高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題四 立體幾何滿分示范練 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

滿分示范課——立體幾何【典例】(滿分12分)(2017·全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐P-ABCD的體積．[規(guī)范解答](1)在平面ABCD中，因?yàn)椤螧AD＝∠ABC＝90°.所以BC∥AD，1分又BC?平面PAD，AD?平面PAD.所以直線BC∥平面PAD.3分(2)解：如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM，由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，7分因?yàn)镃M?底面ABCD，所以PM⊥CM.8分設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x，如圖，取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因?yàn)椤鱌CD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7)，解得x＝－2(舍去)或x＝2.10分于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3).所以四棱錐P-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(2（2＋4）,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).12分高考狀元滿分心得1．寫全得分步驟：在立體幾何類解答題中，對(duì)于證明與計(jì)算過程中得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫．如第(1)問中的BC∥AD，第(2)問中CM⊥AD，PM⊥CM，PN＝eq\f(\r(14),2)x等．2．注意利用第(1)問的結(jié)果：在題設(shè)條件下，在第(2)問的求解過程中，證明CM⊥AD時(shí)，利用第(1)問證明的結(jié)果BC∥AD.3．寫明得分關(guān)鍵：對(duì)于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在解立體幾何類解答題時(shí)，一定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問中一定要寫出BC?平面PAD，AD?平面PAD兩個(gè)條件，否則不能得全分，在第(2)問中，證明PM⊥平面ABCD時(shí)，一定寫全三個(gè)條件，如平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊥AD一定要有，否則要扣分，再如第(2)問中，一定要分別求出BC，AD及PM，再計(jì)算幾何體的體積．[解題程序]第一步：根據(jù)平面幾何性質(zhì)，證BC∥AD.第二步：由線面平行判定定理，證線BC∥平面PAD.第三步：判定四邊形ABCM為正方形，得CM⊥AD.第四步：證明直線PM⊥底面ABCD.第五步：利用面積求邊BC，并計(jì)算相關(guān)量．第六步：計(jì)算四棱錐P-ABCD的體積．[跟蹤訓(xùn)練]1.(2018·全國卷Ⅱ)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．(1)證明：因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2eq\r(3).連接OB.因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2，知OP⊥OB.又OP⊥AC，且OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.(2)解：如圖，作CH⊥OM，垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°.所以O(shè)M＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).所以點(diǎn)C到平面POM的距離為eq\f(4\r(5),5).2.(2018·濰坊模擬)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1＝4，AB＝BC＝2，AC＝2eq\r(2)，點(diǎn)M是棱AA1上不同于A，A1的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：BC⊥B1M(2)若∠CMB1＝90°，判斷點(diǎn)M的位置并求出此時(shí)平面MB1C(1)證明：在△ABC中，因?yàn)锳B2＋BC2＝8＝AC2，所以∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又因?yàn)锽C⊥BB1，BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面ABB1A1又B1M?平面ABB1所以BC⊥B1M(2)解：當(dāng)∠CMB1＝90°時(shí)，設(shè)AM＝t(0＜t＜4)，所以A1M＝4－t則在Rt△MAC中，CM2＝t2＋8，同理得B1M2＝(4－t)2＋4，B1C2＝16＋4據(jù)B1C2＝MBeq\o\al(2,1)＋MC2，所以t2＋8＋(4－t)2＋4＝20，整理得，t2－4t＋4＝0，所以t＝2，故M為AA1的中點(diǎn)．此時(shí)平面MB1C把此棱柱分成兩個(gè)幾何體為：四棱錐C-ABB1M和四棱錐B1-A1MCC由(1)知四棱錐C-ABB1M的高為BC＝2S梯形