專題05 直線與圓綜合大題18種題型歸類（原卷版）

專題05直線與圓綜合大題18種題型歸類一、鞏固提升練【題型一】求圓的方程【題型二】求軌跡方程【題型三】阿波羅尼斯圓軌跡【題型四】中點(diǎn)弦【題型五】弦長(zhǎng)【題型六】中點(diǎn)弦軌跡【題型七】切線型面積范圍最值【題型八】圓上點(diǎn)代入型最值【題型九】圓與直線相交弦型面積最值【題型十】圓與直線“五個(gè)方程”型【題型十一】圓與直線“五個(gè)方程”型最值【題型十二】圓與直線“五個(gè)方程”型線過定點(diǎn)【題型十三】圓過定點(diǎn)【題型十四】定直線【題型十五】定值【題型十六】?jī)蓤A關(guān)系：公共弦長(zhǎng)及方程【題型十七】?jī)蓤A關(guān)系：公切線【題型十八】?jī)蓤A關(guān)系：公切線最值二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納【題型一】求圓的方程知識(shí)點(diǎn)與技巧：解決直線與圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、圓的條件；（2）強(qiáng)化利用幾何法求解圓的弦長(zhǎng)，代入公式化簡(jiǎn)得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率等問題．1.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在①圓Q經(jīng)過直線：與直線：的交點(diǎn)，②圓心Q在直線上這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并作答．問題：是否存在圓Q，使得點(diǎn)，均在圓Q上，且______？若存在，求圓Q的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的圓的方程．(1)經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切，同時(shí)圓心在直線上的圓；(2)經(jīng)過點(diǎn)，且與直線l：相切于點(diǎn)的圓．3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線過點(diǎn)且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過，兩點(diǎn)．(1)求直線的方程；(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【題型二】求軌跡方程知識(shí)點(diǎn)與技巧：求軌跡方程的常見方法①直接法：將動(dòng)點(diǎn)滿足的（與斜率、距離、數(shù)量積等有關(guān)的，或由平面幾何知識(shí)推出的）等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，即可得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．②定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等），可根據(jù)定義直接求，又稱幾何法，利用平面幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．③代入法：若動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知(或容易先確定的)曲線上，則可先用，的代數(shù)式表示，，再將，代入已知曲線即可得到要求的軌跡方程．又稱相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法．1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，求的方程.3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓C過三個(gè)點(diǎn)．(1)求圓C的方程：(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程．【題型三】阿波羅尼斯圓軌跡1.．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若平面上有兩個(gè)點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，始終為的中點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若存在定點(diǎn)和常數(shù)，對(duì)軌跡上的任意一點(diǎn)，恒有，求與的值.【題型四】中點(diǎn)弦1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓，AB為過點(diǎn)且傾斜角為α的弦．(1)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；(2)若弦AB被點(diǎn)P平分，求直線AB的方程．2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線與該圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)的直線l垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．3.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)中曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，若直線被圓截得的弦恰以為中點(diǎn)，求的值.【題型五】弦長(zhǎng)1.（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓C：內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn).(1)當(dāng)弦AB最長(zhǎng)時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，求l的方程.2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn).(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線l的方程；(2)若直線m過點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)為8，求直線m的方程.3.（2021秋·高二單元測(cè)試）在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)能否出現(xiàn)的情況？請(qǐng)說明理由；(2)證明過，，三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值；(3)若定點(diǎn)，圓過，，三點(diǎn)，且存在定直線被圓截得的弦長(zhǎng)為定值，求定直線的方程．【題型六】中點(diǎn)弦軌跡1（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓：，直線：，點(diǎn)．(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，若，求直線的方程．2.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）從定點(diǎn)向圓任意引一割線交圓于P，Q兩點(diǎn)，求弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.3.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）的頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是，，頂點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求的重心G的軌跡方程.【題型七】切線型面積范圍最值1.