上海市實驗學校2022-2023學年高一上學期開學考數(shù)學試題2

上海市實驗學校2022-2023學年高一上學期開學考數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.計算:

tan30

3.若拋物線y=2i-px+4p+l中不管。取何值時都通過定點，則定點坐標為

4.已知拋物線>="2+公+。的部分圖象如圖，則下列說法：□對稱軸是直線x=l；

□當-l<x<3時，），<0；［方程0√+?x+c+5=0無實數(shù)根.其中正確的說法是

___________.（只填寫序號）.

-31:/

II

5.如圖.在口A8C中，ZACB=90°,AC=BC,P為三角形內(nèi)部一點，其尸C=3,

PA=5,PB=7.p∣∣J?APβ的面積為.

6.把三張大小相同的正方形卡片4員C疊放在一個底面為正方形的盒底上，底面未

被卡片覆蓋的部分用陰影表示.若按圖1擺放時，陰影部分的面積為￡；若按圖2擺放

時，陰影部分的面積為邑，則Sl邑，（填“或“=”）

圖1圖2

試卷第1頁，共5頁

7.若一元二次方程χ2-（α+2）x+20=0的兩個實數(shù)根分別是3",則α+b=

8.有一個六位數(shù)嬴應，它乘以3后得六位數(shù)瘋為，則此六位數(shù)為.

9.若質(zhì)數(shù)P、4滿足：3q-p-4=0,p+q<???,則P4的最大值為.

10.在平面直角坐標系XOy中，對于任意兩點6（x”y）出（々，必）的“破曉距離”，給出

如下定義：若N-X2白必|，則點《與點鳥的“破曉距離”為W-X2∣;若

腐-引<瓦-%］，則點片與點6的“破曉距離”為卜-%l?例如：點彳（1，2）,點

3（3,5）,因為∣1-3∣<∣2-5∣,所以點片與點R的“破曉距離”為∣2-5∣=3,也就是線段［Q

與線段HQ長度的較大值（點Q為垂直于），軸的直線匕。與垂直于X軸的直線2。的交

點）.己知C（x,y）是直線y='x+3上的一個動點，點。的坐標是（0,1）,則當點C與點

D的“破曉距離”取最小值時相應的點C的坐標為.

二、單選題

11.若α是銳角，sin（α+150）=日.那么銳角ɑ等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

12.如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”.

如：2=P-（-I》,26=33-P.2和26均為“和諧數(shù)”.那么、不超過2016的正整數(shù)中，所

有們“和諧數(shù)”之和為（）

A.6858B.6860C.9260D.9262

13.IOO人共有2000元人民幣，其中任意10人的錢數(shù)的和不超過380元.那么一個人

最多有（）元.

A.216B.218C.238D.236

14.函數(shù)y=4∣x∣與y=》+”的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)α的取值范圍是（）

A.a>?B.-l<a<l

C.4≥l或α≤-lD.或〃<一1

三、解答題

15.如圖，已知平行四邊形ABCz）,對角AC與BD交于點0,以ARAB邊分別為邊

試卷第2頁，共5頁

長作正方形ADEF和正方形ABHG,連接FG.

(1)求證：FG=2A0：

(2)若AB=6,A。=4,ZBAD=60°,請求出口AGF的面積.

16.一塊三角形材料如圖所示，NA=3O',∕C=9O',AB=12用這塊材料剪出一個矩形

CDEF,其中，點NE、產(chǎn)分別在BC,48,4C.設(shè)的長為心矩形CDE尸的面積為￡

(1)寫出S關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出X的取值范圍；

(2)當矩形CDE尸的面積為86時，求AE的長：

(3)當AE的長為多少時，矩形CDE尸的面積最大？最大面積是多少？

17.已知占,三是一元二次方程4區(qū)2-4日+女+1=0的兩個實數(shù)根.

(D是否存在實數(shù)3使得(2%-々)&-2與)=-1成立？若存在，求出火的值：若不存

在，請說明理由；

(2)求使五+三-2的值為整數(shù)的實數(shù)Z的整數(shù)值.

X2X\

18.閱讀理解：對于任意正實數(shù)αb,因為(&-(√Γ)220,所以。-2疝+砥0,所以

a+b>2y[∑^,只有當α=b時，等號成立.結(jié)論：在o+(“匕均為正實數(shù))

中，若為定值〃，則〃+@2后,只有當α=8時，〃+〃有最小值2〃.根據(jù)上述內(nèi)

試卷第3頁，共5頁

容，回答下列問題：

(1)若m>0,只有當〃?=時，朋+!有最小值___________；

m

(2)思考驗證：如圖1,AB為半圓。的直徑，C為半圓上任意一點(與點AB不重

合)，過點C作COIAB,垂足為。,4。=。,。8=。.試根據(jù)圖形驗證〃+622疝，并

指出等號成立時的條件.

