自動(dòng)控制原理-第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性

本章主要教學(xué)內(nèi)容

5.1

穩(wěn)定性的基本概念

5.2

Routh

判據(jù)

5.3

Nyquist穩(wěn)定判據(jù);5.4

Bode穩(wěn)定判據(jù)5.5

系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性2本節(jié)主要教學(xué)內(nèi)容

5.1

穩(wěn)定性的基本概念

5.1.1

穩(wěn)定性的定義5.1.2

穩(wěn)定的充要條件5.1.3

穩(wěn)定的必要條件31

不穩(wěn)定的現(xiàn)象穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺4控制系統(tǒng)在外部擾動(dòng)作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)作用消失后，系統(tǒng)仍能自動(dòng)恢復(fù)到原來的初始平衡狀態(tài)。(a)外加擾動(dòng)注意：以上定義只適用于線性定常系統(tǒng)。2

穩(wěn)定性的定義5(b)穩(wěn)定(c)不穩(wěn)定注意：控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。6大范圍穩(wěn)定不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。(a)大范圍穩(wěn)定7(b)小范圍穩(wěn)定否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。8假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，受到單位脈沖信號(hào)δ(t)的作用，此時(shí)系統(tǒng)的輸出為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下，輸出信號(hào)偏離平衡點(diǎn)的問題，顯然，當(dāng)t→∞時(shí)，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。

穩(wěn)定的條件：5.1.2

穩(wěn)定的充要條件9理想脈沖函數(shù)作用下R(s)=1由上式知：如果pi和

j均為負(fù)值,

當(dāng)t

時(shí),c(t)0。10自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，即,閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。!穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)系統(tǒng)特征方程S平面11結(jié)果：具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。某單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：125.1.3

穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)具有相同的符號(hào),且無零系數(shù).設(shè)系統(tǒng)特征根為s1、s2、…、sn-1、sn13各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積全部根具有負(fù)實(shí)部145.2

Routh

判據(jù)5.2.2

Routh判據(jù)5.2.1

Routh行列式5.2.3

Routh

判據(jù)的特殊情況

無需求解特征根，直接通過特征方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。155.2.1

Routh行列式性質(zhì)：第一列符號(hào)改變次數(shù)==系統(tǒng)特征方程含有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。16特征方程：

17如果符號(hào)相同

系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零

系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同

符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)

系統(tǒng)不穩(wěn)定。控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞斯陣列第一列元素不改變符號(hào)。“第一列中各數(shù)”注：通常an>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。5.2.2

Routh判據(jù)18[例]勞斯判據(jù)判定穩(wěn)定性系統(tǒng)不穩(wěn)定有兩個(gè)正實(shí)部特征根191320系統(tǒng)特征方程：判斷系統(tǒng)有幾個(gè)特征根位于與虛軸平行的直線的右側(cè).系統(tǒng)有兩個(gè)特征根位于與虛軸平行的直線右側(cè)令代入特征方程，得到以z為變量的系統(tǒng)特征方程21系統(tǒng)沒有右半平面的特征根，是穩(wěn)定的。22對(duì)于二階、三階系統(tǒng)，Routh穩(wěn)定判據(jù)可化為簡單形式1、二階系統(tǒng)：2、三階系統(tǒng)：23

特殊情況1：第一列出現(xiàn)0

特殊情況2：某一行元素均為05.2.3

Routh

判據(jù)的特殊情況24

特殊情況1：第一列出現(xiàn)0特殊情況：第一列出現(xiàn)0。各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)解決方法：用任意小正數(shù)

代之。25

特殊情況2：某一行元素均為0解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導(dǎo)后方程系數(shù)構(gòu)成一個(gè)新方程，新方程的系數(shù)代替全0行。各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)求導(dǎo)得:例如：26勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱分布的根大小相等符號(hào)相反的實(shí)根對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根共軛虛根一、GK(s)、GB(s)、F(s)及其零、極點(diǎn)關(guān)系5.3