平面直角坐標(biāo)系中，直線，設(shè)圓經(jīng)過，，圓心在上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)圓上存在點(diǎn)P，滿足過點(diǎn)P向圓作兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為，四邊形的面積為10，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．廣東省深圳市寶安中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題2.已知點(diǎn)，圓C：.(1)若過點(diǎn).A可以作兩條圓的切線，求m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，過直線上一點(diǎn)P作圓的兩條切線PM?PN，求四邊形PMCN面積的最小值.浙江省舟山市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題3.已知圓C的圓心在第一象限且在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長(zhǎng)為(1)求圓C的方程；(2)由直線上一點(diǎn)P向圓C引切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值．四川省成都市樹德中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題【題型八】圓上點(diǎn)代入型最值1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓過點(diǎn)，，且點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上．（1）求圓的方程；（2）設(shè)是圓上任意一點(diǎn)，，求的最大值和最小值．2.（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知，，三點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值．3.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【題型九】圓與直線相交弦型面積最值1.已知圓，直線l過原點(diǎn)．(1)若直線l與圓M相切，求直線l的方程；(2)若直線l與圓M交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．安徽省亳州市渦陽縣第三中學(xué)等校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題2.已知圓.(1)若直線l過點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；(2)若直線l過點(diǎn)且與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題3.已知圓的方程為，是經(jīng)過且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)若，求直線的方程；(2)求面積的最小值．浙江省湖州市三賢聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【題型十】圓與直線“五個(gè)方程”型1.（2021秋·江蘇南京·高二南京市第五高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓O：x2+y2＝4．(1)過點(diǎn)P（1，2）向圓O引切線，求切線l的方程；(2)過點(diǎn)M（1，0）任作一條直線交圓O于A、B兩點(diǎn)，問在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．2.（2021秋·安徽·高二校聯(lián)考期中）設(shè)圓的圓心為，半徑為，圓過點(diǎn)，直線交圓與兩點(diǎn)，.(1)求圓的方程；(2)已知，過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，其中，若存在，使得軸為的平分線，求正數(shù)的值.3.（2021·全國(guó)·高二期中）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的值.【題型十一】直線與圓“五個(gè)方程”型最值1.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)最大值為．(1)求圓O的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與圓O交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，且直線的斜率，求的取值范圍．2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為正數(shù)的直線與圓交于，.求的最大值．3.（2021秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若A，B為（1）中軌跡C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)直線，，的斜率分別為，，.當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.【題型十二】直線與圓“五個(gè)方程”型:直線過定點(diǎn)1.已知圓O：與直線相切．（1）求圓O的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)為4，求直線l的方程；（3）若過點(diǎn)作兩條斜率分別為，的直線交圓O于B、C兩點(diǎn)，且，求證：直線BC恒過定點(diǎn)．并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．江蘇省泰州市口岸中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期第二次月度質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題2.已知圓C的圓心坐標(biāo)為，與y軸的正半軸交于點(diǎn)A且y軸截圓C所得弦長(zhǎng)為8．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線n交圓C于的M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N異于A點(diǎn)），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓過點(diǎn)，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)且與軸平行的直線與圓交于點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，（與不重合），證明：直線過定點(diǎn).【題型十三】圓過定點(diǎn)1.已知圓，圓．（1）過的直線截圓所得的弦長(zhǎng)為，求該直線的斜率；（2）動(dòng)圓同時(shí)平分圓與圓的周長(zhǎng)．①求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；②問動(dòng)圓是否過定點(diǎn)，若經(jīng)過，則求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，則說明理由．內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題2.．已知圓C的圓心C在x軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長(zhǎng)為.(1)求圓C的方程；(2)設(shè)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線PA，切點(diǎn)為A，證明：經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).浙江省紹興市諸暨中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題3.（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知圓，直線的方程為，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線?