12

(3)探索應用：如圖2,已知A(T0),B(0,-4),尸為雙曲線y=^(x>O)上的任意一點,

過點P作PC,X軸，垂足為CPey軸，垂足為。.求四邊形A8C。面積的最小值，

并說明此時四邊形ABCC的形狀.

19.已知正實數(shù)X,y,Z滿足：xy+yz+zx≠l,且

(√-l)(∕-l)(/-1)(?-1)(z2-l)(√-l)

-ΓI——.

xyyzzx

⑴求'+'+-的值.

xyyzzx

(2)ijE明：9(x+y)(y+z)(z+x)≥Sxyz(xy+yz+zx).

20.如圖，在平面直角坐標系中，對稱軸為直線X=-g的拋物線y=0r2+fcc+c(αxθ)

與X軸交于A、B兩點，其中點A的坐標為(-4,0),與y軸交于點＜?(0,-4君)，作直線

AC.

試卷第4頁，共5頁

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點。是直線AC下方拋物線上的一個動點，連結(jié)D4、DC.當AD4C面積最

大時，求點。的坐標；

（3）如圖，在（2）的條件下，過點。作于OEIAC點E,交）‘軸于點￡將ACEF繞

點E旋轉(zhuǎn)得到ACEF；在旋轉(zhuǎn)過程中，當點C或點F'落在）'軸上（不與點C、F重合）

時，將AC'EU,沿射線。E平移得到AC"E'F",在平移過程中，平面內(nèi)是否存在點G,使

得四邊形。/GC"是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點G的坐標；若不存

在，請說明理由.

試卷第5頁，共5頁

參考答案：

?.G【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算.

hI

L詳解】原式2√3?

T

故答案為：√3.

2.2或一1【分析】依題意可得2（α+b+c）=（4+人+c）Z,再分a+。+CHo和α+Z?+C=O兩

種情況討論，即可得解.

【詳解】解：因為"2=處￡=華=%,

cab

所以α+b=c%,b+c=akD,a+c=bkD,

+°+_：得2（“+6+C）=（α+b+c）上，

當“+/?+CNO時，6=2；

當α+6+c=0時，a+b=-c,代入口得-C=C%,解得Z=-1,

綜上所述，上=2或T.

故答案為：2或-1

3.（4,33）【分析】若拋物線y=2∕-pχ+4p+l中不管P取何值時都通過定點，則含。的

項的系數(shù)為0,由此求出X的值，再求）'的值，得出定點坐標.

【詳解】y=2χ2-PX+4p+l可化為y=2W-p（x-4）+1,

當x=4時，y=33,且與。的取值無關(guān)，

所以不管。取何值時都通過定點（4,33）.

故答案為：（4,33）

4.□□匚【分析】根據(jù)圖像確定二次函數(shù)圖像的對稱軸，與X軸交點的橫坐標，函數(shù)的最

小值然后判斷.

【詳解】□由圖像知對稱軸是直線x=l,正確；

口由對稱性得x=3是方程α√+bχ+c=o的另一根，因此當-l<x<3時，函數(shù)圖像對應的點

在X軸下方，因而y<o,正確；

□函數(shù)的最小值是，因而函數(shù)值必須不小于-4,

因而方程亦°+6x+c+5=0無實數(shù)根，正確.

故答案為：□□□.

答案第1頁，共14頁

5.14【分析】過戶作AC與8C的垂線，得到矩形CZ)PE,設(shè)矩形CDPE的長與寬，以及

等腰RtAABC的直角邊，根據(jù)PC=3,PA=5,PB=],利用勾股定理構(gòu)造方程，整理化

簡，然后利用面積差，整體代入求解AAPB的面積.

【詳解】過P作PCAC于。，PELBNE,

則四邊形CDPE是矩形,設(shè)PD=X,PE=y,AC=BC=a,

所以Cf)=PE=y,CE=PD=X,

因為PC=3,PA=5,PB=7根據(jù)勾股定理可得，

X2+y2=9

?x2+(α-y)^=25,所以‘，所以/-ay-αr=28,

,a^-2ax=4Q

y2+(<7-x)^=49

所以SMB=S5C-SMC?-SZSBS=(/-3以一；少=3(/-依一舒)=14.

