絲△AQE,得到AC=AE,△

A8C與△AOE的面積相等；求出aAEC的面積即可解決問題.

【解答】解：(1)???四邊形ABCO是正方形，四邊形OA'B'C是正方形，

：.ACLBD,OB=OC,NOBM=NOCN=45°,NA'OC'=90°,

；.NBOC=NA'OC'=90°,

NBOM=ZCON,

:.△JiOMmACON(ASA),

:&BOM=SACON，

OMBN=OBC=1

Sima?SA-isliltiABCD-

4

故答案為：1;

4

(2)過4作AE_LAC,交CO的延長線于E,

圖②

\'AELAC,

???NE4c=90°,

VZDAB=90°,

；?NDAE=NBAC,

ZBAD=ZBCD=90°,

AZADC+ZB=]80°,

VZEDA+ZADC=180°,

；?NEDA=NB,

'：AD=ABf

在△ABC與△ADE中，

<ZEAD=ZCAB

,AD=AB，

ZEDA=ZB

/XABC^AADE(ASA),

：.AC=AE,

VAC=6,

：.AE=6,

ASA4EC=—X6X6=18,

2

?'?S四邊JBA8C￡>=18.

考向五：幾何變換綜合

當幾何變換出現(xiàn)在綜合題中時，要多注意與之結(jié)合的幾何圖形的性質(zhì)的應(yīng)用

【同步練習】

1.（2022?全椒縣一模）正方形48CO的邊長為8,點E、尸分別在邊A。、8c上，將正方

形沿EF折疊，使點A落在4處,點B落在B處,A5交BC于G.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.當4為C。中點時，貝ljtanZDA'E=3.

4

B.當A'。：DE：A'￡=3：4：5時，則A'C=K

3

C.連接4V,則A4'=EF

D.當4（點4不與C、。重合）在CO上移動時，△HCG周長隨著W位置變化而變化

【分析】人當A'為CZ）中點時，設(shè)WE=AE=x,則OE=8-x,根據(jù)勾股定理列出方

程求解，可推出A正確；

B.當△ADE三邊之比為3：4：5時，假設(shè)A'￡>=3a,DE=4a,A'E=5a,根據(jù)4D=AE+OE

=8,可求得a的值，進一步求得即可判斷出8正確；

3

C.過點E作區(qū)WJ_BC,垂足為M,連接44交EM,EF于點N,。，證明△44'△

EFM（ASA）,即得C正確；

D.過點A作AHLA'G,垂足為H,連接AA,AG,先證△A4T）絲△AAH,可得40=

AH,A'D=A'H,再證RtZ\ABG四RtZ\A”G,可得HG=BG,由此證得△A'CG周長=16,

即可得出。錯誤.

【解答】解：???A'為C。中點，正方形48。的邊長為8,

."0=8,A'D=XcD=4,N￡>=90°,

2

???折疊，

設(shè)A'E=AE=x,則DE=8-x

,/在RtAA'DE中，A'D2+DE2=A'E2,

/.42+(8-x)2=，，

解得：x=5,

.ME=5,DE=3,

：.tanZDA'E=-^-=^-,

DA'4

故A正確；

當△ADE三邊之比為3：4：5時,假設(shè)A'D=3a,DE=4a,A'E=5a,則AE=4E=5a,

'：AD=AE+DE=S,

:.5。+4以=8,

解得：a=旦，

9

；.4D=3a=&,A'C^CD-A'D=8-&=西，

333

故B正確；

白如圖，過點二E作垂足為M,連接AN交EM,EF于點、N,Q,

AB

：.EM//CD,EM=CD=AD,

：.ZAEN=ZD=90°,

由翻折可知：EF垂直平分44',

AZAQE=90°,

/.ZEAN+ZANE=ZQEN+ZANE=90Q,

ZEAN=NQEN,

在△A4O和中，

rZDAAZ=ZFEM

-AD=EM，

ZD=ZENF=90°

.?.△AA'D^/XEFM(ASA),

：.AA'=EF,

故C正確：

如圖，過點A作A”,4G,垂足為“，連接AA,AG,則NA/M，=NA”G=90°,

?.?折疊，

：.ZEA'G=ZEAB=90°,A'E^AE,

'：NC=90”

