函數(shù)的概念及其初等性質(zhì)

第一章函數(shù)與極限一個(gè)國家只有數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展，才能表現(xiàn)它的國力強(qiáng)大。拿破侖（法國政治家）如果你解不出某道題，那肯定是有一個(gè)更容易的問題你未解決它——找到它！

G.波利亞（美國數(shù)學(xué)家）本章主題詞：集合、數(shù)列、函數(shù)、極限、連續(xù)第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的概念及其初等性質(zhì)1.2數(shù)列極限1.3函數(shù)極限1.4無窮小與無窮大1.5函數(shù)的連續(xù)性1.6閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

選讀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾個(gè)常用函數(shù)數(shù)學(xué)家：劉徽康托爾狄利赫雷維爾斯托拉斯1.1函數(shù)的概念及其初等性質(zhì)1.1.1集合1.集合:具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象的全體組成這個(gè)集合的對(duì)象稱為該集合的元素.定義N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:不含任何元素的集合稱為空集例如,集合的運(yùn)算：集合的并：集合的交：集合的差：集合的直積：AB(x,y)xyAB鄰域:1.1.2常量變量函數(shù)在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對(duì)“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.常量變量因變量自變量函數(shù)(2)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(1)絕對(duì)值函數(shù)xyO12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)[5.3]=5,[-4.5]=-5.(4)取最值函數(shù)yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).1.1.3函數(shù)的初等性質(zhì)1．函數(shù)的有界性:-M=-1M=1函數(shù)的有界性：設(shè)函數(shù)y=f(x)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義((a,b)可以是f(x)

的整個(gè)定義域，也可以是定義域的一部分)。如果存在一個(gè)正數(shù)M,對(duì)于所有的

,恒有,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是有界的。如果不存在這樣的正數(shù)M,則稱f(x)在(a,b)內(nèi)是無界的。2．函數(shù)的單調(diào)性:xyoxyo函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)y=f(x)對(duì)區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)<f(x2),

f(x)在區(qū)間(a,b)上是嚴(yán)格單調(diào)增加的。反之,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)>f(x2),

f(x)在區(qū)間(a,b)上是嚴(yán)格單調(diào)減少的。3．函數(shù)的奇偶性:函數(shù)的奇偶性：給定函數(shù)y=f(x)(1)如果對(duì)所有的

,有

恒成立，則稱f(x)為偶函數(shù)。(2)如果對(duì)所有的,有

恒成立，則稱f(x)為奇函數(shù)。4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.函數(shù)的周期性：

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在正的常數(shù)l，使得f(x)=f(x+l)恒成立,則稱此函數(shù)為周期函數(shù)。滿足這個(gè)等式的最小正數(shù)l，稱為函數(shù)的周期。例1解下列各題小結(jié)：基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對(duì)值.函數(shù)的概念、映射的概念函數(shù)的初等性質(zhì)有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性.1.1.4函數(shù)的初等運(yùn)算1.函數(shù)的四則運(yùn)算

2。復(fù)合函數(shù)定義:xuy注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成；3.復(fù)合運(yùn)算不滿足交換性,例3解綜上所述3.反函數(shù)運(yùn)算DWDW注（1）

（3）直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱1.1.5基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)（6類）：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。

xyOy=C1.常數(shù)函數(shù)2.冪函數(shù)冪函數(shù)：它的定義域隨而定，但不論為何值，在內(nèi)總有定義，而且圖形經(jīng)過（1,1）點(diǎn)。稱為冪函數(shù)函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)：函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。定義域是區(qū)間,值域?yàn)?，?dāng)a>1

時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加，當(dāng)0<a<1

時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。對(duì)數(shù)函數(shù)：

函數(shù)

(）稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。

定義域?yàn)?，圖形總在x軸的正方向，且通過點(diǎn)(0,1)。5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)：函數(shù)稱為正弦函數(shù)；周期為,定義域,值域[-1,1]，sinx為奇函數(shù)。余弦函數(shù)：函數(shù)

稱為余弦函數(shù)；周期為,定義域,值域[-1,1]。cosx為偶函數(shù)。正切函數(shù)余切函數(shù)正切函數(shù)：函數(shù)

稱為正切函數(shù)；周期,值域。tanx的定義域?yàn)椋赫泻瘮?shù)以為周期的周期函數(shù)，是奇函數(shù)。余切函數(shù)：函數(shù)稱為余切函數(shù)；周期,值域。cotx的定義域?yàn)椋河嗲泻瘮?shù)是以為周期的周期函數(shù)，它是奇函數(shù)。正割函數(shù)余割函數(shù)6.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)：函數(shù)Arcsinx稱為反正弦函數(shù)，是sinx的反函數(shù)；反正弦函數(shù)的首字母為大寫，是多值函數(shù)。區(qū)間上取其一段,稱為主值分支(單值函數(shù)),記作：反余弦函數(shù)：函數(shù)Arccosx稱為反余弦函數(shù)，是cosx的反函數(shù)；反余弦函數(shù)的首字母為大寫，是多值函數(shù)。在區(qū)間上取其一段,稱為主值分支(單值函數(shù)),記作：反正切函數(shù)：函數(shù)

Arctanx稱為反正切函數(shù)，是tanx的反函數(shù)；反余切函數(shù)的首字母為大寫，是多值函數(shù)。在區(qū)間取其一段,稱為主值分支(單值函數(shù)),記作：反余切函數(shù)：函數(shù)Arccotx稱為反余切函數(shù)，是cotx的反函數(shù)；反余切函數(shù)的首字母為大寫，是多值函數(shù)。在區(qū)間取其一段,稱為主值分支(單值函數(shù)),記作：初等函數(shù):由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù):奇函數(shù).偶函數(shù).1、雙曲函數(shù)奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式反雙曲函數(shù)奇函數(shù),奇函數(shù),1.1.6函數(shù)關(guān)系的建立例1函數(shù)的列表表示：某公司一年中月銷售個(gè)統(tǒng)計(jì)月份123456789101112銷售額252418171617171819212324例2函數(shù)的圖像表示：某氣象觀察點(diǎn)24小時(shí)氣溫觀察資料圖O

tT例3

函數(shù)關(guān)系的解析式表示：某人從美國到加拿大去旅游，他把美元換成加拿大元時(shí)幣面數(shù)值增加了12%，回國時(shí)又把加拿大元換成美元，幣面數(shù)值減少12%，把兩次兌換后的幣面數(shù)值用函數(shù)表示出來。這樣