2020年北京市高考文科數(shù)學(xué)試卷（原卷版）

2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效，考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，則A.B.C.D.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2），則A.B.C.D.3．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為A.5B.5C.10D.104．某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為A.B.C.D.5．已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(A)4(B)5(C)6(D)76．已知函數(shù)，則不等式的解集是(A)(B)(C)(D)7．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線(A)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(B)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(C)平行于直線(D)垂直于直線8．在等差數(shù)列中，=9，=1，記,則數(shù)列（A）有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)（B）有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)（C）無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)（D）無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)9．已知，則“存在使得”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件10．2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（πDay）.歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是:當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值，按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達(dá)式是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的定義域是_________.12．已知雙曲線，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________:的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_________.13．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，則=_________；=_________.14．若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)________.15．為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱。已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；甲企業(yè)在,,這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．(本小題13分) 如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，(Ⅰ)求證:平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值。17．(本小題13分) 在中，,再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求:(I)a的值；(II)和的面積. 條件①:,; 條件②:，。 注:如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。18.（本小題14分）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二。為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立。（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為。假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大小。（結(jié)論不要求證明）19．（本小題15分） 已知函數(shù)。（Ⅰ）求曲線的斜率等于2的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值.20．（本小題15分） 已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，，直線，分別交直線于點(diǎn)，.求的值.21.（本小題15分）已知是無(wú)窮數(shù)列，給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使得；②對(duì)于中