7(3)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)全微分連續(xù)性與可微性,偏導(dǎo)數(shù)與可微性小結(jié)思考題作業(yè)partialderivative第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用totaldifferentiation1整理ppt一、偏導(dǎo)數(shù)1.定義存在,內(nèi)有定義，函數(shù)有相應(yīng)的增量如果極限那么稱此極限為函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分(稱為關(guān)于x的偏增量).記為對x的偏導(dǎo)數(shù),2整理ppt記為或同理,可定義函數(shù)為記為或?qū)的偏導(dǎo)數(shù),對y的偏導(dǎo)數(shù),偏導(dǎo)數(shù)與全微分3整理ppt那么這個偏導(dǎo)數(shù)仍是的二元函數(shù),它就稱為函數(shù)如果函數(shù)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱偏導(dǎo)數(shù)),記作或同理,可定義函數(shù)對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱偏導(dǎo)數(shù)),記作或在區(qū)域D內(nèi)任一點(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,偏導(dǎo)數(shù)與全微分4整理ppt結(jié)論:

偏導(dǎo)數(shù)與全微分5整理ppt偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)設(shè)那么求多元函數(shù)對某個變元的偏導(dǎo)數(shù)時,作關(guān)于該變元的一元函數(shù)來求導(dǎo)即可.只要把其他變元當作常量,而把函數(shù)當偏導(dǎo)數(shù)與全微分6整理ppt求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)例求的偏導(dǎo)數(shù).利用一元函數(shù)只需將y的求導(dǎo)法對x求導(dǎo)即可.看作常量,并不需要新的方法,例求的偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)與全微分7整理ppt三個偏導(dǎo)數(shù).解

求某一點的偏導(dǎo)數(shù)時,例變?yōu)橐辉瘮?shù),代入,在點(1,0,2)處的可將其它變量的值再求導(dǎo),常常較簡單.偏導(dǎo)數(shù)與全微分8整理ppt證

偏導(dǎo)數(shù)的記號只是一個整體記號,不能像一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)那樣可看成是分子與分母的微分的商.例偏導(dǎo)數(shù)與全微分9整理ppt2、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)二元函數(shù)在點有如圖,為曲面偏導(dǎo)數(shù).上的一點,過點作平面此平面與曲面相交得一曲線,曲線的方程為由于偏導(dǎo)數(shù)等于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)故由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)與全微分10整理ppt可知:偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線對x軸的斜率;偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線對y軸的斜率.偏導(dǎo)數(shù)與全微分11整理ppt思考曲線在點(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角是多少?解在點(2,4,5)處的切線與y軸正向所成的傾角是多少?思考曲線偏導(dǎo)數(shù)與全微分12整理ppt解例按定義得偏導(dǎo)數(shù)與全微分13整理ppt注

但前面已證,此函數(shù)在點(0,0)是不連續(xù)的.按定義得

由以上計算可知,

在點

處可偏導(dǎo),偏導(dǎo)數(shù)與全微分14整理ppt偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)

連續(xù)多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)不了連續(xù)性.偏導(dǎo)數(shù)都存在,函數(shù)未必有極限,更保證偏導(dǎo)數(shù)與全微分15整理ppt

x

=

x0上的值有關(guān),而與(x0,y0)鄰域內(nèi)其他點上所以偏導(dǎo)數(shù)存在不能保證函數(shù)說明因偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)僅與函數(shù)f(x,y)在y=

y0上的值有關(guān),偏導(dǎo)數(shù)f

y(x0,y0)僅與函數(shù)f(x,y)在的函數(shù)值無關(guān),有極限.偏導(dǎo)數(shù)與全微分16整理ppt

二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0),f

y(x0,y0)存在是f(x,y)在該點連續(xù)的().A.充分條件而非必要條件B.必要條件而非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件又非必要條件D偏導(dǎo)數(shù)與全微分17整理ppt二、全微分函數(shù)的變化情況.偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時函數(shù)的變化率.現(xiàn)在來討論當各個自變量同時變化時偏導(dǎo)數(shù)與全微分18整理ppt先來介紹全增量的概念為了引進全微分的定義,全增量.域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量全增量.偏導(dǎo)數(shù)與全微分19整理ppt全微分的定義處的全微分.可表示為可微分,在點那么稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即函數(shù)假設(shè)在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時,那么稱可微函數(shù).這函數(shù)在D內(nèi)的而不依賴于偏導(dǎo)數(shù)與全微分20整理ppt可微與偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？?微分系數(shù)注全微分有類似一元函數(shù)微分的A=?B=?兩個性質(zhì):全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).的線性函數(shù);高階無窮小.偏導(dǎo)數(shù)與全微分21整理ppt類似一元函數(shù)的局部線性化,有二元函數(shù)的局部線性化.設(shè)函數(shù)表示一個平面即,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分22整理ppt三、連續(xù)性與可微性,

