2024屆廣西桂林市全州縣二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆廣西桂林市全州縣二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2．近年來(lái)隨著我國(guó)在教育科研上的投入不斷加大，科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，國(guó)內(nèi)企業(yè)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市場(chǎng)，在海外設(shè)了多個(gè)分支機(jī)構(gòu)，現(xiàn)需要國(guó)內(nèi)公司外派大量中青年員工．該企業(yè)為了解這兩個(gè)年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度，按分層抽樣的方式從中青年員工中隨機(jī)調(diào)查了位，得到數(shù)據(jù)如下表：愿意被外派不愿意被外派合計(jì)中年員工青年員工合計(jì)由并參照附表，得到的正確結(jié)論是附表：0.100.010.0012.7066.63510.828A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡無(wú)關(guān)”；C．有99%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；D．有99%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡無(wú)關(guān)”．3．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足‘’，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，如果且，則的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何實(shí)數(shù)C．恒大于0 D．恒小于05．設(shè)均大于1，且，令，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．定義運(yùn)算，，例如，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．7．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m＝()A．5 B．6 C．7 D．88．設(shè)X～N(1,σ2),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,且P(X≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()(附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A．6038 B．6587 C．7028 D．75399．一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有位數(shù)字，每位數(shù)字都可以是中的任意一個(gè).某人在銀行自動(dòng)取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，任意按最后一位數(shù)字，則不超過(guò)次就按對(duì)的概率為（）A． B． C． D．10．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，，則（）A． B． C． D．11．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．12．如圖，在空間四邊形ABCD中，設(shè)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則+（-）等于A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域?yàn)開_____.14．在的展開式中，的系數(shù)為_____.15．某單位普通職工和行政人員共280人．為了解他們?cè)凇皩W(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP平臺(tái)上的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職員中抽取容量為56的樣本．已知從普通職工中抽取的人數(shù)為49，則該單位行政人員的人數(shù)為____．16．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）某種兒童型防蚊液儲(chǔ)存在一個(gè)容器中，該容器由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成，（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲(chǔ)存在下半球及圓柱中），容器軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長(zhǎng)為毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體積和一個(gè)半球體積之和.假設(shè)的長(zhǎng)為毫米.（注：，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）（1）求容器中防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計(jì)與的長(zhǎng)度，使得最大？20．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)）.（1）寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷它們的位置關(guān)系；（2）將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，設(shè)曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在處的切線與在處的切線平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，討論的單調(diào)性；（3）在（2）的條件下，若，求證：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且．22．（10分）莫言是中國(guó)首位獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的文學(xué)家，國(guó)人歡欣鼓舞。某高校文學(xué)社從男女生中各抽取50名同學(xué)調(diào)查對(duì)莫言作品的了程度，結(jié)果如下：閱讀過(guò)莫言的作品數(shù)（篇）0～2526～5051～7576～100101～130男生36111812女生48131510

（1）試估計(jì)該學(xué)校學(xué)生閱讀莫言作品超過(guò)50篇的概率.（2）對(duì)莫言作品閱讀超過(guò)75篇的則稱為“對(duì)莫言作品非常了解”，否則為“一般了解”，根據(jù)題意完成下表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“對(duì)莫言作品的非常了解”與性別有關(guān)？非常了解一般了解合計(jì)男生女生合計(jì)注：K2＝P(K2≥k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.024

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先由題意得到，，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，熟記除法運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解題分析】

由公式計(jì)算出的值，與臨界值進(jìn)行比較，即可得到答案。【題目詳解】由題可得：故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”，有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)，所以答案選A;故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，解題的關(guān)鍵是正確計(jì)算出的值，屬于基礎(chǔ)題。3、C【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=的單調(diào)性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【題目詳解】設(shè)y=，則y′=，由y′=1，解得x=e，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，y′＞1，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＜1，函數(shù)為減函數(shù)．∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值為f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化為[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如圖畫出函數(shù)圖象：可得m的取值范圍是（1，）．故答案為：C．【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)本題的解答關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是利用導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖像，其二是化簡(jiǎn)得到f（x）=m或f（x）=．4、D【解題分析】

