專題11等差數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用歸類（解析版）

專題11等差數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用歸類一、鞏固提升練【題型一】等差數(shù)列定義【題型二】等差數(shù)列“高斯計(jì)巧”【題型三】雙數(shù)列等差中項(xiàng)比值型【題型四】奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和型【題型五】等差數(shù)列單調(diào)性與最值【題型六】等差數(shù)列正負(fù)型不等式判斷【題型七】等差數(shù)列恒成立求參【題型八】跳項(xiàng)型等差數(shù)列【題型九】整數(shù)型比值【題型十】范圍型【題型十一】絕對(duì)值型求和【題型十二】等差數(shù)列與三角函數(shù)綜合二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納【題型一】等差數(shù)列定義知識(shí)點(diǎn)與技巧：等差數(shù)列常用結(jié)論若{an}為等差數(shù)列，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則有：(1)下標(biāo)意識(shí)：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特別地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；(2)隔項(xiàng)等差：數(shù)列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列；(3)分段等差：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數(shù)列；(4)數(shù)列{eq\f(Sn,n)}是公差為eq\f(d,2)的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))；1.（2023·河北唐山·模擬）設(shè)甲：為等比數(shù)列；乙：為等比數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念和充分必要條件的概念即可得到答案.【詳解】充分性：若為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以為等比數(shù)列，公比為，滿足充分性.必要性：若為等比數(shù)列，公比為，則，即，假設(shè)為等比數(shù)列，此時(shí)無解，故不滿足必要性.所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選：A2.（2022上·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）若數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列，，，…，…為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以設(shè)（為常數(shù)），又，所以數(shù)列也為等差數(shù)列，故A正確；B選項(xiàng)：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故B正確；C選項(xiàng)：，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選：C.3.（2019·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列命題：①若，則數(shù)列是等差數(shù)列；②若，則數(shù)列是等差數(shù)列；③若（b、c是常量），則數(shù)列是等差數(shù)列．其中真命題有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】由等差數(shù)列的定義即可得出結(jié)論.【詳解】由，得，滿足等差數(shù)列的定義，故①正確；，不是常數(shù)，不滿足等差數(shù)列的定義，故②錯(cuò)誤；，，，滿足等差數(shù)列的定義，故③正確.故選：C4.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若等差數(shù)列的公差為d，（c為常數(shù)且），則（

）A．?dāng)?shù)列是公差為d的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公差為cd的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為c的等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，計(jì)算，由其結(jié)果即可判斷出答案.【詳解】由題意可知，所以數(shù)列是以cd為公差的等差數(shù)列，故選:B．5.（2022高二課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a+2，b+2，c+2成等差數(shù)列，D．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列【答案】C【分析】選項(xiàng)A、B、D舉反例即可判斷，選項(xiàng)C可用等差數(shù)列的定義判斷【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，成等差數(shù)列，但不成等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成等差數(shù)列，但為不成等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于a，b，c成等差數(shù)列，故，則，即a+2，b+2，c+2成等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，成等差數(shù)列，但不成等差數(shù)列,故D錯(cuò)誤故選：C【題型二】等差數(shù)列“高斯技巧”知識(shí)點(diǎn)與技巧：等差數(shù)列下標(biāo)公式性質(zhì)，稱為“高斯技巧”。若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特別地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；1.（2023春·新疆喀什·高二校考期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．150 B．160 C．170 D．180【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出，再利用求和公式變形得到答案.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，因?yàn)椋裕?故選：B2.（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，.故選：C.3.（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．18 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】方法1：運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等和性可得結(jié)果.方法2：運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】方法1：∵為等差數(shù)列，∴，∴，∴.方法2：∵為等差數(shù)列，∴∴∴.故選：C.4.（2023春·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）若前項(xiàng)和為的等差數(shù)列滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)和求和公式計(jì)算即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)知因?yàn)榍绊?xiàng)和為的等差數(shù)列滿足，所以，即，所以，所以.故答案為：5.（2022秋·上海奉賢·高二?？计谥校┮阎矫鎯?nèi)有四點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則.【答案】2020【分析】先利用四點(diǎn)共面證明，所以能得到然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解【詳解】因?yàn)槠矫鎯?nèi)有四點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，所以，所以，可整理得，即，易得，因?yàn)?，所以，即因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，故答案為：2020【題型三】雙數(shù)列等差中項(xiàng)比值型知識(shí)點(diǎn)與技巧：雙等差數(shù)列等差中項(xiàng)比值型性質(zhì)：、均為等差數(shù)列且其前項(xiàng)和為、則1.（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為與，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，將變形為數(shù)列的前n項(xiàng)和的比的形式，即可求得答案.【詳解】和為等差數(shù)列，故a3故選：D.2.（2022秋·寧夏銀川·高二?？计谥校┮阎謩e是等差數(shù)列與的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，將所求的式子化簡(jiǎn)，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，又因?yàn)榉謩e是等差數(shù)列與的前項(xiàng)和，且，所以,故選：.3.（2022春·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，所以.故選：A4.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩等差數(shù)列，，前n項(xiàng)和分別是，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式推理計(jì)算作答.【詳解】?jī)傻炔顢?shù)列，，前n項(xiàng)和分別是，，滿足，所以.故選：B5.（2021秋·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則（）A． B． C． D．15【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和公式，逆向構(gòu)造得，從而求出其比值.【詳解】因?yàn)?故答案選.【題型四】奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和型知識(shí)點(diǎn)與技巧：含項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為1.（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列共有99項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為300，則偶數(shù)項(xiàng)之和為（

