上海市華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)2023年度第一學(xué)期期末考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷滿分：100分完卷時(shí)間：90分鐘一、填空題：（本大題共有12題，每題填對(duì)得3分，滿分36分）1.函數(shù)的定義域是________.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.2.將化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義與運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：.3.已知全集，，則_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義直接求解.【詳解】由題全集，，所以.故答案為：.4.已知關(guān)于的方程解集為，則“關(guān)于的不等式的解集是”是_________命題（填“真”或“假”）更多低價(jià)優(yōu)質(zhì)資源可家衛(wèi)星MXSJ663【答案】假【解析】【分析】由已知條件可得且，分、兩種情況解不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程解集為，則，即，且，由得，當(dāng)時(shí)，解原不等式可得，此時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，解原不等式可得，此時(shí)不等式的解集為.故原命題為假命題.故答案為：假.5.設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)．且時(shí)，．則_______．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性代入求值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以.故答案為：.6.設(shè)、為正數(shù)，且，則_____________（填“，，，”）【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可比較大?。驹斀狻恳?yàn)?、為正?shù)，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故答案為：7.在△ABC中，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可設(shè)，利用余弦定理可求值.【詳解】因?yàn)椋试O(shè)，所以，填.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.若不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合充分不必要條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件是，所以有，等號(hào)不同時(shí)成立，解得.故答案為：9.對(duì)任意，都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】分、兩種情況討論，在第一種情況下，直接驗(yàn)證即可；在第二種情況下，根據(jù)二次不等式恒成立可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)任意，都成立,當(dāng)時(shí)，則有，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.10.若，則__．【答案】1或【解析】【分析】運(yùn)用倍角公式計(jì)算.【詳解】由題意，所以或，所以或；故答案為：1或.11.設(shè)，方程的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，由此求得方程的解集.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，方程化為，恒成立.當(dāng)時(shí)，方程化為，不符合.當(dāng)時(shí)，方程化為.當(dāng)時(shí)，方程化為，恒成立.方程的解集為.故答案為：12.已知關(guān)于x的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像知且，解得答案.【詳解】，畫出函數(shù)和的圖像，如圖所示：不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則這個(gè)整數(shù)解為，故且，解得.故答案為：二、選擇題：（本大題共有3題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，選對(duì)得3分，否則一律得零分，滿分12分）13.若且，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于ABC，舉反例排除即可；對(duì)于D，利用不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，令，則，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，即，又，所以，故D正確.故選：D.14.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，利用函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)求出解析式，再由定義域及單調(diào)性排除CDB即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，因?yàn)樵搩绾瘮?shù)得圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得，即函數(shù)為，則函數(shù)的定義域?yàn)?，所以排除CD，因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，所以排除B，故選：A15.設(shè)角滿足條件，則所在的象限是（）A.一、二 B.二、三 C.二、四 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】由解得或，然后對(duì)、分別進(jìn)行討論，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解得或，若，則，，此時(shí)所在象限是第四象限；若，則，，此時(shí)所在象限是第二象限，所以為第二象限或第四象限角.故選：C.16.德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名函數(shù)，該函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，關(guān)于狄利克雷函數(shù)有如下四個(gè)命題：①；②對(duì)任意，恒有成立；③任取一個(gè)不為零的有理數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立；④存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得等邊三角形；其中正確的序號(hào)為（）A.①②③ B.②③④ C.②④ D.①②③【答案】B【解析】【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義分別驗(yàn)證為無(wú)理數(shù)和為有理數(shù)兩種情況，判斷①②③；結(jié)合狄利克雷函數(shù)的定義找特殊點(diǎn)驗(yàn)證④.【詳解】對(duì)①，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，，所以，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，，所以，所以對(duì)任意，恒由，所以①錯(cuò)誤；對(duì)②，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，為無(wú)理數(shù)，所以，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，所以，所以②正確；對(duì)③，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，則為無(wú)理數(shù)，所以，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，則為有理數(shù)，所以，所以任取一個(gè)不為零的有理數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立，③正確；對(duì)④，，，，得，，，所以，，，此時(shí)為等邊三邊形，故④正確；綜上：命題②③④正確.故選：.三、解答題（本大題滿分52分，8+8+10+12+14）本大題共有5題，必須寫出必要的步驟.17.平面直角坐標(biāo)系中，單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)位于第二象限.（1）若弧的長(zhǎng)為，寫出的坐標(biāo)，并計(jì)算扇形的面積；（2）角的終邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后恰與角的終邊重合，若，求的值.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）利用弧長(zhǎng)公式求出角，聯(lián)立求坐標(biāo)，再用扇形面積公式計(jì)算即可.（2）依據(jù)角的旋轉(zhuǎn)關(guān)系結(jié)合兩角正切的和差公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】的長(zhǎng)為，，解得，若點(diǎn)位于第二象限，且在單位圓上，設(shè)，扇形的面積為，故有，，故，結(jié)合扇形面積公式得，【小問(wèn)2詳解】易知角的終邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后恰與角的終邊重合，故，即.18.已知，且.（1）化簡(jiǎn)并求值：；（2）若，求.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式求出，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，最后代入計(jì)算可得；（2）求出，再由兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所?19.某城市2021年12月8日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityInex，簡(jiǎn)稱AQI）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系滿足下圖連續(xù)曲線，并測(cè)得當(dāng)天AQI的最大值為103．當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)（且）圖象的一部分，根據(jù)規(guī)定，空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的值大于或等于100時(shí)，空氣就屬于污染狀態(tài)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）該城市2021年12月8日這一天哪個(gè)時(shí)間段的空氣屬于污染狀態(tài)？并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）當(dāng)天在這個(gè)時(shí)間段，該城市的空氣處于污染狀態(tài)，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先用待定系數(shù)法求得時(shí)的解析式，再算得當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，再由待定系數(shù)法可得時(shí)的解析式；（2）根據(jù)，分段解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，將代入得，∵時(shí)，，∴由的圖象是一條連續(xù)曲線可知，點(diǎn)在的圖象上，當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入得，∴．【小問(wèn)2詳解】由題意可知，空氣屬于污染狀態(tài)時(shí)，∴或，∴或，∴，∴當(dāng)天在這個(gè)時(shí)間段，該城市的空氣處于污染狀態(tài)．20.已知函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）在上是增函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性得，解得的值；最后代入驗(yàn)證；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可直接下結(jié)論，然后利用單調(diào)性的定義證明；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性將不等式化簡(jiǎn)為對(duì)于恒成立，再根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題，最后根據(jù)函數(shù)最值得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)，由，得，即有，下面檢驗(yàn)：，且定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，故符合；【小問(wèn)2詳解】在上是增函數(shù).證明如下：設(shè)任意，，由于，則，即有，則有，故在上是增函數(shù)；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以對(duì)于恒成立，因?yàn)槭嵌x域在上的奇函數(shù)，所以對(duì)于恒成立，又在上是增函數(shù)，所以，即對(duì)于恒成立，而函數(shù)在上的最大值為，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域是，則稱是該函數(shù)的“翻倍區(qū)間”．（1）證明：是函數(shù)的一個(gè)“翻倍區(qū)間”；（2）判斷函數(shù)是否存在“翻倍區(qū)間”？若存在，求出所有“翻倍區(qū)間”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知函數(shù)有“翻倍區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義，求在上的值域即可得證；（2）根據(jù)“翻倍區(qū)間”的定義，得到函數(shù)需滿足的方程，求解方程