預(yù)習(xí)03講平面向量的數(shù)乘運(yùn)算2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)提升課（人教A版2019）

2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)精品課（人教A版2019必修第二冊）預(yù)習(xí)03講平面向量的數(shù)乘運(yùn)算（精講+精練）①平面向量數(shù)乘的定義及相關(guān)運(yùn)算②平面向量的線性運(yùn)算③平面向量共線的判定及應(yīng)用一、向量的數(shù)乘（1）向量數(shù)乘的定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.（2）向量數(shù)乘的幾何意義對于：①從代數(shù)角度看，是實(shí)數(shù)，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．②從幾何的角度看，對于長度來說，當(dāng)時(shí)，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長了倍；當(dāng)時(shí)，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．（3）向量數(shù)乘的運(yùn)算律實(shí)數(shù)與向量的積滿足下面的運(yùn)算律：設(shè)、是實(shí)數(shù)，、是向量，則：①結(jié)合律：②第一分配律：③第二分配律：二、向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量,,以及任意實(shí)數(shù),,,恒有.三、向量共線定理（1）內(nèi)容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實(shí)數(shù)，.（2）向量共線定理的注意問題：①定理的運(yùn)用過程中要特別注意．特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．②定理的實(shí)質(zhì)是向量相等，應(yīng)從大小和方向兩個方面理解，借助于實(shí)數(shù)溝通了兩個向量與的關(guān)系．③定理為解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問題提供了一種方法．要證三點(diǎn)共線或兩直線平行，任取兩點(diǎn)確定兩個向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)使向量相等即可．題型一：題型一：數(shù)乘運(yùn)算的定義及其幾何意義策略方法②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.【題型精練】一、單選題1．已知平面內(nèi)的兩個非零向量，滿足，則與（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反【答案】D【分析】根據(jù)向量的共線及模的關(guān)系確定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)閮蓚€非零向量，滿足，所以為共線反向向量，且模不相等，所以ABC錯誤，D正確.故選：D2．化簡為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的數(shù)乘及加減運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的四則運(yùn)算可知，.故選：D3．已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．且 D．以上說法都不對【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積分、、、四種情況討論即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，則有或，當(dāng)時(shí)，則有或.故選：D.4．下列計(jì)算正確的個數(shù)是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】對于①；故①正確，對于②；故②正確，對于③，故③錯誤，故選：C5．下列說法中正確的是（）A．與的方向不是相同就是相反 B．若共線，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】對于A,當(dāng)時(shí)，，由于零向量的方向是任意的，故A錯誤，對于B，當(dāng)時(shí)，此時(shí)共線，但不能得到，故B錯誤，對于C，，的方向不確定，故不能得到，C錯誤，對于D，若，則，故D正確，故選：D6．已知點(diǎn)在線段上，且，若向量，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合向量的線性表示即可求得.【詳解】如圖，由，可得，所以，即，故選：D.二、多選題7．若都是非零向量，且，則（

）A．方向相同 B．方向相反 C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)相等向量的概念判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由相等向量的概念可知，由都是非零向量，且，則方向相同，長度相等，故AC正確，B錯誤；而，故D錯誤.故選：AC.8．如圖，設(shè)兩點(diǎn)把線段三等分，則下列向量表達(dá)式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由圖和平面向量線性運(yùn)算逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由圖可得兩點(diǎn)把線段三等分，故，A，B正確；，故C，D，錯誤，故選：AB.9．[多選]向量，則下列說法正確的是（）A． B．向量方向相反C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】因?yàn)?，所以，故D正確；由向量共線定理知，A正確；－3<0，與方向相反，故B正確；由上可知，故C錯誤．故選：ABD三、填空題10．化簡：．【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則以及數(shù)乘運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，．故答案為：.11．若，則.【答案】【分析】由向量數(shù)乘運(yùn)算律可得答案.【詳解】將題設(shè)等式展開并化簡得：，則.故答案為：12．已知，若記，則．【答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算，求解的值.【詳解】，∴，則有，∴.故答案為：題型二：題型二：平面向量的線性運(yùn)算策略方法向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法:向量的數(shù)乘運(yùn)算可類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算.例如,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形在向量的數(shù)乘中同樣適用,但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作向量的系數(shù).(2)方程法:向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解方程的方法求解,同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察,恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律,簡化運(yùn)算.【題型精練】一、單選題1．已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得結(jié)果.【詳解】,故選：B.2．在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先結(jié)合圖形表示出，；再根據(jù)向量的減法運(yùn)算即可解答.【詳解】因?yàn)?，所以?所以.故選：A3．在梯形ABCD中，，，則（

