多重積分方法總結(jié)

摘要：二重積分和三重積分的概念都有實(shí)際的幾何或物理的背景，定義分為四個(gè)步驟用構(gòu)造的方法給出，最終表現(xiàn)為“黎曼和”的極限．故多重積分具有極限的基本性質(zhì)，如唯一性，線(xiàn)性性質(zhì)等．定義給出了概念的一個(gè)準(zhǔn)確描述方法，進(jìn)而從定義出發(fā)可以從純邏輯上考察概念具有的性質(zhì)以及計(jì)算方法．關(guān)鍵詞：二重積分三重積分英文題目SummaryofmultipleintegralmethodAbstract:Thedoubleintegralandtripleintegralconceptsarehavetherealgeometryorphysicalbackground,definitionisdividedintofourstepswiththemethodofstructurearegiven,finallyshownas"Riemannand"limit.Sohasthelimitsoftheintegralmultiplebasicproperties,suchasuniqueness,linearproperties.Definitionoftheconceptofagivenaccuratedescriptionmethod,andfromthedefinitionfrompurelogiccanbereviewstheconcepthaspropertyandcalculationmethod.Keyword:Thedoubleintegraltripleintegral1.引言：重積分的計(jì)算主要是化為多次的積分．這里首先要看被積區(qū)域的形式,選擇合適的坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行處理．二重積分主要給出了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的計(jì)算方法．我們都可以從以下幾個(gè)方面把握相應(yīng)的具體處理過(guò)程：1.被積區(qū)域在幾何直觀(guān)上的表現(xiàn)（直觀(guān)描述，易于把握）；2.被積分區(qū)域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應(yīng)的積分限）；3.化重積分為多次積分．2.研究問(wèn)題及成果2.1．二重積分的計(jì)算1.在直角坐標(biāo)下：(a)X-型區(qū)域幾何直觀(guān)表現(xiàn)：用平行于y軸的直線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線(xiàn)確定兩個(gè)函數(shù)和；被積區(qū)域的集合表示：；二重積分化為二次積分：．(b)Y-型區(qū)域幾何直觀(guān)表現(xiàn)：用平行于x軸的直線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由左右交點(diǎn)位于的曲線(xiàn)確定兩個(gè)函數(shù)和；被積區(qū)域的集合表示：；二重積分化為二次積分：．2.在極坐標(biāo)下：幾何直觀(guān)表現(xiàn)：從極點(diǎn)出發(fā)引射線(xiàn)線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交．在球坐標(biāo)下：球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：空間區(qū)域幾何直觀(guān)表現(xiàn)：從原點(diǎn)出發(fā)引射線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)球坐標(biāo)函數(shù)和;（具體如球心在原點(diǎn)或z軸上的球形域）被積區(qū)域的集合表示：；直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分：=．如球心在原點(diǎn)半徑為的球形域下：．4.三重積分的換元法：在閉區(qū)域V上連續(xù)，設(shè)有變換將一一映射到V上，又和關(guān)于u,v和w有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,則有．三．重積分的幾何和物理應(yīng)用幾何應(yīng)用a)二重積分求平面區(qū)域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區(qū)域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積．求曲面的面積，對(duì)應(yīng)著曲面方程為直角坐標(biāo)系下的二元函數(shù)形式和參數(shù)方程形式分別有以下公式：i)曲面方程ii)曲面參數(shù)方程注：這里的公式都對(duì)函數(shù)有相應(yīng)的微分條件．物理應(yīng)用包括求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力等應(yīng)用，積分是研究物理問(wèn)題的重要工具．建立物理量對(duì)應(yīng)的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發(fā)，找到所求量對(duì)應(yīng)的微元，也就是對(duì)應(yīng)積分的被積表達(dá)式了．3.結(jié)束語(yǔ)：以上對(duì)多重積分的計(jì)算方法做了個(gè)小結(jié)，關(guān)鍵要在具體的情況下要找到對(duì)應(yīng)的適宜的處理方法．處理重積分計(jì)算時(shí)從幾何形式出發(fā)，則易于直觀(guān)把握．注意選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，注意被積區(qū)域的表達(dá)，還要注意