中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 操作探究全套

【文庫獨(dú)家】操作探究一.選擇題1.（泰安一模）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF．若AB=3cm，BC=5cm，則重疊部分△DEF的面積是（）A．7.5cm2 B．5.1cm2 C．5.2cm2 D．7.2cm2【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）．【專題】計算題．【分析】根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化，得出AE=A′E，再利用勾股定理得出A′E2+A′D2=ED2，從而求出x，進(jìn)而得出DE的長，再求出△DEF的面積．【解答】解：∵按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF，∵AB=3cm，BC=5cm，∴A′D=AB=3cm，假設(shè)AE=x，則A′E=xcm，DE=5﹣x（cm），∴A′E2+A′D2=ED2，∴x2+9=（5﹣x）2，解得：x=1.6，∴DE=5﹣1.6=3.4（cm），∴△DEF的面積是：×3.4×3=5.1（cm2）．故選B二.填空題1.（·天津市和平區(qū)·一模）長為1，寬為a的矩形紙片（＜a＜1），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．（I）第二次操作時，剪下的正方形的邊長為1﹣a；（Ⅱ）當(dāng)n=3時，a的值為或．（用含a的式子表示）【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）．【分析】根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當(dāng)＜a＜1時，矩形的長為1，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1﹣a，a．由1﹣a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為1﹣a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1﹣a，a﹣（1﹣a）=2a﹣1．由于（1﹣a）﹣（2a﹣1）=2﹣3a，所以（1﹣a）與（2a﹣1）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論．又因?yàn)榭梢赃M(jìn)行三次操作，故分兩種情況：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．【解答】解：由題意，可知當(dāng)＜a＜1時，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1﹣a，所以第二次操作時正方形的邊長為1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1﹣a，2a﹣1．故答案為：1﹣a；此時，分兩種情況：①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作時正方形的邊長為2a﹣1．∵經(jīng)過第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的寬等于1﹣a，即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=；②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作時正方形的邊長為1﹣a．則1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分兩種情況：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．分別求出操作后剩下的矩形的兩邊．2.(·鄭州·二模)已知一個矩形紙片OACB，OB＝6，OA＝11，點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O折疊該紙片，得折痕OP和點(diǎn)B'，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB'上，得折痕PQ和點(diǎn)C'，當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在邊OA上時BP的長為．答案：3.(·上海浦東·模擬)則1﹡2＝44.（·江蘇省南京市鐘愛中學(xué)·九年級下學(xué)期期初考試）如圖，已知正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在⊙O上，頂點(diǎn)C、D在⊙O內(nèi)，將正方形ABCD繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在⊙O上．若正方形ABCD的邊長和⊙O的半徑均為6cm，則點(diǎn)D運(yùn)動的路徑長為cm．答案：π三.解答題1.（·河北石家莊·一模）如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q．在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．【操作2】在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3，當(dāng)時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由．【總結(jié)操作】根據(jù)你以上的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？其中m的取值范圍是什么？（直接寫出結(jié)論，不必證明）m．第1題【考點(diǎn)】相似形綜合題．【分析】（操作1）連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明△MEP∽△NWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；（總結(jié)操作）根據(jù)（2）中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果；要求m的取值范圍，根據(jù)交點(diǎn)的位置的限制進(jìn)行分析．【解答】（操作1）EP=EQ，證明：連接BE，根據(jù)E是AC的中點(diǎn)和等腰直角三角形的性質(zhì)，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ，在△BEP和△CEQ中，∴△BEP≌△CEQ（ASA），∴EP=EQ；如圖2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如圖3，過E點(diǎn)作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠MPE=180°，∴∠MPE=∠EQN，∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴=，Rt△AME∽Rt△ENC，∴=m=，∴=1：m=，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式1：m，即EQ=mEP，∴0＜m≤2+，（因?yàn)楫?dāng)m＞2+時，EF和BC變成不相交）．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，證明過程類似．2.(·鄭州·二模)（10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D為AB的中點(diǎn)，/EDF＝90°，DE交AC于點(diǎn)G，DF經(jīng)過點(diǎn)C．（1）求/ADE的度數(shù)；（2）如圖2，將圖1中的∠EDF繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<60°），旋轉(zhuǎn)過程中的任意兩個位置分別記為∠E1DF1，∠E2DF2，DE1交直線AC于點(diǎn)P，DF1交直線BC于點(diǎn)Q，DE2交直線AC于點(diǎn)M，DF2交直線BC于點(diǎn)N，求的值；（3）若圖1中∠B＝β（60°<β<90°），（2）中的其余條件不變，請直接寫出的值（用含β的式子表示）．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=DB，∴∠DCB=∠B.∵∠B=60°，∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°∴∠CDA=120°.∵∠EDC=90°，∴∠ADE=30°；（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，∴∠DMC+∠CND=180°.∵∠DMC+∠PMD=180°，∴∠CND=∠PMD.同理∠CPD=∠DQN.∴△PMD∽△QND.過點(diǎn)D分別做DG⊥AC于G，DH⊥BC于H.可知DG，DH分別為△PMD和△QND的高.∴∵DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，∴DG∥BC.又∵D為AB中點(diǎn)，∴G為AC中點(diǎn).∵∠C=90°，∴四邊形CGDH為矩形，有CG=DH=AG，Rt△AGD中，.即.（3）=tan（90°﹣β）（=.3.（·廣東東莞·聯(lián)考）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷△ADF的形狀．（只寫結(jié)果）【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；作圖—基本作圖．【專題】作圖題．【分析】（1）以D為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AD于G，交DC于H，分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫弧，兩弧交于N，作射線DN，交AM于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：（2）△ADF的形狀是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和推理能力，題目比較典型，難度也適中．4.（·廣東東莞·聯(lián)考）在由m×n（m×n＞1）個小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f，（1）當(dāng)m、n互質(zhì)（m、n除1外無其他公因數(shù)）時，觀察下列圖形并完成下表：mnm+nf123213432354257347猜想：當(dāng)m、n互質(zhì)時，在m×n的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式是f=m+n﹣1（不需要證明）；（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時，請畫圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】（1）通過觀察即可得出當(dāng)m、n互質(zhì)時，在m×n的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式，（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時，畫出圖即可驗(yàn)證猜想的關(guān)系式不成立．【解答】解：（1）表格中分別填6，6mnm+nf12321343235425763476f與m、n的關(guān)系式是：f=m+n﹣1．故答案為：f=m+n﹣1．（2）m、n不互質(zhì)時，猜想的關(guān)系式不一定成立，如下圖：．【點(diǎn)評】此題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是通過觀察表格，總結(jié)出一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式，要注意m、n互質(zhì)的條件．5.（·廣東東莞·聯(lián)考）如圖1，將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD與△ECF疊放在一起．（1）操作：如圖2，將△ECF的頂點(diǎn)F固定在△ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，△ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時FC交BA于點(diǎn)H（H點(diǎn)不與B點(diǎn)重合），F(xiàn)E交DA于點(diǎn)G（G點(diǎn)不與D點(diǎn)重合）．求證：BH?GD=BF2（2）操作：如圖3，△ECF的頂點(diǎn)F在△ABD的BD邊上滑動（F點(diǎn)不與B、D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AG∥CE，交FE于點(diǎn)G，連接DG．探究：FD+DG=DB．請予證明．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；（2）利用已知以及平行線的性質(zhì)證明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的關(guān)系．【解答】證明：（1）∵將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，∴∠B=∠D，∵將△ECF的頂點(diǎn)F固定在△ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，△ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方