ZEAA'+ZDA'A=90(),

：.ZAA'G=ZDA'A,

：.^AA'D^^AA'H(.AAS),

：.AD=AH,AlD=A'H,

'：AD=AB,

：.AH=AB,

在RtAABG與RtAiAZ/G中，

[AB=AH,

1AG=AG，

ARtAX5G^RtAAWG(HL),

：.HG=BG,

：.△A'CG周長=/VC+A'G+CG

=A'C+A'H+HG+CG

=A'C+A'D+BG+CG

=CD+BC

=8+8

=16,

當4在CD上移動時，△4CG周長不變，

故。錯誤.

故選：D.

2.(2022?臨潼區(qū)一模)在學習完“圖形的旋轉(zhuǎn)”后，某數(shù)學興座小組做了如下探究：△ABC

和是兩個全等的等腰直角三角形，NBMC=NEDF=90°,/XOEF的頂點后與4

ABC的斜邊8c的中點重合.將繞點E作逆時針旋轉(zhuǎn)，該過程中，線段。E與線

段AB相交于點P,線段與射線CM相交于點Q.

問題提出

(1)如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=A。時，△8PE和ACQE是否全等.如果

全等，寫出證明過程；若不贊同，請說明理由.

問題解決

（2）如圖②，當點Q在線段C4的延長線上時，ABPE和△CQE是否有存在與第（1）

間相同的關(guān)系，如果相同寫出證明過程；如果不同，請說明它們的關(guān)系.當BP=a,CQ

=曳時;求P,Q兩點間的距離（用含。的代數(shù)式表示）.

【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等，其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等證明即可.

（2）證明△BPESACEQ,由相似三角形的性質(zhì)可得BPBE,推出BE=CE=顯,

CECQ2

BC=3y[2a,AB=AC=^S-BC=3a,AQ=CQ-AC=^-a-3a=^a,AP=AB-BP=3a

222

-a=2。，在RtZVIPQ中，利用勾股定理，可得結(jié)論.

【解答】解：（1）△BPEQACEQ.

?；/XABC和是兩個全等的等腰直角三角形,

:.NB=NC=NDEF=45°,

ZBEQ=ZBEP+ZDEF=ZEQC+ZC,

：.ZBEP+45°=/EQC+45°,

：.NBEP=ZEQC,

"：AP=AQ,AB=AC,

：.BP=CQ,NB=NC,

在△BPE和△CEQ中，

'/B=NC

-ZBEP=ZEQC?

BP=CQ

：./\BPE^A,CEQ(AA5)；

(2)ABPESACEQ.

證明：如圖2,

NBEQ=NEQC+NC,即/BEP+NQEF=NEQC+NC,

:./BEP+45°=/EQC+45°,

：.ZBEP=ZEQC,

又,：NB=NC,

:.△BPEs/\CEQ；

'：/XBPE^ACEQ,

???BPBE,

CECQ

'：BE=CE,

.a=CE

"CE~'

~2a

解得：BE=CE=$/2a,

2

，BC=3企a,

."8=AC=?BC=^X3&a=3m

22

：.AQ=CQ-AC=^-a-3a=當，AP=AB-BP=3a-a=2a,

22

在RtaAPQ中，PQ=>/AQ2+Ap2=Jc|a)2+(2a)2卷

3.(2022?蜀山區(qū)一模)己知：如圖1,△ABC中，ZCAB=nO°,AC=4B,點。是BC

上一點，其中NA￡?C=a(30°<a<90°)，將△43。沿A。所在的直線折疊得到△AEZ),

AE交CB于F,連接CE.

(1)求/CDE與/AEC的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,當a=45°時，解決以下問題：

①已知40=2,求CE的值；

②證明：DC-DE=?AD.

