專題03 空間向量求角度與距離10種題型歸類 （原卷版）

專題03空間向量求角度與距離10種題型歸類一、鞏固提升練【題型一】異面直線所成的角【題型二】直線與平面所成的角【題型三】二面角的平面鉸【題型四】異面直線探索性點【題型五】線面角探索性點【題型六】二面角探索性點【題型七】空間向量求點到面的距離【題型八】翻折型：求異面直線所成的角【題型九】翻折型：求直線與平面所成的角【題型十】翻折型：二面角二、能力培優(yōu)練熱點好題歸納知識點與技巧：向量角度：角度公式：（1）、異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角）（2）、直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，）（3）、二面角（法向量的方向角，）判斷正負(fù)方法：觀察法；同進(jìn)同出互補，一進(jìn)一出相等；向量計算點到距離公式（棱錐等的高）【題型一】異面直線所成的角1.（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，P為上的點.且求：(1)λ的值；(2)異面直線PC與所成角的余弦值．2.（2023春·云南紅河·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，，△PAC是邊長為2的正三角形，，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為l.

(1)證明：直線l⊥平面PAC；(2)設(shè)點Q在直線l上，直線PQ與平面AEF所成的角為α，異面直線PQ與EF所成的角為θ，求當(dāng)AQ為何值時，3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，平行六面體的所有棱長都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小為120°，E為棱的中點．(1)證明：CD⊥AE；(2)點F在棱CC1上，平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．【題型二】直線與平面所成的角知識點與技巧：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.1.（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，分別是棱的中點.

(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.2.（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，M是棱PD上靠近點P的三等分點．

(1)證明：平面MAC；(2)畫出平面PAB與平面PCD的交線l，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若平面平面ABCD，，，，求l與平面MAC所成角的正弦值．【題型三】二面角的平面角1/（2023秋·全國·高二期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為.

(1)求證：平面；(2)若點為棱的中點，求點到平面的距離；(3)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.2.（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，四棱錐內(nèi)，平面，四邊形為正方形，，．過的直線交平面于正方形內(nèi)的點，且滿足平面平面.(1)當(dāng)時，求點的軌跡長度；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時，求二面角的余弦值.【題型四】異面直線探索性點1.（2022秋·北京昌平·高二校考階段練習(xí)）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.

(1)求證平面；(2)試在線段上確定一點，使得與所成的角是.2.（2021秋·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面，，，，，點是AB的中點．(1)求直線到平面的距離．(2)在線段AB上找一點，使得與CP所成角為60°，求的值．3.．（2022春·江蘇南通·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)線段PB上是否存在一點M（不含端點），使得異面直線DM和PE所成的角的余弦值為？若存在，指出點M的位置；若不存在，請說明理由.【題型五】線面角探索性點1.（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點.

(1)求證：平面；(2)點在線段上（異于點，），與平面所成角為，求的值.2.（2022秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，平面ABCD，，‖，‖，，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點．

(1)求證：‖平面CPM；(2)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為，求線段QN的長．3.．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，且，是棱上的一點.

(1)求證：；(2)是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【題型六】二面角探索性點1.（2022秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）三棱柱中，側(cè)面是矩形，，.

(1)求證：面面ABC；(2)若，，，在棱AC上是否存在一點P，使得二面角的大小為45°？若存在求出，不存在，請說明理由.2.（2023春·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足.若不存在，請說明理由；若存在，求出的長度.3.（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在梯形中，AB，四邊形為矩形，且平面.

(1)求證：平面平面；(2)點在線段上運動，當(dāng)點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題型七】空間向量求點到面的距離1.（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，且平面平面.

(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面夾角大??；(3)若在線段上存在點，使得平面，求點到平面的距離.2.（2023春·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.

(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.3.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，平面平面，.

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點，且點到平面的距離為，求平面與平面所成角的余弦值.【題型八】翻折型：求異面直線所成的角1.（2022秋·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）如圖1，是平行四邊形，，．如圖2，把平行四邊形沿對角線AC折起，使與成角，

(1)求的長；(2)求異面直線與所成的角的余弦值.2.（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，，，，沿對角線AC將折起，使點B在平面ACD內(nèi)的投影O恰在AC上.

(1)求證：平面BCD；(2)求異面直線BC與AD所成的角；【題型九】翻折型：直線與平面所成的角1.（2023秋·湖北宜昌·高二長陽土家族自治縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，四邊形是梯形，，，是的中點，將沿折起至，如圖2，點在線段上.

(1)若是的中點，求證：平面平面；(2)若，平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的余弦值.2.（2023秋·福建寧德·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，在等邊中，，，分別是，上的點，且，是的中點，交于點．以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置（），連接，，．

(1)證明：；(2)設(shè)點在平面內(nèi)的射影為點，若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【題型十】翻折型：二面角1.（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點在線段上，且平面，試確定點的位置；(2)若，求銳二面角的大小.2.（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分別是邊AB，AC的中點，現(xiàn)將沿著DE折起，使點A到達(dá)點P的位置，連接PB，PC，得到四棱錐P-BCED，如圖2所示，設(shè)平面平面PBC=l.(1)求證：平面PBD；(2)若點B到平面PDE的距離為，求平面PEC與平面PBD夾角的正弦值.培優(yōu)練1．（2022秋·全國·高二期中）在中，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.

(1)求與平面所成角的大小；(2)在線段上是否存在點（不與端點重合），使平面與平面垂直？若存在，求出與的比值；若不存在，請說明理由.2．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用文具盒中的兩塊直角三角板(直角三角形和直角三角形)繞著公共斜邊翻折成二面角，如圖和，，，，，將翻折到，使，為邊上的點，且.

(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的大小.3．（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，，，，，，為線段中點，線段與平面交于點.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求四棱錐的體積.4．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，為上的點，過的平面分別交于點，且∥平面．

(1)證明：；(2)當(dāng)為的中點，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，、分別為、的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為45°.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.(2)若，，，點M在直線上，求直線AB與平面所成角的正弦值的最大值.7．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）如圖，四棱臺中，上?下底面均是正方形，且側(cè)