偏導(dǎo)數(shù)與可微性多元函數(shù)在某點可微是否保證事實上,顯然,結(jié)論:由全微分的定義有可得多元函數(shù)可微必連續(xù)

連續(xù)的定義?不連續(xù)的函數(shù)函數(shù)在該點連續(xù)如果函數(shù)可微分,那么函數(shù)在該點連續(xù).一定是不可微的.1.可微與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分23整理ppt(1).可微分的必要條件由下面的定理來答復(fù)：(可微必偏導(dǎo)存在).定理1(可微必要條件)如果函數(shù)可微分,且函數(shù)的全微分為2、可微的條件偏導(dǎo)數(shù)與全微分24整理ppt證總成立,同理可得上式仍成立,此時的某個鄰域如果函數(shù)可微分,可微分,偏導(dǎo)數(shù)與全微分25整理ppt多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．下面舉例說明二元函數(shù)可微一定存在兩個偏導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．?回憶:一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微的關(guān)系?由定理1知偏導(dǎo)數(shù)與全微分結(jié)論：26整理ppt如，但兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)卻不一定可微.(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得)偏導(dǎo)數(shù)與全微分27整理ppt那么說明它不能隨著而趨于0,因此,如果考慮點沿直線趨近于偏導(dǎo)數(shù)與全微分28整理ppt說明

各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.這也是一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)出現(xiàn)的又函數(shù)是可微分的.多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在.一個原那么區(qū)別.現(xiàn)再假定函數(shù)的那么可證明各個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)與全微分29整理ppt(2).可微分的充分條件

*

證在該點的某一鄰域內(nèi)必存在的意思.定理2(今后常這樣理解).用拉氏定理(微分充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點P(x,y)連續(xù),就含有偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分30整理ppt偏導(dǎo)數(shù)與全微分31整理ppt同理偏導(dǎo)數(shù)與全微分32整理ppt在原點(0,0)可微.并非必要條件.如事實上,注定理2的條件(即兩個偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù))可微的充分僅是函數(shù)在點條件,同樣,偏導(dǎo)數(shù)與全微分33整理ppt在原點(0,0)可微.于是,偏導(dǎo)數(shù)與全微分34整理ppt即函數(shù)f(x,y)在原點(0,0)可微.但是,事實上,偏導(dǎo)數(shù)在原點(0,0)不連續(xù).所以,特別是

不存在.即fx(x,y)在原點(0,0)不連續(xù).極限fy(x,y)在原點(0,0)也不連續(xù).同理可證,函數(shù)在一點可微,此題說明:在這點偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)與全微分35整理ppt特別,當時,同樣當時因此,如果函數(shù)的微分存在,常寫成偏導(dǎo)數(shù)與全微分36整理ppt記全微分為通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.習(xí)慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．如三元函數(shù)那么偏導(dǎo)數(shù)與全微分37整理ppt解例計算函數(shù)在點的全微分.所以偏導(dǎo)數(shù)與全微分38整理ppt答案練習(xí)偏導(dǎo)數(shù)與全微分39整理ppt解例計算的近似值.利用函數(shù)在點處的可微性,可得偏導(dǎo)數(shù)與全微分40整理ppt考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì):選擇題①f(x,y)在點(x0,

y0)處連續(xù),②f(x,y)在點(x0,

y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),③f(x,y)在點(x0,

y0)處可微,④f(x,y)在點(x0,

y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在.若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,那么有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.偏導(dǎo)數(shù)與全微分41整理ppt連續(xù).D結(jié)論不正確的選項是().都存在,偏導(dǎo)數(shù)與全微分42整理pptD偏導(dǎo)數(shù)與全微分43整理ppt是非題(非)事實上,偏導(dǎo)數(shù)與全微分44整理ppt偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計算(偏增量比的極限)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)、極限的關(guān)系四、小結(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分45整理ppt全微分的定義全微分的計算多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系(注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別)可微分的必要條件、可微分的充分條件偏導(dǎo)數(shù)與全微分46整理ppt對一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限

對多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：偏導(dǎo)連續(xù)可微連續(xù)有極限有偏導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)與全微分47整理ppt思考題1問全微