，切點(diǎn)為?.（1）當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為時(shí)，求的大??；（2）求證：經(jīng)過??三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).【題型十四】定直線1.已知曲線C：．(1)求證：不論m取何實(shí)數(shù)，曲線C恒過一定點(diǎn)；(2)證明當(dāng)時(shí)，曲線C是一個(gè)圓，且圓心在一條定直線上；(3)若曲線C與軸相切，求m的值．2.．已知圓O:x2+y2=1和定點(diǎn)T(2，1)，由圓O外一動(dòng)點(diǎn)P(m，n)向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PT|.(1)求證:動(dòng)點(diǎn)P在定直線上，求出定直線的一般式方程;(2)求線段PQ長(zhǎng)的最小值，并寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).江蘇省徐州市賈汪中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)試題3.在平面直角坐標(biāo)系中，圓M是以，兩點(diǎn)為直徑的圓，且圓N與圓M關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，過點(diǎn)C作直線，交圓N于P、Q兩點(diǎn)，P、Q不在y軸上.（i）過點(diǎn)C作與直線垂直的直線，交圓N于E、F兩點(diǎn)，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值；（ii）設(shè)直線OP，DQ相交于點(diǎn)G，試討論點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.江蘇省宿遷中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題33【題型十五】定值1.已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)．(1)若﹐求直線l的方程：(2)若直線l與直線交于點(diǎn)N，直線l過定點(diǎn)A，求證：為定值．甘肅省慶陽市寧縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，為圓與軸正半軸的交點(diǎn)．(1)若，求直線的方程；(2)證明：直線的斜率之和為定值．3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，為上三點(diǎn).（1）求的值；（2）若直線過點(diǎn)(0，2)，求面積的最大值；（3）若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且，試問直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【題型十六】?jī)蓤A關(guān)系：公共弦長(zhǎng)及方程1.．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知圓與圓相交，求交點(diǎn)所在直線的方程.2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求圓和圓公共弦所在直線方程，并求弦長(zhǎng)．3.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩圓和.（1）判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求兩圓公共弦所在的直線方程及公共弦的長(zhǎng).【題型十七】?jī)蓤A關(guān)系：公切線知識(shí)點(diǎn)與技巧：過一點(diǎn)求圓的切線的方法：（1）過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求切線方程．若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程x＝x0.（2）過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程．當(dāng)斜率不存在時(shí)要加以驗(yàn)證．1.（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求圓與的公切線的方程．2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓，圓．(1)求兩圓的公共弦長(zhǎng)；(2)求兩圓的公切線方程．【題型十八】?jī)蓤A關(guān)系：公切線最值1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于軸上方，且兩圓在點(diǎn)處的切線相互垂直.(1)求的值；(2)若直線與圓?圓分別切于兩點(diǎn)，求的最大值.2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．(1)若，求；(2)若，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．培優(yōu)練1．（2022秋·全國(guó)·高二期中）已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且該圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線n交圓C于M，N兩點(diǎn)，若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).(3)直線m交圓C于M，N兩點(diǎn)，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線m的斜率是定值，并求出該定值.2．（2023秋·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州市書生中學(xué)校考開學(xué)考試）已知直線，圓.(1)證明：直線l與圓C相交；(2)設(shè)l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，與的交點(diǎn)為Q.試探究：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說明理由.3．（2023秋·高二單元測(cè)試）如圖，已知圓，點(diǎn).

(1)求圓心在直線上，經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相外切的圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且圓弧恰為圓周長(zhǎng)的，求直線的方程.4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓過點(diǎn)，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)且與軸平行的直線與圓交于點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，（與不重合），證明：直線過定點(diǎn).5．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)點(diǎn)P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點(diǎn)，E為直線l：x＝4上的動(dòng)點(diǎn)，直線CE，DE與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線MN與x軸交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓：，點(diǎn).(1)若，求以為圓心且與圓相切的圓的方程；(2)若過點(diǎn)的兩條直線被圓截得的弦長(zhǎng)均為，且與軸分別交于點(diǎn)、，，求的值.7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓和定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上．