）A．300 B．298 C．296 D．294【答案】D【分析】由奇數(shù)項(xiàng)之和可求得，利用等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，又，.故選：.2.（2021春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)階段練習(xí)）已知某數(shù)列前項(xiàng)之和為，且前個(gè)偶數(shù)列的和為，則前個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先計(jì)算數(shù)列前項(xiàng)之和為，減去前個(gè)偶數(shù)列的和得到答案.【詳解】數(shù)列前項(xiàng)之和為，故數(shù)列前項(xiàng)之和為，前個(gè)偶數(shù)列的和為則前個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為故選：3.（2022·陜西·高二練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為310，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為300.則的值為.A．30 B．31 C．60 D．61【答案】A【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且所以，兩式相除得.故答案為A4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的差可求得，由可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】，，，，解得：.故選：D.5.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則的值是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，，又，，所以，，故選A．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．【題型五】等差數(shù)列單調(diào)性與最值知識(shí)點(diǎn)與技巧：在處理等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值，從以下幾方面思考：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；②利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(A、B為常數(shù))看作關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則當(dāng)滿足成立時(shí)，n的最小值為.【答案】31【分析】根據(jù)給定條件，分析等差數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合前n項(xiàng)和公式即可求出的n的最小值.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，由得：，即，數(shù)列的公差，因此，數(shù)列是首項(xiàng)為正的遞減數(shù)列，又，則當(dāng)時(shí)，，而，因此，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)滿足成立時(shí)，n的最小值為31.故答案為：312.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和能取到最大值，且滿足：，對(duì)于以下幾個(gè)結(jié)論：①數(shù)列是遞減數(shù)列；②數(shù)列是遞減數(shù)列；③數(shù)列的最大項(xiàng)是；④數(shù)列的最小的正數(shù)是．其中正確的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】結(jié)合題意，數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，開口向下，數(shù)列先增后減，再根據(jù)，得，，故數(shù)列的最大項(xiàng)是，最后根據(jù)，判斷④.【詳解】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和能取到最大值，數(shù)列是遞減數(shù)列，且，故①正確；，，數(shù)列先增后減，故②錯(cuò)誤；由，，得，，數(shù)列的最大項(xiàng)是，故③正確；由，，得數(shù)列的最小的正數(shù)是，故④正確．正確的序號(hào)是①③④．故答案為：①③④．3.（2022·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列滿足：，則其公差的取值范圍為.【答案】【分析】由題意知，等差數(shù)列中的項(xiàng)一定有正有負(fù)，分成首項(xiàng)大于零和小于零兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合已知條件，可知或，從而可求出公差的取值范圍.【詳解】解：由題意知，等差數(shù)列中的項(xiàng)一定有正有負(fù)，當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以，所以，即；當(dāng)時(shí)，同理可求出，綜上所述，公差的取值范圍為.故答案為:.4.（2020·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？家荒＃┮阎铝兴膫€(gè)命題：（1）等差數(shù)列一定是單調(diào)數(shù)列（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列一定不是單調(diào)數(shù)列（3）已知等比數(shù)列的公比為，若,則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列（4）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的最大值一定在處取到.其中錯(cuò)誤的有（填寫所有錯(cuò)誤的命題的序號(hào)）【答案】(1)(2)(3)【解析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)逐個(gè)舉出反例，或直接推導(dǎo)判定即可.【詳解】(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列公差時(shí)數(shù)列不為單調(diào)數(shù)列，故(1)錯(cuò)誤.(2)如等差數(shù)列，則前項(xiàng)和，為單調(diào)數(shù)列.故(2)錯(cuò)誤.(3)當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)為，公比為2時(shí)，數(shù)列為為單調(diào)遞減數(shù)列.故(3)錯(cuò)誤.(4)，故，.故，.故數(shù)列為單調(diào)遞減的數(shù)列，且的最大值在處取到.故(4)正確.綜上，(1)(2)(3)錯(cuò)誤.故答案為：(1)(2)(3)5.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為.【答案】9【詳解】試題分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差滿足，所以是遞減數(shù)列.又.為負(fù)數(shù).,即,.,,.即時(shí)，；，.所以當(dāng)時(shí)，取最大值.【題型六】等差數(shù)列正負(fù)型不等式判斷知識(shí)點(diǎn)與技巧：在處理等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為判定的符號(hào)變化：①若，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)最大；②若，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)最??；③若最大，則.1.（2023秋·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．【答案】B【分析】根據(jù)，即可得，從而可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷BD；根據(jù)，判斷出公差的符號(hào)，即可判斷C.【詳解】因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；由等差數(shù)列，可得，所以，即，故B正確；因?yàn)?，所以，所以等差?shù)列的公差，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，下列為真命題的序號(hào)為（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】由，，可得，即，，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的運(yùn)算可求解.【詳解】由，可得，即，，故可得等差數(shù)列的公差，選項(xiàng)③正確；把已知的兩式相加可得整理可得結(jié)合上面的判斷可知故有，，故選項(xiàng)②正確；由于，，則，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；由公差可得，結(jié)合等差數(shù)列的列的性質(zhì)，可得，從而可得，故，即選項(xiàng)④錯(cuò)誤．故選：B．3.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．