2024屆上海市十一校數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆上海市十一校數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某校實行選科走班制度，張毅同學的選擇是物理、生物、政治這三科，且物理在A層班級，生物在B層班級，該校周一上午課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習，則他不同的選課方法有第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)地理B層2班化學A層3班地理A層1班化學A層4班生物A層1班化學B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．8種 B．10種 C．12種 D．14種2．已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則()A． B． C． D．3．已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm34．已知函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）5．已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是A．B．C．D．6．體育場南側(cè)有4個大門,北側(cè)有3個大門,某學生到該體育場練跑步,則他進出門的方案有()A．12種 B．7種 C．24種 D．49種7．已知，，，則它們的大小關(guān)系是A． B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．9．展開式中的所有項系數(shù)和是（）A．0 B．1 C．256 D．51210．設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．11．下列選項敘述錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題是“若，則”B．若命題，則C．若為真命題，則，均為真命題D．若命題為真命題，則的取值范圍為12．已知，、，則向量與的夾角是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列是函數(shù)的兩個極值點，則____14．在數(shù)列中,,通過計算的值,可猜想出這個數(shù)列的通項公式為15．已知球的半徑為4，球面被互相垂直的兩個平面所截，得到的兩個圓的公共弦長為，若球心到這兩個平面的距離相等，則這兩個圓的半徑之和為__________．16．命題，命題，則“或”是__________命題.(填“真”、“假”）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，直線經(jīng)過點，其傾斜角為，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系，設(shè)曲線C的極坐標方程為．（1）若直線與曲線C有公共點，求的取值范圍：（2）設(shè)為曲線C上任意一點，求的取值范圍．18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．20．（12分）為調(diào)查某小區(qū)居民的“幸福度”．現(xiàn)從所有居民中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉），若幸福度分數(shù)不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“幸?！保?）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸福”的概率；（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個小區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該小區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學期望和方差．21．（12分）在直角坐標系中，斜率為k的動直線l過點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）若直線l與曲線C有兩個交點，求這兩個交點的中點P的軌跡關(guān)于參數(shù)k的參數(shù)方程；（2）在條件（1）下，求曲線的長度.22．（10分）已知復數(shù)，為虛數(shù)單位，且復數(shù)為實數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）在復平面內(nèi)，若復數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)表格進行邏輯推理即可得到結(jié)果.【題目詳解】張毅不同的選課方法如下：（1）生物B層1班，政治1班，物理A層2班；（2）生物B層1班，政治1班，物理A層4班；（3）生物B層1班，政治2班，物理A層1班；（4）生物B層1班，政治2班，物理A層4班；（5）生物B層1班，政治3班，物理A層1班；（6）生物B層1班，政治3班，物理A層2班；（7）生物B層2班，政治1班，物理A層3班；（8）生物B層2班，政治1班，物理A層4班；（9）生物B層2班，政治3班，物理A層1班；（10）生物B層2班，政治3班，物理A層3班；共10種，故選B.【題目點撥】本題以實際生活為背景，考查了邏輯推理能力與分類討論思想，屬于中檔題.2、B【解題分析】

先計算出，由正態(tài)密度曲線的對稱性得出，于是得出可得出答案．【題目詳解】由題可知，，由于，所以，，因此，，故選B.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率，考查正態(tài)密度曲線的對稱性，解題時要注意正態(tài)密度曲線的對稱軸，利用對稱性來計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】試題分析：由三視圖可知：該幾何體是一個棱長分別為6，6，3，砍去一個三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個三棱錐（長方體的一個角）．據(jù)此即可得出體積．解：由三視圖可知：該幾何體是一個棱長分別為6，6，3，砍去一個三條側(cè)棱長分別為4，4，3的一個三棱錐（長方體的一個角）．∴該幾何體的體積V=6×6×3﹣=1．故選B．考點：由三視圖求面積、體積．4、D【解題分析】

由方程的解與函數(shù)圖象的交點關(guān)系得：方程有五個不同的實數(shù)根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導數(shù)求過某點的切線方程得：過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解．【題目詳解】設(shè)，則的圖象與的圖象關(guān)于原點對稱，方程有五個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設(shè)過原點的直線與切于點，，由，則過原點的直線與相切，，又此直線過點，所以，所以，即（e），即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選．【題目點撥】本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的關(guān)系應(yīng)用及利用導數(shù)求切線方程。5、B【解題分析】試題分析：如圖，幾何體是四棱錐，一個側(cè)面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形,且邊長為20，那么利用體積公式可知,故選B.考點：本題主要考查三視圖、椎體的體積，考查簡單幾何體的三視圖的運用．培養(yǎng)同學們的空間想象能力和基本的運算能力．點評：解決該試題的關(guān)鍵是由三視圖可知，幾何體是四棱錐，一個側(cè)面垂直底面，底面是正方形，根據(jù)數(shù)據(jù)計算其體積．6、D【解題分析】第一步，他進門，有7種選擇；第二步，他出門，有7種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得他進出門的方案有7×7＝49(種)．7、A【解題分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，而，因此，即。選A。8、C【解題分析】