圖1

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可得乙48C=/AC8=30°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NAO8

=/AOE=180°-a,NDA8=/OAE=a-30°,AB=AE=AC,即可求解；

(2)①由等腰直角三角形的性質(zhì)可求AH=7歷，由直角三角形的性質(zhì)可求4c=2料，

由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CE=4；

②由“SAS”可證△4￡>￡絲△AGC,可得。E=CG,可得結(jié)論.

【解答】(D解：,.?/CAB=120°,AC^AB,

：.ZABC=ZACB=30°,

,//AOC=a,

/.NDAB=ZADC-ZB=a-30°,ZADB=180°-a,

:將△ABO沿AD所在的直線折疊得到△AE￡>,

AZADB=Z4D￡=180°-a,ZDAB=ZDAE=a-30°,AB=AE=AC,

AZCD￡=180°-a-a=180°-2a,ZCAE=120-2(a-30°)=180°-2a,

...NA￡C=18O。Y180°-2a)=a；

2

(2)①解：如圖2,過點A作AaJ_BC于H,

...NAOC=ND4H=45°,

：.AH=HD,

'：AD^2,

：.AH=HD=y]2>

\'ZACB=30°,

:.AC=1AH=2近,

VZCD￡=180°-2a=90",ZAEC=a=45°,

.'.ZACE=ZAEC=45°,

.ME=AC=2我，

：.CE=y/2AC=4；

②如圖3,過點A作AG,AC,交CO于G,

VZADC=45°,AGVAD,

：.ZADC^^AGD=45°,

：.AD=AG,

：.DG=\[2AD,

'：ZDAG=ZCAE=90°,

.,.ZCAG^ZEAD,

又；AC=AE,AD=AG,

：./\ADE^^AGC(SAS),

：.DE=CG,

'：CD=CG+DG,

:.DC-DE=?AD.

4.(2022?重慶模擬)如圖，△ABC為等邊三角形，。為AC邊上一點，連接B￡>,M為BD

的中點，連接4M.

(1)如圖1,若48=2d§+2,/ABQ=45°,求△AMD的面積；

(2)如圖2,過點M作MMLAM與AC交于點E,與8c的延長線交于點N,求證：AD

=CN；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將aABM沿AM翻折得△A8M,連接夕N,當B‘N

取得最小值時，直接寫出里邁的值.

MN

圖3

【分析】(I)利用直角三角形的性質(zhì)可求84=D”，DH=MAH,可得A，=2,由三角

形面積公式可求解；

(2)由“A4S”可證可得AO=8G,AM=GM,由“SAS”可證△48G

g△ACN,可得BG=CN,可得結(jié)論；

(3)通過全等三角形的性質(zhì)可得BW=￡W=3￡>,當3O_LAC時，BD有最小值，即8W

有最小值，山等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求出8N,OE,何N的長，即可求解.

【解答】(1)解：如圖1，過點。作。HJL48于H,

；NA8O=45°,DH1AB,

；.NABD=NBDH=45°,

：.BH=DH,

VZBAD=60°,DHLAB,

：.DH=43AH,

,:AB=2如+2=AH+BH=?AH+AH,

：.AH^2,

：.DH=2yf3,

：.S^ABD=^XABXDH=1X（273+1）x25/3=6+73；

22

(2)證明：如圖2,過點A作4FJ_8c于/，連接MF,過點8作8G〃AC,交AM的

延長線于G,連接GM

：.ZCAG=ZAGB,

又?：NAMD=/BMG,BM=DM,

：.(A4S),

：,AD=BG,AM=GM,

MNLAG,

:?AN=GN,

???△A3C是等邊三角形，AFLBC,

；?BF=FC,ZBAF=ZCAF=30°,

又?：BM=DM,

：.MF//AC,

：.ZCAF=ZAFM=30°,

VAAMN=ZAFC=9O0,

???點A,點M,點F,點N四點共圓，

AZAFM=ZANM=30Q,

：.ZNAM=60°,

??.△ANG是等邊三角形，

:.AG=AN9

???NA4C=NM4V=60°,

:?/BAG=/CAN,

又?.?