直線的點斜式方程

【課題：】直線的點斜式方程

【教學目的：】

知識目標：在直角坐標平面內(nèi)，已

知直線上一點和直線的斜率或已知

直線上兩點，會求直線的方程;

給出直線的點斜式方程，

能觀察直線的斜率和直線經(jīng)過

的定點

陵向3斜月截標占方：通程過的直過線渡的，點訓斜練學式生方由程

一般到特殊的處理問題方法;

通過直線的方程特征觀察直

線的位置特征，培養(yǎng)學生的數(shù)

形結合能力.

德育目標：通過直線方程的幾

種形式培養(yǎng)學生的美學意識?

【教學重點：】由于斜截式方程

是點斜式方程的特殊情況，教學

重點應放在

推導直線的斜截式方程

上?實質(zhì)上它也是整個直線方程

理論

的基礎。

【教學難點：】在推導出直線的

點斜式方程后，說明得到的就是

直線的方程，

即直線上每個點的坐標都

是方程的解；反過來，以這個方

程

的解為坐標的點在直線

上.

【授課類型：】新授課

【課時安排：】1課時

【教具：1

【教學過程：】

iC復習引入:

iC講解新課:

(1)點斜式

點P1（X1，y）直線是確定的，也

就是可求的，怎樣求直線1的方程

（圖1-24）?

設點P(x,y)是直線1上小同十

Pi(X],yj的任意一■點，根據(jù)經(jīng)過

兩點的斜率公式得

r-H

即y-yi二k(X-xJ(2)

程(2),因此，點Pi不在方程(1)表

示的圖形上而在方程(2)表示的圖

形上，方程(1)不能稱作直線1的

方程.

/IJ|，/7—PL1_|H<Jp-7

明以這個方程的解為坐標的點都

在直線1上，所以這個方程就是過

點P「斜率為k的直線1的方

程.（實質(zhì)上是證明了直線的方程

與方程的直線的關系）

這個方程是由直線上一點和直線

的斜望確定的，叫做直線方程的

點斜式.

注：當直線的斜率為0°時（圖1.

25）,k=0,直線的方程是y=y「

直線的斜率不存在，它的方程不

能用點斜式表示.但因1上每一點

的橫坐標都等于X1，所以它的方

程是x二x「

已知直線1在y軸上的截距為b,斜

率為b,求直線的方程.

\rJ7'll------1Q—I1-J-l-I---IA^^4—

一點(0,b)及直線的斜率k,求直

線的方程，是點斜式方程的特殊

情況，代入點斜式方程可得：

也就是y=kx+b

—P-MI1/I1-1-?I1^^I—115I/I

程.為什么叫斜截式方程？因為

它是由直線的斜率和它在y軸上

的截距確定的.

-------1/

的表小形式，這樣一1次函數(shù)中k

和b的幾何意義就是分別表示直

線的斜率和在y軸上的截距.

中有十分重要的運用，但上述兩

種直線方程的形式都要求有斜率,

故運用它們時往往要先對斜率的

存在與否進行討論，而這正是最

容易錯的地方。

典型范例

錯例剖析

4、課后作業(yè):

5、能力提高:

?￡?已知直線y=kx+b(kWO)經(jīng)過點(』)，求證直

線不可能經(jīng)過兩個

有理點_（所謂的有理點即橫縱坐

標均為有理數(shù)的點）

6、高考鏈結:

【板書設計：】

【課后反思：】

【課題：】直線的兩點式方程

磔

玲

r-

P2(X2,y2),(x^x2),直線的位置

是確定的，也就是直線的方程是

可求的，請同學們求直線1的方

程.

當丫1制2時，為了便于記憶，我

們把方程改寫成

這個方程是由直線上兩點確定的,

故叫做直線的兩點式方程.

HI—IA^^41I—Q_17'FPd|IU

（X1=X2或丫產(chǎn)丫2）時，可直接寫出方

程；（2）要記住兩點式方程，只要

記住左邊就行了，右邊可由左邊

見y就用x代換得到，足碼的規(guī)律

完全一樣.

ird

試用兩點式求方程:

已知直線1在x軸和y軸上的截距分

別是a和b(a/),b^O),求直線1的

方程.

線的方程問題,由學生自己完

成

解：因為直線1過A(a,0)和B(0,

b)兩點，將這兩點的坐標代入兩

點式，得

也就是

學生也可能用先求斜率，然后用

點斜式方程求得截距式.

這個方程是由直線在X軸和y軸上

的截距確定的，叫做直線方程的

截距式.