【答案】D【分析】由，結(jié)合可判斷選項(xiàng)A;由等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得，，結(jié)合選項(xiàng)A中得出的結(jié)論可判斷選項(xiàng)B；由，，可得，，從而，可判斷選項(xiàng)C；由可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，則，即，又，故A正確；，，則，故，B正確；由，，即，所以，數(shù)列是遞減數(shù)列，故C正確；，D錯(cuò)誤.故選：D4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，若滿足，給出下列說法：①；②；③；④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確說法的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題可得，，然后結(jié)合條件及求和公式逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由，有，故②正確；又，則，從而，即，所以，故①正確；因?yàn)?，所以，故④錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故③錯(cuò)誤；所以正確說法的個(gè)數(shù)為2.故選：B．5.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的兩個(gè)等式，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)確定與的關(guān)系即可求解作答.【詳解】令函數(shù)，，，則是R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，由得，由得，于是得，且，即，且，所以等差數(shù)列前項(xiàng)，且.故選：C【題型七】等差數(shù)列恒成立求參1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式，對(duì)恒成立，則整數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由求得，再由得出數(shù)列是等差數(shù)列，求得，用分離參數(shù)法變形不等式，即可得解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，即，所以．又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，即．，所以不等式等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，，所以時(shí)，，即，遞減，時(shí)，，所以的最大項(xiàng)是，所以，所以整數(shù)的最大值為3．故選：B2.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，公差，若對(duì)任意的，總存在，使．則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得到，令，化簡(jiǎn)得到，又因?yàn)?，所以，得，再利用等差?shù)列前項(xiàng)和公式得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題意得則得，即，令得，即①，即得.因?yàn)槭醉?xiàng)，公差，則得，即.又因?yàn)椋?，代入①?當(dāng)時(shí)，由得即，所以即因此當(dāng)或11時(shí)，的最小值為.故選：C3.首項(xiàng)為正數(shù)的遞減等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意項(xiàng)序數(shù)，總存在正整數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】首先利用前項(xiàng)和公式，將條件變形為，并由條件可知，并且時(shí)，由，得，推理得到，計(jì)算求得，再代入，利用二次函數(shù)求最值.【詳解】由題意知，，，則，當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)，，，，又，，則，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴或時(shí)取最小值為．故答案為：4.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和，若實(shí)數(shù)使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是________.【答案】9【解析】由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，由可得的表達(dá)式，由分離參數(shù)可得，設(shè)利用其單調(diào)性可得的最大值.【詳解】解：依題意，數(shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)?，即，即，因?yàn)?，即，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，其最小值為9，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為9.5.已知是首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，若是與無關(guān)的常數(shù)，則______.【答案】或【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合列式，分類討論求得常數(shù)的值.【詳解】由于是首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，若是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，即，對(duì)于任意的恒成立，故①，且②.由①得或.當(dāng)時(shí)，成立.由②得或.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，代入①得，此時(shí)成立.綜上所述，或.故答案為或.【題型八】跳項(xiàng)型等差數(shù)列1..知數(shù)列滿足,,記,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求出的通項(xiàng)公式進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式,判斷數(shù)列的類型，求出前n項(xiàng)和.【詳解】解:由題知,是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,,故,,所以是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,記的前n項(xiàng)和為,.故選:A2.已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有200項(xiàng)，則它們的公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)有________．【答案】50【詳解】設(shè)兩個(gè)數(shù)列相同的項(xiàng)按原來的前后次序組成的新數(shù)列為{an}，則a1＝11.∵數(shù)列5，8，11，…與3，7，11，…的公差分別為3和4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.又5，8，11，…與3，7，11，…的第200項(xiàng)分別為602和799，∴an＝12n－1≤602，即n≤50.25.又n∈N*，∴兩數(shù)列有50個(gè)相同的項(xiàng)．3.等差數(shù)列中，，，則其公差的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式將化簡(jiǎn)即可得到公差【詳解】故選：B4.將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得數(shù)列，則______.【答案】【解析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以5為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為，故答案為：.5.已知數(shù)列對(duì)任意的有，若,則_______.【答案】【分析】先證明數(shù)列是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】令,則可知∴為等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差均為2.∴，∴故答案為4038【題型九】整數(shù)型比值1.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式，將用n表示出即可作答.【詳解】依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個(gè)，則n的值有1，3，7，15，31五個(gè)，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為5.故選：B2.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，若，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n共有（