由且，不妨設(shè)，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)滿足，所以，所以，即.故選：D.5、D【解題分析】令則t>0,且，∵，∵，故選D．6、D【解題分析】分析：欲求函數(shù)y=1*2x的值域，先將其化成分段函數(shù)的形式，再畫出其圖象，最后結(jié)合圖象即得函數(shù)值的取值范圍即可．詳解：當(dāng)1≤2x時(shí)，即x≥0時(shí)，函數(shù)y=1*2x=1當(dāng)1＞2x時(shí)，即x＜0時(shí)，函數(shù)y=1*2x=2x∴f（x）=由圖知，函數(shù)y=1*2x的值域?yàn)椋海?，1]．故選D．點(diǎn)睛：遇到函數(shù)創(chuàng)新應(yīng)用題型時(shí)，處理的步驟一般為：①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；②再化簡(jiǎn)解析式，求函數(shù)解析式的最簡(jiǎn)形式，并分析解析式與哪個(gè)基本函數(shù)比較相似；③根據(jù)定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．7、B【解題分析】試題分析：由題意可知,,,即,,解得．故B正確．考點(diǎn)：1二項(xiàng)式系數(shù)；2組合數(shù)的運(yùn)算．8、B【解題分析】分析：求出，即可得出結(jié)論.詳解：由題意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，∴P(－1＜X＜3)＝1－0.0228×2＝0.9544，∴1－2σ＝－1，σ＝1，∴P(0≤X≤1)＝P(0≤X≤2)＝0.3413，故估計(jì)的個(gè)數(shù)為10000×(1－0.3413)＝6587，故選：B.點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性.9、B【解題分析】

利用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案.【題目詳解】設(shè)第次按對(duì)密碼為事件第一次按對(duì)第一次按錯(cuò)，第二次按對(duì)第一次按錯(cuò)，第二次按錯(cuò)，第三次按對(duì)事件，事件，事件是互斥，任意按最后一位數(shù)字，則不超過(guò)次就按對(duì)的概率由概率的加法公式得：故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】

結(jié)合特殊角的正弦值，運(yùn)用正弦定理求解.【題目詳解】由正弦定理可知：，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部.【題目詳解】，因此，復(fù)數(shù)的虛部為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，對(duì)于復(fù)數(shù)問(wèn)題，一般是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，進(jìn)而求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

由向量的線性運(yùn)算的法則計(jì)算．【題目詳解】-＝，，∴+（-）．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，掌握線性運(yùn)算的法則是解題基礎(chǔ)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)有意義，需滿足，解出x的范圍即可．【題目詳解】要使有意義，則：；

；

的定義域?yàn)椋?/p>

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，一元二次不等式的解法，屬于容易題．14、【解題分析】

本題考查二項(xiàng)式定理.二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)為.則的第項(xiàng)為，令，可得的系數(shù)為15、1【解題分析】

由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為7，再求得抽樣的比列，再用7除以此比例，即得該學(xué)校的行政人員人數(shù)．【題目詳解】由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為56﹣49＝7，抽樣的比列為，故該學(xué)校的行政人員人數(shù)是71，故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用數(shù)據(jù)計(jì)算抽樣比例是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、3【解題分析】

將A和直線化成直角坐標(biāo)系下點(diǎn)和方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【題目詳解】由已知，在直角坐標(biāo)系下，，直線方程為，所以A到直線的距離為.故答案為：3【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），，；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達(dá)式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項(xiàng)公式（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即由（1）知即證當(dāng)時(shí)命題成立；由①②可證成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列的通項(xiàng)公式.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）記t=lnx+x，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷a的范圍即可．【題目詳解】（1）定義域?yàn)椋海?dāng)時(shí)，.∴在時(shí)為減函數(shù)；在時(shí)為增函數(shù).（2）記，則在上單增，且.∴.∴在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)零點(diǎn).①在時(shí)，在上單增，且，故無(wú)零點(diǎn)；②在時(shí)，在上單增，又，，故在上只有一個(gè)零點(diǎn)；③在時(shí)，由可知在時(shí)有唯一的一個(gè)極小值.若，，無(wú)零點(diǎn)；若，，只有一個(gè)零點(diǎn)；若時(shí)，，而，由于在時(shí)為減函數(shù)，可知：時(shí)，.從而，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn).綜上討論可知：時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，即所求的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．19、（1），（2）當(dāng)為毫米，為毫米時(shí)，防蚊液的體積有最大值.【解題分析】

（1）由矩形其外周長(zhǎng)為毫米，設(shè)的長(zhǎng)為毫米，可得AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)圓柱和球的體積公式即可求得防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）對(duì)（1）求得的函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)得，據(jù)此討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可確定防毒液體積最大值．【題目詳解】解：（1）由得，由得，所以防蚊液體積，（2）求導(dǎo)得，令得；令得，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，答：當(dāng)為毫米，為毫米時(shí)，防蚊液的體積有最大值.【題目點(diǎn)撥】本題是考查關(guān)于函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一道應(yīng)用題，難度不大．20、(1)；；直線和曲線相切.(2).【解題分析】

（I）直線的一般方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)?，所以直線和曲線相切.（II）曲線為.曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線的方程為，則點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以，所以的取值范圍為.21、(1)(2)見解析（3）見解析【解題分析】分析：（1）先求一階導(dǎo)函數(shù)，，用點(diǎn)斜式寫出切線方程（2）先求一階導(dǎo)函數(shù)的根，求解或的解集，判斷單調(diào)性。（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求出極值畫出函數(shù)的示意圖，分析函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件是極小值大于零，函數(shù)在是減函數(shù)，故必然有一個(gè)零點(diǎn)。詳解：（1）因?yàn)?，所以；又。由題意得，解得