南通市2023屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)模擬試題參考答案

南通市2023屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)模擬試題參考答案選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.B

2.B

3.A

4.B

5.B

6.B

7.B

8.C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9.ACD

10.ABD

11.ABC

12.BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.

14.

15.

16.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解：證明：，D為AC中點，，

又是等邊三角形，，，

，BD，平面PDB，平面PDB，

平面PAC，平面平面PDB；

是等邊三角形，，的面積為，

設(shè)三棱錐的底面ABC上的高為h，則，解得，

為等腰直角三角形，，，，，

作交于O，則，，

又，是DB的中點，

以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB所在直線為x軸，在平面ABC中過O作BD的垂線為y軸，

OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，

設(shè)是平面PAB的一個法向量，則，取，得，

設(shè)平面PBC的一個法向量，

則，取，得，

，

故二面角的正弦值為

18.解：，，

又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

從而，則

證明：，

設(shè)，則，

兩式相減得，

從而，故

19.解：可取0，1，2；Y可取0，1，2，

則，，，

，，，

，

故的聯(lián)合分布列為：

當(dāng)時，，

于是，

因此，

設(shè)Z服從二項分布，則

20.證明：由正弦定理，所以，由余弦定理可得，，所以由已知可得，即，因為，所以；由已知得，，又由正弦定理可得，，因為，所以，由知，，則，又由正弦定理可得，，又，則，將以及代入可得，，整理可得，，因為，，所以，則，令，則，，則，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.所以，即綜上所述，解：由題意得，，，解得，，所以橢圓E的方程為

由題意得，，顯然l的斜率不為0，

設(shè)直線l的方程為，，，

聯(lián)立，消x整理得，

，，，

由題意知，M，N不在x軸上，則分別作E在點M，N上的兩條切線的斜率存在，

聯(lián)立過M，N的切線方程，整理得

相減可得，即，

化簡可得，代入，可得，故

設(shè)MN的中點為，則，，故，

因為，，所以，所以O(shè)，Q，P三點共線，

又過作平行于l的直線分別交PM，PN于A，B，易得∽，

取AB中點R，根據(jù)三角形的性質(zhì)有R，O，Q，P四點共線，

結(jié)合橢圓的對稱性有，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以解：定義域為，的導(dǎo)函數(shù)，

當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減;

當(dāng)時，由得：由得

于是在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞減;

當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

是上的幾何上凸函數(shù)，證明如下：

由可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

故，故為連續(xù)正值函數(shù)，

由于，，

要證是上的幾何上凸函數(shù).

需證，即證，

，

則