）個(gè)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由等差數(shù)列的形式和條件可設(shè)，，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式表示，再求滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】，設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則滿足條件的的值有6個(gè).故選：D3.已知兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)推導(dǎo)出,即可得到,分析求解即可【詳解】由題,,所以若為整數(shù),則是的因數(shù),即可取2,3,4,6,12,則為1,2,3,4,11,共有5個(gè),故選:C4.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】計(jì)算得到，故，，得到整數(shù)，得到答案.【詳解】.故當(dāng)，，時(shí)，是整數(shù).故選：.5.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，可得，要使得為正整數(shù)，求得的取值個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，可得，要使得為正整數(shù)，則或，所以要使得為正整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選A．【題型十】范圍型1.在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以，即，從?故選：A.2.如果a1，a2，，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量，通過作差比較的大小即可.【詳解】因?yàn)槭枪畹牡炔顢?shù)列，則，則.故選：B.3.已知等差數(shù)列滿足，若，則k的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題意可得，從而建立關(guān)于的不等式，求解不等式即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，由，且，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，所以，即，解得，所以k的最大值是9.故選：B.4.已知等差數(shù)列滿足，，，若對(duì)任意正整數(shù)，恒有，則正整數(shù)的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】A【分析】利用等差性質(zhì)研究數(shù)列項(xiàng)的變化，從而可得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列滿足，，可知，即，且，，公差，∴又，∴當(dāng)時(shí)，最大，∴正整數(shù)的值是.故選：A5.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使成立的最大自然數(shù)n是.A．20 B．37 C．38 D．40【答案】C【分析】由首項(xiàng)，結(jié)合非常數(shù)的等差數(shù)列的單調(diào)性，可以判斷出的正負(fù)性，由的正負(fù)性，結(jié)合就可以判斷出使成立的最大自然數(shù)n.【詳解】因?yàn)?，說明互為異號(hào)，而非常數(shù)等差數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，而所以，由，由，因此使成立的最大自然數(shù)n是38，故本題選C.【題型十一】絕對(duì)值型求和1.已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋＋|a6|＝（