對a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時分兩種情況討論，比較兩個函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當a=0時，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域為[1,+∞），函數(shù)的值域為[0,++∞），滿足題意.當a＜0時，y=的值域為（2a,+∞）,y=的值域為[a+2,-a+2],因為a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時函數(shù)g(x)的值域為（2a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當a＞0時，y=的值域為（2a,+∞）,y=的值域為[-a+2,a+2],當a≥時，-a+2≤2a,由題得.當0＜a＜時，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解題分析】

令，可求出展開式中的所有項系數(shù)和.【題目詳解】令，則，即展開式中的所有項系數(shù)和是1，故選B.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了展開式的系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性得出，再由可計算出答案．【題目詳解】由于隨機變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，因此，，故選B．【題目點撥】本題考查正態(tài)分布概率的計算，充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】分析：根據(jù)四種命題的關(guān)系進行判斷A、B，根據(jù)或命題的真值表進行判斷C，由全稱命題為真的條件求D中參數(shù)的值．詳解：命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，A正確；若命題，則，B正確；若為真命題，則，只要有一個為真，C錯誤；若命題為真命題，則，，D正確．故選C．點睛：判斷命題真假只能對每一個命題進行判斷，直到選出需要的結(jié)論為止．命題考查四種命題的關(guān)系，考查含邏輯連接詞的命題的真假以及全稱命題為真時求參數(shù)的取值范圍，掌握相應(yīng)的概念是解題基礎(chǔ)．12、D【解題分析】

設(shè)向量與的夾角為，計算出向量與的坐標，然后由計算出的值，可得出的值.【題目詳解】設(shè)向量與的夾角為，，，則，所以，，故選D.【題目點撥】本題考查空間向量的坐標運算，考查利用向量的坐標計算向量的夾角，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

求導后根據(jù)是方程的兩根，由韋達定理，列出兩根的關(guān)系式，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求.【題目詳解】因為，又是函數(shù)f(x)的兩個極值點，則是方程的根，所以，所以解得或.故答案為-2或2.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點的問題，考查了韋達定理和等比數(shù)列的性質(zhì)的運用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】試題分析：根據(jù)已知的遞推關(guān)系，可以構(gòu)造出我們熟悉的等差數(shù)列．再用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解．由于在數(shù)列中,，則可知，故可知為,故答案為考點：數(shù)列的通項公式點評：構(gòu)造數(shù)列是對已知數(shù)列的遞推關(guān)系式變形后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，創(chuàng)造一個等差或等比數(shù)列，借此求原數(shù)列的通項公式，是考查的重要內(nèi)容．15、6【解題分析】

先設(shè)兩圓的圓心為，球心為，公共弦為，中點為，由球心到這兩個平面的距離相等，可得兩圓半徑相等，然后設(shè)兩圓半徑為r,由勾股定理表示出，，再由，即可求出r，從而可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)兩圓的圓心為，球心為，公共弦為，中點為，因為球心到這兩個平面的距離相等，則為正方形，兩圓半徑相等，設(shè)兩圓半徑為，，，又，，，.這兩個圓的半徑之和為6.【題目點撥】本題主要考查球的結(jié)構(gòu)特征，由球的特征和題中條件，找出等量關(guān)系，即可求解.16、真【解題分析】分析：先判斷p,q真假，再判斷“或”真假.詳解：因為，所以p為假命題,因為，所以q為真命題,因此“或”是真命題，點睛：若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）將極坐標方程和參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用直線與圓的位置關(guān)系進行求解；（2）利用三角換元法及三角恒等變換進行求解．試題解析：（I）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程為直線l的參數(shù)方程為將代入整理得直線l與曲線C有公共點，的取值范圍是（II）曲線C的方程可化為其參數(shù)方程為為曲線上任意一點，的取值范圍是．考點：1．極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化．18、（1）2（2）2【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)絕對值定義，將函數(shù)化為分段函數(shù)形式，分別求各段最大值，最后取各段最大值的最大者為的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.試題解析：（1）由于當時，，當時，，當時，所以.（2）由已知,有，因為(當時取等號)，(當時取等號)，所以，即，故的最大值為2.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）最大值為6，,最小值為【解題分析】

（1）求出定義域和導數(shù)，由導數(shù)大于零，可得增區(qū)間，由導數(shù)小于零，可得減區(qū)間。（2）由（1）可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求出極值，與端點值進行比較，即可得到函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值?！绢}目詳解】（1）函數(shù)的定義域為，由得令得，當和時，；當時，，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由（1），列表得單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因為，，，所以在區(qū)間上的最大值為6，,最小值為．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問題，考查學生的基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題。20、（1）；（2）的分布列見解析；數(shù)學期望為；方差為【解題分析】

首先由莖葉圖統(tǒng)計出“幸?！钡娜藬?shù)和其他人數(shù)，再計算概率．由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為，知道在該小區(qū)中任選一人該人幸福度為“幸福”的概率為，再計算即可．【題目詳解】(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸?！钡娜藬?shù)有12人，其他的有4人；記“從這16人中隨機選取3人，至少有2人是“幸?！?，”為事件.由題意得(2)由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿椋目赡苋≈禐?,1,2,3,顯然則；；；；所以的分布列為0123【題目點撥】本題考查莖葉圖、樣本估計