6.=【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以把兩塊陰影部分合并后計算面積，然后比較Sl和其

的大小.

【詳解】設(shè)底面的正方形的邊長為。，正方形卡片4氏C的邊長為人

由圖1得S∣=(α-b)(α-b)=(α-b)2,

由圖2得S?=(α-b)(α-b)=(α-b)2,

所以S=52.

故答案為：=

7.5【分析】把尤=3代入方程求得。，再由韋達定理求得另一根即得結(jié)論.

【詳解】把x=3代入一元二次方程V-(α+2)x+2α=0,得9-3(α+2)+24=O,解得

a=3,

由根與系數(shù)的關(guān)系得3+人=-乜絲4=5,解得人=2,所以α+8=3+2=5.

1

故答案為：5.

8.142857【分析】設(shè)1后面的五位數(shù)為X,列出方程，求出x,寫出此六位數(shù).

答案第2頁，共14頁

【詳解】設(shè)1后面的五位數(shù)為x?則(IXlooOoO+x)x3=10x+l,解得x=42857,

所以這個六位數(shù)為1X1OOOOO+42857=142857.

故答案為：142857

9.1007【分析】由%-p-4=0得p=3q-4,4=，，代入不等式P+”111求得PM

的范圍，Pq要最大，則q也最大，由質(zhì)數(shù)分析可得結(jié)論.

【詳解】因為%-。-4=0,所以p=3q-4,因為p+g<lll,所以3q+q-4<111,

解得q<28.75,因為％_p_4=0,所以%=p+4,則q=等，

因為p+q<lll,所以誓+p<lιι,解得p<82.25,

由于4=誓，因此Pq最大時，4也最大，

所以當4取最大質(zhì)數(shù)23時，P=65不合題意舍去，

則<7=19時，p=53,此時符命題意，故Pq的最大值為19x53=1007.

故答案為：1007.

10.[-∣,y]【分析】過點C作X軸的垂線，過點。作)，的垂線，兩條垂線交于點M，連

接CD.當點C在直線OM上方且使ACMD為等腰直角三角形時，點C與點。的“破曉距

離”最小，根據(jù)新定義證此結(jié)論成立，然后求出與即得.

【詳解】過點C作X軸的垂線，過點。作y的垂線，兩條垂線交于點M,連接CD

當點C在點。的后上方且使ACMD為等腰直角三角形時，

點C與點。的“破曉距離”最小.理由如下：

記此時C所在位置的坐標為1%,%。+3).

當點C的橫坐標大于島時，線段CM的長度變大，

由于點C與點D的“破曉距離”是線段CM與線段MD長度的較大值，

所以點C與點。的“破曉距離”變大：

當點C的橫坐標小于凝時，線段MC的長度變大，

點C與點。的“破曉距離”變大.

所以當點C的橫坐標等于七時，點C與點D的“破曉距離”最小.

33

因為CM=WX(J+3-1,MD=-%,CM=Z)M,所以WXO+3-1=-%,

答案第3頁，共14頁

解得與=-/所以點C的坐標是(-*T)

故答案為：1

H.B【分析】由題可得α+15°=45°,即得.

【詳解】因為sin(α+150)=[,α是銳角，

所以α+15"e(15",105°),α+15°=45°,

所以c=3O°?

故選：B.

12.B【分析】根據(jù)“和諧數(shù)”的概念找出公式：(2:+1)3-(21)3=2(12/+1),(其中k

為非負整數(shù))，然后再分析計算即可.

【詳解】(2?+1)3-(2?-1)3=[(2?+1)-(2?-1)][(2?+1)2+(2?+1)(2?-1)+(2JI-1)2]

=2(12公+1)(其中Z為非負整數(shù)),

1007

?2(12?2+1)≤2016得％≤

~12^

所以&=0,1,…,9,即得所有不超過2016的“和諧數(shù)”,

它們的和為：IV-(T)1+(茨-1,+(53-3?)+…+07'-153)+(19,-173)=19'+1=6860.

故選：B.

13.B【分析】由題可得存在9人的錢數(shù)的和不少于162元，結(jié)合條件進而即得.

【詳解】因為任意10個人的錢數(shù)的和不超過380元，

所以任意90個人的錢數(shù)的和不少于1620元，

所以存在9人的錢數(shù)的和不少于162元，

所以一個人最多能有380-162=218元.