）A．5 B．6 C．－5 D．－6【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性表示即可求解.【詳解】因?yàn)椋?所以.故選：B4．在梯形中，是中點(diǎn)，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形進(jìn)行向量的線性運(yùn)算即可.【詳解】，，故選：D.5．如圖，在四邊形ABCD中，，設(shè)，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C二、多選題6．如圖，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用向量相等的定義即可求解，兩個向量相等必須是大小相等且方向相同.【詳解】由題知，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，所以，，，對于A：且方向相同，所以，A選項(xiàng)正確；對于B：，所以，B選項(xiàng)錯誤；對于C：，所以，C選項(xiàng)錯誤；對于D：且方向相同，所以，D選項(xiàng)正確；故選：AD.7．如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)錯誤；故選：AC.三、填空題8．設(shè)四邊形中，且，則這個四邊形是．【答案】等腰梯形【分析】根據(jù)相等向量定義，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】，且，∴四邊形為梯形.又，四邊形為等腰梯形.故答案為：等腰梯形.9．如圖，在中，向量，且，則.【答案】1【分析】利用圖形關(guān)系進(jìn)行平面向量的線性運(yùn)算求出，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以，所以，則，故.故答案為：1.10．若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．則與的面積之比為．【答案】【分析】根據(jù)給定的向量等式，確定點(diǎn)M的位置，再借助面積關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，于是得點(diǎn)在邊上，并且，有，所以與的面積之比為.故答案為：題型三：題型三：平面向量共線的判定及應(yīng)用策略方法(1)證明或判斷三點(diǎn)共線的方法①一般來說,要判定A,B,C三點(diǎn)是否共線,只需看是否存在實(shí)數(shù)λ,使得AB→=λAC→(或BC→②利用結(jié)論:若A,B,C三點(diǎn)共線,O為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x,y,使OA→=xOB→+y(2)利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線,必有向量的系數(shù)為零,利用待定系數(shù)法建立方程,從而解方程求得λ的值.【題型精練】一、單選題1．設(shè)，是兩個不共線向量，若向量與向量共線，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量的共線定理可得，從而求出結(jié)果.【詳解】，存在實(shí)數(shù)，使得，即，又，是不共線向量，，解得.故選：B.2．設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理得存在實(shí)數(shù)，使，代入條件列式計(jì)算即可.【詳解】若向量與向量共線，則存在實(shí)數(shù)，使，，，解得.故選：D.3．設(shè)，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點(diǎn)A，B，D共線，則k的值為（

）A．－8 B．8 C．6 D．－6【答案】A【分析】先求出，然后利用存在實(shí)數(shù)使，列方程求k的值.【詳解】由已知得，三點(diǎn)A，B，D共線存在實(shí)數(shù)使，，解得.故選：A.二、多選題4．下列命題正確的的有（

）A．B．C．若，則共線D．，則共線【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷A，B；由共線向量的定義判斷C，D.【詳解】解：對于A，，故正確；對于B，，故正確；對于C，因?yàn)椋?，所以共線，故正確；對于D，因?yàn)楹愠闪ⅲ圆灰欢ü簿€，故錯誤.故選：ABC.5．（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A，B，C，D四點(diǎn)共線 B．C，B，D三點(diǎn)共線C． D．【答案】BD【分析】由可得，從而可對ABD進(jìn)行判斷，再對變形化簡可對C進(jìn)行判斷【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)橛泄捕它c(diǎn)，所以C，B，D三點(diǎn)共線，且，所以BD正確，A錯誤，由，得，所以，所以C錯誤，故選：BD三、填空題6．設(shè)與是兩個不共線向量，且向量與共線，則.【答案】【分析】利用向量共線的條件，列方程求的值.【詳解】依題意知向量與共線，設(shè)，則有，所以，解得，.故答案為：7．已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，則實(shí)數(shù)t的值為.【答案】2【分析】根據(jù)向量共線定理即可求解.【詳解】向量，共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，由于，是兩個不共線的向量，所以且，所以，故答案為：2四、解答題8．在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，在對角線上，且，求證：共線【答案】證明見解析【分析】證明向量和有倍數(shù)關(guān)系即可.【詳解】證明：設(shè)則所以故共線.9．判斷三點(diǎn)是否共線.(1)已知兩個非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點(diǎn)共線.(2)已知任意兩個非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)證明見解析