應(yīng)用平行線性質(zhì)的三大技巧

平行線的性質(zhì)三大技巧應(yīng)用肖老師特訓(xùn)中心內(nèi)部資料我們已經(jīng)學(xué)過了平行線的性質(zhì)定理:兩條直線平行,那么同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角度相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ).下面給大家列舉一下,如何使用平行線的性質(zhì)巧解試題.812381234567圖⑴所謂三線八角是指兩條直線被第三條直線所截,形成八個(gè)角,如圖⑴,其中,同位角有:∠1與∠5,∠2與∠6,∠4與∠8,∠3與∠7,內(nèi)錯(cuò)角有:∠3與∠5,∠4與∠6,同旁內(nèi)角有:∠3與∠6,∠4與∠5.例1.如,如果兩條平行線被第三條直線所截得的八個(gè)角中,有一個(gè)角的度數(shù),那么()12412436587圖⑵只能求出其余五個(gè)角的度數(shù).只能求出其余六個(gè)角的度數(shù).只能求出其余七個(gè)角的度數(shù).析解:由三線八角可知:同位角相等的有:∠1與∠5,∠2與∠6,∠4與∠8,∠3與∠7,內(nèi)錯(cuò)角相等的有:∠3與∠5,∠4與∠6,同旁內(nèi)角互補(bǔ)的有:∠3與∠6,∠4與∠5.ABCDEF圖⑶所以,ABCDEF圖⑶二、加平行線的輔助線例2.如圖⑶,一條公路修到湖邊時(shí),需拐彎繞過湖通過.如果第一次拐的角∠A是110°,第二次拐的角∠B是140°,第三次拐的角∠C,這時(shí)的道路與第一條路平行,那么∠C是().A、120°B、130°C、140°D、150°析解:作輔助線BE，把∠A轉(zhuǎn)移到∠ABE，ABCDE圖⑷∴∠CBE=∠ABCDE圖⑷∴∠C=180°－30°=150°，140°－110°=30°。例3．：如圖⑷,AB∥ED，求證：∠B+∠BCD+∠D=360°。分析：我們知道只有周角是等于360°，而圖中又出現(xiàn)了與∠BCD相關(guān)的以C為頂點(diǎn)的周角，假設(shè)能把∠B、∠D移到與∠BCD相鄰且以C為頂點(diǎn)的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三個(gè)角組成一個(gè)周角，那么可推出結(jié)論。ABCDE圖⑸F證法一：如圖⑸,過C作CF∥ABCDE圖⑸F∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠FCD=∠D，∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°。ABCDE圖⑹F證法二：如圖⑹,過ABCDE圖⑹F∴∠B+∠BCF=180°，∵AB∥ED，∴FC∥ED，∴∠FCD+∠D=180°，ABCDE圖⑺F∴∠B+ABCDE圖⑺F即∠B+∠BCD+∠D=360°。證法三：如圖⑺,過B作BF∥DC，∴∠FBC=∠BCD，又∵AB∥ED，∴∠ABF=∠D，∵∠ABC+∠CBF+∠ABF=360°，∴∠ABC+∠BCD+∠D=360°。例4．如圖⑻,直線a∥b，∠CAE=20°，∠CBF=40°，那么∠ACB=————。ababAECBF20°40°圖⑻三、平移角例5．如圖⑻,AB∥ED，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，∠A=110°，那么∠AEC為多少度。圖⑻ABECD析解:圖⑻ABECD∴∠A+∠ACD=180°，∠ACD=180°－∠A=180°－110°=70°，又∵CE平分∠BCD，∴∠ACE=∠ECD=∠ACD=×70°=35°，∵AB∥ED，∴∠AEC=∠ECD，∴∠AEC=35°。例6．如圖⑼,AD∥EG∥BC，AC∥EF，那么圖中與∠1相等的角〔不含∠1〕有_____個(gè)，假設(shè)∠1=40°，那么∠AHG=_________。FABCDEHGFABCDEHG1圖⑼∴∠1=∠ACB，∵AD∥EG∥BC，∴∠1=∠HEF，∠GHC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，又∠AHE=∠GHC，∴∠1=∠GHC=∠AHE=∠DAC，那么與∠1相等的角有∠ACB、∠HEF、∠GHC、∠AHE、∠DAC共5個(gè)；∵∠1=40°，∴∠AHE=40°，那么∠AHG=180°－∠AHE=180°－40°=140°。轉(zhuǎn)折角處巧添輔助線山東左加亭學(xué)習(xí)了平行線的知識后，我們知道平行線有三條性質(zhì)，當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。因此，在求解有關(guān)平行線中角的問題時(shí)，我們可以在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處添加輔助線------平行線，從而構(gòu)造出特殊位置關(guān)系的角，為解題架橋鋪路。下面舉例加以說明。例1.〔2023黑龍江〕如圖AB//CD,那么的度數(shù)為解析：由圖形可以看出，在兩條平行線AB,CD之間的E點(diǎn)處出現(xiàn)了一個(gè)轉(zhuǎn)折角，即，因此我們可以過點(diǎn)E作EF//AB,，由條件AB//CD,可知AB//EF//CD所以所以又因?yàn)镃D//EF,從而例2.〔2023沈陽〕如圖，己知AB//DE,,那么__解析：由圖形可以看出，C點(diǎn)處出現(xiàn)了一個(gè)轉(zhuǎn)折角，因此我們可以過點(diǎn)C作CF//AB,由此可知所以例3.〔2023廣安〕如圖，AB//CD,假設(shè),那么度.解析：題中出現(xiàn)轉(zhuǎn)折角，即，可過點(diǎn)E作與AB,CD平行的直線FG,那么所以故答案為例4.〔第三屆中學(xué)生智能通訊賽初一賽題〕如圖試探索之間具備什么關(guān)系時(shí)，AB//CD,并說明理由。解析：觀察圖形可以猜測時(shí),AB//CD。理由如下：在E點(diǎn)出現(xiàn)了轉(zhuǎn)折角，可以過點(diǎn)E作EF//AB,那么所以EF//CD又因?yàn)镋F//AB，所以AB//CD.對一道課后習(xí)題的深究山東康風(fēng)星教材中的例題和習(xí)題都是經(jīng)過認(rèn)真篩選后精心設(shè)置的，都就有一定的探索性，我們只有立足教材充分發(fā)揮例題、習(xí)題的作用，反復(fù)推敲，深入挖掘其內(nèi)涵，防止題海戰(zhàn)術(shù)，對例題和習(xí)題進(jìn)行一題多解和一題多變的變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識與經(jīng)驗(yàn)，主動探索知識發(fā)生和開展的過程，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力，有利于穩(wěn)固根底知識，開展創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如：課本習(xí)題〔人教版七年級下，26頁第6題〕,一、一題多證，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維：原題稍加變化后得到下題：：如圖，，求證：＋＋＝3600refSHAPEDDCEPBA證法一、如圖，過點(diǎn)P作PE平行AB，因?yàn)樗訟B║CD║PE證法二、二、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力：變式〔1〕如圖，，探討與，的關(guān)系．A123CDBA123CDBE變式〔2〕變式〔2〕如圖，，那么圖中、、關(guān)系一定成立的是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．變式〔3〕如圖，是，上方一點(diǎn)，，求證：．變式〔4〕DCEBArefSHAPE變式〔4〕DCEBA變式〔4〕如圖，，試問：與平行嗎？假設(shè)平行，請說明理由．另外此題還可以作成綜合題目：變式〔5〕，分別探討下面的四個(gè)圖形中，與，間的關(guān)系，并請你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)，說明成