南通市2023屆高三第二次調研測試數學模擬試題參考答案

南通市2023屆高三第二次調研測試數學模擬試題參考答案選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.B

2.B

3.A

4.B

5.B

6.B

7.B

8.C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9.ACD

10.ABD

11.ABC

12.BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.

14.

15.

16.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解：證明：，D為AC中點，，

又是等邊三角形，，，

，BD，平面PDB，平面PDB，

平面PAC，平面平面PDB；

是等邊三角形，，的面積為，

設三棱錐的底面ABC上的高為h，則，解得，

為等腰直角三角形，，，，，

作交于O，則，，

又，是DB的中點，

以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，在平面ABC中過O作BD的垂線為y軸，

OP為z軸，建立空間直角坐標系，

，，，，

，

設是平面PAB的一個法向量，則，取，得，

設平面PBC的一個法向量，

則，取，得，

，

故二面角的正弦值為

18.解：，，

又，數列是首項為，公比為的等比數列，

從而，則

證明：，

設，則，

兩式相減得，

從而，故

19.解：可取0，1，2；Y可取0，1，2，

則，，，

，，，

，

故的聯合分布列為：

當時，，

于是，

因此，

設Z服從二項分布，則

20.證明：由正弦定理，所以，由余弦定理可得，，所以由已知可得，即，因為，所以；由已知得，，又由正弦定理可得，，因為，所以，由知，，則，又由正弦定理可得，，又，則，將以及代入可得，，整理可得，，因為，，所以，則，令，則，，則，當時，恒成立，所以在上單調遞減.所以，即綜上所述，解：由題意得，，，解得，，所以橢圓E的方程為

由題意得，，顯然l的斜率不為0，

設直線l的方程為，，，

聯立，消x整理得，

，，，

由題意知，M，N不在x軸上，則分別作E在點M，N上的兩條切線的斜率存在，

聯立過M，N的切線方程，整理得

相減可得，即，

化簡可得，代入，可得，故

設MN的中點為，則，，故，

因為，，所以，所以O，Q，P三點共線，

又過作平行于l的直線分別交PM，PN于A，B，易得∽，

取AB中點R，根據三角形的性質有R，O，Q，P四點共線，

結合橢圓的對稱性有，

當且僅當時取等號，所以解：定義域為，的導函數，

當時，，故在單調遞減;

當時，由得：由得

于是在單調遞減，在單調遞增，

綜上，當時，在單調遞減;

當時，在單調遞減，在單調遞增.

是上的幾何上凸函數，證明如下：

由可知，當時，在單調遞減，在單調遞增.

故，故為連續(xù)正值函數，

由于，，

要證是上的幾何上凸函數.

需證，即證，

，

則