2024屆福建省福州市瑯岐中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆福建省福州市瑯岐中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意，，都有，且對于任意的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設(shè)直線的一個方向向量，平面的一個法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）.A．垂直 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．直線在平面內(nèi)或平行3．已知袋中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中紅球2個，白球3個，現(xiàn)從中任取1球，記下顏色后放回，連續(xù)摸取3次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則PA．425 B．36125 C．94．若命題是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．20 B．10 C．30 D．606．已知兩條不同直線a、b，兩個不同平面、，有如下命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則以上命題正確的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．07．若，則等于（）A．2 B．0 C．-2 D．-48．如圖，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點，點A繞著C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D，設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）．求f（x）的最大值（）．A．B．2C．3 D．9．若，則的展開式中常數(shù)項為A．8 B．16 C．24 D．6010．由命題“周長為定值的長方形中，正方形的面積取得最大”可猜想：在表面積為定值的長方體中（）A．正方體的體積取得最大B．正方體的體積取得最小C．正方體的各棱長之和取得最大D．正方體的各棱長之和取得最小11．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，則（）A． B． C．12 D．2412．設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)在導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時，，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是__________．14．在等差數(shù)列中，，，則公差__________．15．已知向量滿足，則______.16．重慶市新課程改革要求化學(xué)、生物、政治、地理這四門學(xué)科為高考選考科目.現(xiàn)在甲、乙、丙三位同學(xué)分別從這四門學(xué)科中任選兩科作為選考科目，則四門學(xué)科都有人選的概率為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值；18．（12分）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)和圓的極坐標(biāo)方程為（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點．(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長；(2)動點P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線在處切線的斜率等于，求的值；（Ⅱ）若對于任意的，，總有，求的取值范圍．22．（10分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)是棱上的一點，當(dāng)平面時，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由可判斷函數(shù)為減函數(shù)，將變形為，再將函數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問題即可【題目詳解】，又是定義在上的奇函數(shù)，為R上減函數(shù)，故可變形為，即，根據(jù)函數(shù)在R上為減函數(shù)可得，整理后得，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，為減函數(shù)在恒成立，即，當(dāng)時，有最小值所以答案選B【題目點撥】奇偶性與增減性結(jié)合考查函數(shù)性質(zhì)的題型重在根據(jù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化函數(shù)，學(xué)會去“”；本題還涉及恒成立問題，一般通過分離參數(shù)，處理函數(shù)在某一區(qū)間恒成立問題2、D【解題分析】∵直線的一個方向向量，平面的一個法向量∴∴直線在平面內(nèi)或平行故選D.3、B【解題分析】

先根據(jù)題意得出隨機變量ξ~B3,25【題目詳解】由題意知，ξ~B3,15故選：B?！绢}目點撥】本題考查二項分布概率的計算，關(guān)鍵是要弄清楚隨機變量所服從的分布，同時也要理解獨立重復(fù)試驗概率的計算公式，著重考查了推理與運算能力，屬于中等題。4、B【解題分析】因為命題是真命題，即不等式對恒成立，即恒成立，當(dāng)a＋2＝0時，不符合題意，故有，即，解得，則實數(shù)a的取值范圍是．故選：B．5、B【解題分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可得幾何體直觀圖如下圖所示：可知三棱錐高：；底面面積：三棱錐體積：本題正確選項：【題目點撥】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，從而準(zhǔn)確求解出三棱錐的高和底面面積.6、C【解題分析】

直接利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系逐一判定即可得答案．【題目詳解】①若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯誤；②若a∥α，b∥α，則a∥b，則a與b平行，相交或異面，故②錯誤；③若，a?α，則a與β沒有公共點，即a∥β，故③正確；④若α∥β，a?α，b?β，則a與b無公共點，∴平行或異面，故④錯誤．∴正確的個數(shù)為1．故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查直線與平面之間的位置關(guān)系，涉及到線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理，是基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

先求導(dǎo)，算出，然后即可求出【題目詳解】因為，所以所以，得所以，所以故選：D【題目點撥】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計算，較簡單.8、A【解題分析】試題分析：利用三角形的構(gòu)成條件，建立不等式，可求x的取值范圍；三角形的周長是一個定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值．解：（1）由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，根據(jù)三角形的構(gòu)成條件可得x+6-x＞2,2+6-x＞x,2+x＞6-x，解得2＜x＜4；三角形的周長是一個定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=當(dāng)且僅當(dāng)4-x=-2+x，即x=3時，f（x）的最大值為,故選A.考點：函數(shù)類型點評：本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，本題中求函數(shù)解析式用到了海倫公式，9、C【解題分析】因為所以的通項公式為令，即∴二項式展開式中常數(shù)項是，故選C.10、A【解題分析】