故選：B.

14.D【分析】y=a∣x∣的圖象為過原點的折線，關(guān)于y軸對稱，了=》+。的圖象是直線,

答案第4頁，共14頁

斜率為1,按“的正負分類作出圖象后，分析可得.

【詳解】y=α∣χ∣的圖象為過原點的折線，關(guān)于y軸對稱，

分兩種情況討論，□當4>0時，y=α∣x∣的圖象過第一、二象限，直口>=x+”斜率為1,

當4>0時，直線y=x+4過第一、二、三象限，若使其口象恰有兩個公共點，如□I,必有

a>?；

口當α<0時，y=α∣x∣過第三、四象限；而y=x+α過第二、三、四象限，若使共口象恰有兩個

公共點，如圖2,必有α<T,

故選：D.

圖1

15.(1)證明見解析

答案第5頁，共14頁

(2)6√3

【分析】(1)通過條件證明口AFG力D4C即可；

(2)根據(jù)條件求出SABCD，然后得到SΔDAC即可.

(1)

因為四邊形尸和四邊形AB”G都是正方形，

所以AO=ARAB=AG,/BAG=NDAF=90°,

所以NGAF+/BAD=180°,

因為四邊形A8C。是平行四邊形，所以AB〃CD,AB=CQ

所以NBAO+NAOC=180'，所以∕G4F=ZAOC,

AG=CD

在□AFG和ADAC中，?NAOC=NGAF,

AF=AD

所以□AFGHWAC(SAS),

所以GF=AC,在平行四邊形ABC。中，AC=2A0,所以GF=240；

(2)

過點。作Z)M_LAB交48于點M,

因為AD=4,ZBAD=60?ZAMD=90",

所以。M=4xsin6(T=4χ且=2百，

2

所以SΛSCD=ΛBDM≈6×2√3=12√3

所以S"C=?Sl4βc,,=AB-DM=6×2√3=12√3

因為□AFGRZMC,所以S,MC=5"GF=66，即□4G尸的面積為6√L

16.(1)5=--X2+3√3X(0<X<12);

(2)4或8；

答案第6頁，共14頁

(3)AE=6時，最大面積是9√L

【分析】(1)易得0<x<12,由直角三角形由AE表示出ERCF,可得矩形面積；

(2)解方程S=86可得AE的長；

(3)由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.

(1)

因為AB=12,AE=X,點E與點A、點B均不重合，

所以0<x<12,

因為四邊形SEF是矩形，所以/AFE=90。，

因為NA=30°,所以=AF=y∣AE2-EF2=—x,

22

在Rt口ABC中，NC=90。,NA=30。,AB=12,所以BC=LAB=6,

2

由勾股定理得AC=√122-62=6#，所以CF=AC-AF=6百-WX,

(

1n、n

所以S=CF?EF=-x6yβ--x=--X2+3√3X(0<Λ<12);

?J4

(2)

由題意得-且(x-6p+9百=8JL解得占=4,X2=8,

4

所以AE的長為4或8；

(3)

因為S二一寺(X-6)2+9G,

所以當x=6時，矩形CDEF的面積最大，

即當點E為AB的中點時，矩形C。石廠的面積最大，最大面積是9√L

17.(1)不存在，理由見解析；

(2)?=-2,-3,-5

【分析】(1)利用反證法先假設(shè)存在實數(shù)女，使得(2為-%)(占-2與)=-；成立，根據(jù)一元

二次方程有兩個實數(shù)根可得左=：9,因此原假設(shè)不成立，故不存在；

(2)根據(jù)題意土+迤_2=^^—2=(&+*2)-4=.一4=_4,可得&+1能被4

x2xlxix2x1x2?÷1?÷1

答案第7頁，共14頁

整除，即可求出％的值.

(1)

2

假設(shè)存在實數(shù)3使得(2%-z乂玉-2/)=-；成立，

???一元二次方程_4履+Z+1=0的兩個實數(shù)根，

?%=T)2.444?≠(0"I)=T6心產(chǎn)1,(不要忽略判別式的要求)，

xl+x2=1

由韋達定理得<Z+1,

L-4k

2

(2x1-x2)(xl-2X2)=2(x；+%2)-5%,%2=2(x∣+x2)-9x1x2=-"”=--,

4k2

nkJ

5

但k<0,

???不存在實數(shù)k,使得(2%-%)(X-2%)=-1成立.