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1.開環(huán)傳遞函數(shù)2.閉環(huán)傳遞函數(shù)3.輔助函數(shù)G(s)Xo(s)H(s)Xi(s)_由此可見：3）系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是GB(s)的全部極點(diǎn)在s平面的左半部

F(s)的全部零點(diǎn)在s平面的左半面。1）F(s)的極點(diǎn)就是GK(s)的極點(diǎn)2）F(s)的零點(diǎn)就是GB(s)的極點(diǎn)二、幅角原理

對(duì)于s平面和F(s)平面上的點(diǎn)而言，它們之間存在映射關(guān)系，即s平面上任一點(diǎn)，一定在F(s)平面上找到與之相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；若某點(diǎn)在s平面上運(yùn)動(dòng)形成封閉曲線，則在F(s)平面上也一定有一條封閉曲線與之映射。

映射定理：設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)有p個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)被s平面內(nèi)某一封閉曲線所包圍，并且這一封閉曲線不經(jīng)過F(s)的任何極點(diǎn)或零點(diǎn)。當(dāng)復(fù)變量s順時(shí)針方向沿此封閉曲線移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面內(nèi)的映射曲線將順時(shí)針方向包圍坐標(biāo)原點(diǎn)（Z-p）圈。

若s平面上的Ls封閉曲線是一條順時(shí)針封閉曲線，且不經(jīng)過任何F(s)零點(diǎn)和極點(diǎn)，則在F(s)平面上封閉曲線LF的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)次數(shù)與F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)。其關(guān)系由幅角原理說明。

從幾何關(guān)系可知，當(dāng)s沿封閉曲線Ls順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，所有未被封閉曲線包圍的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量幅角變化都為零，只有那些被封閉曲線包圍的極點(diǎn)和零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的向量的幅角變化分別是2

和－2

。

說明：

若s平面上，Ls內(nèi)包含Z個(gè)零點(diǎn)，P個(gè)極點(diǎn)，則F(s)幅角變化

F(s)=360

P-360

Z=-360

（Z-P）

即LF順時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)為N＝Z－P。1．s平面上，Ls順時(shí)針繞零點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，F(xiàn)(s)平面上LF順時(shí)針繞原點(diǎn)一周。

FZi(s)=-3602．s平面上，Ls順時(shí)針繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，F(xiàn)(s)平面上LF逆時(shí)針繞原點(diǎn)一周。

FPi(s)=360N>0表示LF繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)的圈數(shù)；N<0表示LF繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)的圈數(shù)；N=0表示LF不包圍原點(diǎn)。幅角原理：33

Nyquist

穩(wěn)定性判據(jù)是通過圖解方法判斷系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的充分必要條件。也就是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它分為開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定和開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定兩種情況。三、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)34F(s)的極點(diǎn)就是GK(s)的極點(diǎn)F(s)的零點(diǎn)就是GB(s)的極點(diǎn)Ls曲線為s平面虛軸及右半平面半徑為∞的半圓，則Ls內(nèi)包含了F（s）在右半平面的零點(diǎn)和極點(diǎn)。Ls曲線映射到F（s）平面為F（jω）的Nyquist曲線。35[F]平面的原點(diǎn)就是[GH]平面的（－1，j0）點(diǎn)。幅角原理中的N、P、Z就具有如下含義：N—GK(jω)的Nyquist曲線繞（－1，j0）點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)的圈數(shù)；P—GK(s)右半平面極點(diǎn)數(shù)；Z—GB(s)右半平面極點(diǎn)數(shù)。N＝Z－P。若閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則Z＝0，即N＝－P。361開環(huán)穩(wěn)定P＝0系統(tǒng)在開環(huán)穩(wěn)定的條件下,閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)ω由－∞變化到＋∞時(shí)，開環(huán)G(j)H(j)

軌跡不包圍GH平面的(-1,j0)點(diǎn)。2

開環(huán)不穩(wěn)定P≠0若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，且有P個(gè)開環(huán)特征根位于右半s

平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)ω由－∞變化到＋∞時(shí)，開環(huán)G(j)H(j)