）A．9 B．15 C．18 D．30【答案】C【分析】根據(jù)定義知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后得到前項(xiàng)代入即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閍n＋1－an＝2，所以{an}是以2為公差的等差數(shù)列，又a1＝－5，所以，所以，，，，，所以|a1|＋|a2|＋＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.故選：C.2.設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，則正整數(shù)m的最大值是A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)題目所給含有絕對(duì)值的式子分析可知絕對(duì)值等于本身，故，即，由此得到最大的的值.【詳解】根據(jù)題意可知，是非負(fù)數(shù)，故，故的最大值為.所以選.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)題目所給還有絕對(duì)值的式子進(jìn)行分析，得到關(guān)鍵點(diǎn)是數(shù)列中為非負(fù)數(shù)的項(xiàng).根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的最大值.3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，則其前項(xiàng)的和為______.【答案】【分析】利用分組求和直接計(jì)算.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.4.已知等差數(shù)列滿足：，則正整數(shù)的最大值為________【答案】62【分析】設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，則，且，即，根據(jù)，得到即有，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得，從而得出，即可求解.【詳解】解：由題意知：等差數(shù)列滿足，故等差數(shù)列不是常數(shù)列，且中的項(xiàng)一定滿足或，且項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，則，且，即，由，則，即，即有，則，可得，解得，即有的最大值為，的最大值為.故答案為：.5.等差數(shù)列，滿足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51【答案】A【分析】首先數(shù)列中的項(xiàng)一定滿足既有正項(xiàng)，又有負(fù)項(xiàng)，不妨設(shè)，由此判斷出數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)，利用配湊法和關(guān)系式的變換求出的最大值.【詳解】為等差數(shù)列，則使，所以數(shù)列中的項(xiàng)一定有正有負(fù)，不妨設(shè)，因?yàn)闉槎ㄖ?，故設(shè)，且，解得.若且，則，同理若，則.所以，所以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所以，由于，所以，解得，故，故選A.【題型十二】等差數(shù)列與三角函數(shù)綜合1..設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差.若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用公式對(duì)式子化簡(jiǎn)，再借助函數(shù)來處理.【詳解】由，得，由積化和差公式，得，整理，得，所以，因?yàn)楣?，所以，則.所以，設(shè)，其圖像的對(duì)稱軸方程為.由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，所以，解得.則首項(xiàng)的取值范圍是.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.2.已知數(shù)列滿足，且，若函數(shù)，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A．2017 B．﹣2017 C．0 D．1【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的概念與性質(zhì)以及正、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式、對(duì)稱性進(jìn)行求解.【詳解】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴，∵函數(shù)，∴，，∵，利用誘導(dǎo)公式知，，所以，同理，，…所以數(shù)列的前2017項(xiàng)和為：2×1008+1=2017，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A．3..數(shù)列滿足，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為__________．【答案】2550【分析】利用前項(xiàng)和的周期規(guī)律求和可得答案.【詳解】由，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，，，，，；同理可得；∴數(shù)列的前100項(xiàng)滿足是以14為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為.故答案為：2550.4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則________.【答案】2016【分析】利用誘導(dǎo)公式求出和，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性找到和的關(guān)系，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出.【詳解】，又為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以，即，故答案為：2016.5.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，，滿足：對(duì)于任意的總有兩個(gè)不同的根，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.【答案】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，又對(duì)任意的總有兩個(gè)不同的根，又∵對(duì)任意的總有兩個(gè)不同的根，又∵對(duì)任意的總有兩個(gè)不同的根，.由此可得培優(yōu)練1.．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C2.（2016·山西·統(tǒng)考二模）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.【答案】2016【分析】利用誘導(dǎo)公式求出和，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性找到和的關(guān)系，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出.【詳解】，又為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以，即，故答案為：2016.3.（2022·全國·高二假期作業(yè)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.故選：D.4.（2011春·江西吉安·高一階段練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為310，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為300，則的值為（）A．30 B．31 C．60 D．61【答案】A【分析】由奇數(shù)項(xiàng)之和為310，偶數(shù)項(xiàng)之和為300，利用等差數(shù)列求和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程求解即可.【詳解】由題意可得：等差數(shù)列共有項(xiàng)，它的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為，偶數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為，由等差數(shù)列求和公式，奇數(shù)項(xiàng)和為，(1)偶數(shù)項(xiàng)和為，(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，可得：，解得：，故選A.5.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知{an}是等差數(shù)列，d為其公差，Sn是其前n項(xiàng)和，若只有S4是{Sn}中的最小項(xiàng)，則可得出的結(jié)論中正確的是．①d>0

②a4<0

③a5>0

④S7<0

⑤S8>0【答案】①②③④【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式逐個(gè)分析即可得出結(jié)論.【詳解】由已知條件得a5>0，a4<0，則d>0，故①②③正確．因?yàn)镾7＝＝7a4<0，故④正確．S8＝＝4(a4＋a5)無法判斷其正負(fù)，故⑤錯(cuò)誤．綜上