根據(jù)類比規(guī)律進行判定選擇【題目詳解】根據(jù)平面幾何與立體幾何對應(yīng)類比關(guān)系：周長類比表面積，長方形類比長方體，正方形類比正方體，面積類比體積，因此命題“周長為定值的長方形中，正方形的面積取得最大”，類比猜想得：在表面積為定值的長方體中，正方體的體積取得最大，故選A.【題目點撥】本題考查平面幾何與立體幾何對應(yīng)類比，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

由，利用等比中項的性質(zhì)，求出，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出．【題目詳解】解：數(shù)列是等比數(shù)列，各項均為正數(shù)，，所以，所以．所以，故選D．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，等比中項的性質(zhì)，正確運算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】由密度函數(shù)的性質(zhì)知對稱軸表示期望，圖象胖瘦決定方差，越瘦方差越小，越胖方差越大，所以μ1＜μ2，σ1＜σ2.故選A.考點：正態(tài)分布.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)條件得到函數(shù)的對稱性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊值法進行求解即可.詳解：由，得函數(shù)關(guān)于對稱，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則不等式等價為，即，即，得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.點睛：本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，利用特殊值法是解決本題的關(guān)鍵.14、2【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而．【題目詳解】因為，故，所以，填．【題目點撥】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.15、3【解題分析】

利用平面向量得數(shù)量積運算，則，將，帶入即可出答案【題目詳解】【題目點撥】本題考察平面向量數(shù)量積得基本運算16、【解題分析】

選科門數(shù)分三種：第一種只選二門，第二種選3門，第三種是四門都選．可以通過計算前兩種的選法或概率得出第三種的選法或概率【題目詳解】每人任選兩門有種，只有兩門學(xué)科有人選共有種，有三門學(xué)科有人選共有種，（注：減是減去只有兩門被選中的情形），所以故答案為：．【題目點撥】本題考查古典概型，考查排列組合的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是求出滿足要求的選科數(shù)方法數(shù)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)最大值為0，最小值為.【解題分析】

通過求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進而判斷函數(shù)在的最值.【題目詳解】（1）的定義域為.對求導(dǎo)得，因函數(shù)定義域有，故，由.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上的最大值為.又，，且，∴在上的最小值為，∴在上的最大值為0，最小值為.【題目點撥】此題是函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值的常見題，通常利用導(dǎo)數(shù)來處理．18、（1），；（2）相交.【解題分析】

（1）利用加減消參法得到直線l的普通方程，利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化直角坐標(biāo)公式的結(jié)論轉(zhuǎn)化圓C的方程；（2）利用圓心到直線的距離與半徑的比較判斷直線與圓的位置關(guān)系.【題目詳解】（1）消去參數(shù)，得直線的普通方程為；圓極坐標(biāo)方程化為．兩邊同乘以得，消去參數(shù)，得⊙的直角坐標(biāo)方程為：.（2）圓心到直線的距離，所以直線和⊙相交．19、（1）（2）【解題分析】

(1)分段去絕對值求解不等式即可.(2)由題意,存在實數(shù),使得不等式成立,再根據(jù)三角不等式求解即可.【題目詳解】解：（1）,于是當(dāng)時,原不等式等價于,解得；當(dāng)時,原不等式等價于,解得；當(dāng)時,原不等式等價于,無解；綜上,原不等式的解集為.（2）由題意,存在實數(shù),使得不等式成立,則只需,又,當(dāng)時取等號.所以,解得.【題目點撥】本題主要考查了絕對值不等式的求解以及絕對值三角不等式的運用,屬于中檔題.20、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解題分析】

（1）圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程代入圓C的的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，即可求解；（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點P到直線l距離的最大值，將點P坐標(biāo)設(shè)為圓方程的參數(shù)形式，利用點到直線的距離公式以及三角函數(shù)的有界性，即可求解.【題目詳解】(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2－4x＝0，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線l的參數(shù)方程代入圓C：(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以直線l被圓C截得的弦AB的長為|t1－t2|＝.(2)由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0.圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，可設(shè)圓C上的動點P(2＋2cosθ，2sinθ)，則點P到直線l的距離d＝，當(dāng)＝－1時，d取得最大值，且d的最大值為2＋.所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，即△ABP的面積的最大值為2＋.【題目點撥】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，考查直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，以及利用圓的參數(shù)方程求最值，屬于中檔題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到，解得答案.（Ⅱ）變換得到，設(shè)，則在單調(diào)遞減，恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【題目詳解】（Ⅰ）∵，∴．由，解得．（Ⅱ）∵，不妨設(shè)，，即，即設(shè)，則在單調(diào)遞減，∴在恒成立．，，∴在恒成立．令，則，令，，∴當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減，且，∴在恒成立，∴在單調(diào)遞減，且，∴．【題目點撥】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.22、（1）;（2）