程；(2)將直線的方程化為截距式

后，可以觀察出直線在x軸和y軸

上的截星巨，這一點常被用來作圖;

(3)與坐標軸平行和過原點的直線

不能用截距式表示即如果有一個

的截距為零則不能用截距式.

典型范例

錯例剖析

4、課后作業(yè):

5、能力提高:

⑴已知直線過點P(3,4)且與

x,y軸的正半軸相交于A、B,求

使AAOB面積最小時的直線方程。

6、高考鏈結:

【板書設計：】

【課后反思：】

【課題：】直線的一般式方程

【教學目的：】

知識目標：掌握直線方程的一

般形式及其運用

）。八/q1-1-VI?JI1/7/—L/、/J、7

進一步強化學生的對應概念；通

過對幾個典型例題的研究，培養(yǎng)

學生靈活運用知識、簡化運算的

能力.

WLLPI<I_Iz，7|一，7r|1▲Iy

幾種形式的特點的分析，培養(yǎng)學

生看問題一分為二的辯證唯物主

義觀點.

ATI、IQ八、、孑71=—'I—IA

線有一定的局限性，只有直線的

一般式能表示所有的直線，教學

中要講清直線與二元一次方程的

對應關系.

【教學難點：】

【授課類型：】新授課

【課時安排：】1課時

【教具：1

【教學過程：】

一工復習引入：

―17rFH|7HI—IA^^49—79UI

能表示與坐標軸平行的直線，又

不能表示過原點的直線.與X軸

垂直的直線可表示成X=Xo，與X軸

平行的直線可表示成y=yo。它們

都是二元一次方程.

我”問：直線的方程都可以寫成

二元一次方程嗎？反過來，二元

7訴你禮程都表示直線嗎？

JI<，，口z|—―I—L/7——>~*'17'/Q、I/~丁

一條直線都有傾斜角a.當

(#90°時，直線有斜率，方程可

寫成下面的形式：y=kx+b

當a=90°時，它的方程可以寫成

X=x0的形式.

看成是二元一次方程.這樣，對

于每一條直線都可以求得它的一

個二元一次方程，就是說，直線

的方程都可以寫成關于x、y的一

次方程.

反過來，對十X、y的一次方程的

一般形式Ax+By+C=O其中A、B

不同時為零.

(1)當B，0時，方程(1)可化為即為

直線的斜截式方程

(2)當BHW，由十A、B不同時可

零，必有A#),方程可化為它

表示一條與y軸平行的直線?

這樣，我們乂有：關十X和y的一

次方程都表示一條直線.我們把

方程寫為：Ax+By+C=O

這個方程（其中A、B不全為零）叫

做直線方程的一般式?

引導學生思考：直線與二元一次

方程的對應是什么樣的對應？

直線與二元一次方程是一對多的,

同一條直線對應的多個二元一次

方程是同解方程.

注：如果求解直線的方程沒有特

別說明要寫成一般式。

典型范例

解：直線的點斜式是

化成一般式得

?

0

H

3

I—

"

E

+

x寸

把常數(shù)次移到等號右邊，再把方

程兩邊都除以12,就得到截距式

IJIF，7

般式也是不唯一的，因為方程的

兩邊同乘以一個非零常數(shù)后得到

的方程與原方程同解，一般方程

可作為最終結果保留，但須化為

各系數(shù)既無公約數(shù)也不是分數(shù)；

⑶直線方程的斜截式與截距式如

果存在的話是唯一的，如無特別

要求，可作為最終結果保留.

例2把直線1的方程x-2y+6=0化

成斜截式，求出直線1的科率和在

x軸與y軸上的截距，并畫圖.

解：將原方程移項，得2y=x+6,

兩邊除以2得斜截式：

4

II

根據(jù)直線過點A(-6,0)、B(0,3),

在平面內(nèi)作出這兩點連直線就是

所要作的圖形(圖1-28).

I—IA^^47々、I—IA^^4.Qk-L-l/、/QrQ，］L

它上面的一點確定，也可由直線

上的兩點確定，利用前一點作圖

比較麻煩，通常我們是找出直線

在兩軸上的截距，然后在兩軸上

找出相應的點連線.

例3證明：三點A(l,3)、B(5,

7)、C(10,12)在同一條直線上.

證法一直線AB的方程是:

化簡得y=x+2.

將點C的坐標代入上面的方程,

等式成立.

???A、B、C三點共線.

所以A、B、C三點共線.

VIABI+IBCI=IACb

???A、C、C三點共線.

講解本例題可開拓學生思路，培

養(yǎng)學生靈活運用知識解決問題的

能力.

例4直線x+2y-10=0與過A(1，

3)、B(5,2)的直線相交于C,

所成的