(2)

...Jj=星應一2=(%+32_4=四_4=一/-,

x2xlxlx2x1x2?÷1?+l

要使其值是整數(shù)，只需要2+1能被4整除，

故k+l=±l,±2,±4,BP?=0,-2,l,-3,3,-5,

?.?2<0,

:.k——2,—3,—5.

18.(1)1,2

(2)驗證答案見解析，CO等于半徑時取等號

(3)最小值24,四邊形ABCQ是菱形

【分析】(1)根據(jù)閱讀材料，機=L時，機+工取得最小值，由此計算可得；

mm

(2)利用直角三角形相似得Co=疝，由OC≥CO(2。重合時取等號)可得不等式成

立；

(3)設(shè)Pm,求出C,。坐標，求出Ae,8。后可計算出四邊形的面積，然后由閱讀材

料的結(jié)論得出最小值及四邊形形狀.

答案第8頁，共14頁

(1)

由題意WI=又，”>0,因此機=1時，機+，的最小值為2；

mtn

(2)

因為AB是口O的直徑.所以AC，BC.

又CDLAB,所以/CAO=NBCD=90°-/B,

所以Rt□CA3~RtZ?BCD,所以*=條，即CD。=A∕).f>B,所以Co=疝,

BDCD

若點。與。不重合，連接OC,

在RtOOC力中，OC>CD,所以法，

若點。與。重合時，OC=C。.所以等=疝.

綜上所述，審≥箍,即“+6≥2√^,當CL)等于半徑時取等號；

(3)

設(shè)p(x,f),則C(X,0),U0,?)CA=X+3,Z)B=P+4,

SAg>=<CAx0B=:(x+3)x(超+4]

化簡得SAHC”=2∣x+1)+12,因為x>0,2>0,所以x+222JX?2=6,

9

當且僅當X=—，即x=3時取等號，所以S≥2x6+12=24.

X

SABCD由最小值24.

此時P(3,4),C(3,0),0(0,4),4B=BC=CO=OA=5,

所以四邊形A8C。是菱形.

19.(1)1

(2)證明見解析

答案第9頁，共14頁

【分析】（1）已知等式化簡得孫z=x+y+z,求值式通分后可得結(jié)論;

（2）作差后，湊配成非負數(shù)的和，即證.

(1)

(XT儼-1)I-MT)I(z2-l)(x2-l

由等式÷=4,

孫yzZX

去分母得2卜2_1)卜2_])+工卜2_])卜2_1)+乂22_])卜2_])=4孫2,

X2y2z+xy2z2+x2yz2+z2)+z2+Λ2)

xyz(xy+yz+zX)-(X+y+z)(xy+yz+zx)+(x+j+z)-xyz=O,

□[xyz-(x+y÷z)](xy+yz+∑x-1)=O,□孫+yz+zxwl,□孫+yz+zx-O,

□孫Z-(X+y+z)=O,□盯z=x+y+z,

E.vx÷y+z

□原式=---=11

xyz

(2)

由（1）知盯z=x+y+z,又x,y,Z為正實數(shù),

(?÷?)(?+z)(∑+?)=x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz

=x(y2+z2)+y(z2+χ2)+z(χ2+y2j+2xyz,

(?+γ+z)(xy+yz+zx)=x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz

=My2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz

9(x+y)(>>+z)(z+x)-Sxyz(xy+?z+zx)

=9(X+y)(y+z)(z÷x)-8(X+y+z)(xy+yz+zx)

=工()2+z2)+)"2+χ2)+z(f+y2)_6孫Z

=x(y-z)2+y(z-X)2+z(x-y)2≥O.

所以9(x+y)(y+z)(z+x)≥3xyz(xy÷yz+zx).

20.⑴y=旦、旦一4√L(2)y=BXiX-4√3;(3)所有符合條件的點G坐標為

3333

(3,-36)或(5,-5百)【分析】(1)分別根據(jù)對稱軸方程,再代入點的坐標進行求解即可.

(2)過。作。H〃y軸交Ae于，,進而根據(jù)SA(MC=SMAH+SMH表達出SsAC關(guān)于D的橫坐

答案第10頁，共14頁

標的表達式,再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可.

(3)分兩種情況,設(shè)平移的距離為2f,再根據(jù)菱形滿足OC"=OF''即可求得t,進而根據(jù)菱形的

性質(zhì)可求得G

【詳解】(I)：拋物線對稱軸為x=-；.

且點A的坐標為(-4,0)點C的坐標為(0,-4石)，

6

=-

b3

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