軌跡逆時(shí)針包圍GH平面(-1,j0)點(diǎn)P圈。37[例1]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其中T1=0.1s,T2=0.05s,T3=0.01s。試求K值為多大時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解：T1、

T2、

T3

均為正，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定38閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件：取39[例2]已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)K>1時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定當(dāng)K<1時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定當(dāng)K=1時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定14405.4.1

Bode圖與Nyquist圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系原點(diǎn)為圓心的單位圓

0分貝線。單位圓以外

L(ω)>0的部分；單位圓內(nèi)部

L(ω)<0的部分。負(fù)實(shí)軸

-180°線。5.4Bode穩(wěn)定判據(jù)41

幅值穿越頻率

c：Nyquist軌跡與單位圓的交點(diǎn)頻率,對(duì)數(shù)幅頻特性與0dB線的交點(diǎn)頻率.

相位穿越頻率

g：Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率,即對(duì)數(shù)相頻特性與-1800線的交點(diǎn)頻率.

GH

ImRe0(－1,j0)

c

g3

g2

g1

=0-+

→∞

20lg|GH|/dB0-180°

∠GHωg1ωcωg2ωg3425.4.2.1

Nyquist圖相位穿越

穿越：開環(huán)奈氏軌跡在(-1，j0)點(diǎn)以左穿過負(fù)實(shí)軸。正穿越：沿頻率

增加的方向,開環(huán)奈氏軌跡自上而下穿過負(fù)實(shí)軸（相位增加）；負(fù)穿越：沿頻率

增加的方向,開環(huán)奈氏軌跡自下而上穿過負(fù)實(shí)軸相位減小；半次穿越：沿頻率

增加的方向,開環(huán)奈氏軌跡自負(fù)實(shí)軸向下（向上）稱為半次正（負(fù)）穿越（G(jω)H(jω)

軌跡起始或終止于(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸）。43正半次穿越負(fù)半次穿越44奈氏判據(jù)的穿越法:當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，Nyquist軌跡在(-1,j0)點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于p/2時(shí)(p為系統(tǒng)開環(huán)右半平面極點(diǎn)數(shù))，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定45正穿越

對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線當(dāng)ω增大時(shí)從下向上穿越－180°線(相角滯后減小)；負(fù)穿越

對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線當(dāng)ω增大時(shí)，從上向下穿越－180°線(相角滯后增大)。5.4.2.2

Bode圖穿越46若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有p個(gè)位于右半s平面的特征根，則當(dāng)在L(ω)>0

的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線

(ω)與－180°線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于p/2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。

5.4.3

Bode判據(jù)G（jω）穿過負(fù)實(shí)軸（－1～-∞）段正穿越負(fù)穿越（↓）自上而下（↑）自下而上（↑）自下而上（↓）自上而下對(duì)數(shù)幅值L（ω）＞0范圍內(nèi)相頻曲線穿越－180°線47開環(huán)特征方程有兩個(gè)右根，p=2正負(fù)穿越數(shù)之差-1

閉環(huán)不穩(wěn)定。例148開環(huán)特征方程有兩個(gè)右根，p=2正負(fù)穿越數(shù)之差+1

閉環(huán)穩(wěn)定。49開環(huán)特征方程無右根，p=0正負(fù)穿越數(shù)之和0

閉環(huán)穩(wěn)定。50

特別地，當(dāng)P=0（開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)）時(shí)，奈氏判據(jù)可簡述如下：

開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的Bode判據(jù)5152535.5

系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.5.1

相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量特征方程最靠近虛軸的根和虛軸的距離

穩(wěn)定性裕量可以定量地確定系統(tǒng)離開穩(wěn)定邊界的遠(yuǎn)近，是評(píng)價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞的性能指標(biāo)，是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)之一。注意：虛軸是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定邊界54G(j)H(j)軌跡靠近(-1,j0)點(diǎn)的程度GH平面55相位裕度

:在幅值穿越頻率

c上系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定邊界所需要的附加相位滯后量5.5.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕量56幅值裕度Kg:在相位穿越頻率

g上,頻率特性幅值|G(j)H(j)|的倒數(shù)（