2024屆河北省三河市第九中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆河北省三河市第九中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個隨機(jī)變量的分布列如圖，其中為的一個內(nèi)角，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．2．口袋中放有大小相等的2個紅球和1個白球，有放回地每次摸取一個球，定義數(shù)列，如果為數(shù)列前n項和，則的概率等于（）A． B．C． D．3．下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（）A． B． C． D．4．若點為圓C：的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．5．函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)6．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點的的個數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．127．從中任取個不同的數(shù)，事件“取到的個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則()A． B． C． D．8．2只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.A． B． C． D．9．方程的實根所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．10．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成（）A．假設(shè)當(dāng)時，能被整除B．假設(shè)當(dāng)時，能被整除C．假設(shè)當(dāng)時，能被整除D．假設(shè)當(dāng)時，能被整除12．已知A={|}，B={|}，則A∪B=A．{|或} B．{|} C．{|} D．{|}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下圖，則_____________．14．為了宣傳校園文化，讓更多的學(xué)生感受到校園之美，某校學(xué)生會組織了6個小隊在校園最具有代表性的3個地點進(jìn)行視頻拍攝，若每個地點至少有1支小隊拍攝，則不同的分配方法有_____種（用數(shù)字作答）15．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是____．16．已知函數(shù)若存在互不相等實數(shù)有則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）求直線與曲線交點的直角坐標(biāo).18．（12分）為了了解創(chuàng)建文明城市過程中學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況，相關(guān)部門對某中學(xué)的100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．得到如下的統(tǒng)計表：滿意不滿意合計男生50女生15合計100已知在全部100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人對創(chuàng)建工作滿意的概率為.(1)在上表中相應(yīng)的數(shù)據(jù)依次為；(2)是否有充足的證據(jù)說明學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)？19．（12分）如圖，在三棱錐中，，為的中點，平面，垂足落在線段上，為的重心，已知，，，.（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）設(shè)點在線段上，使得，試確定的值，使得二面角為直二面角.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點，點在線段上（包括兩個端點）運動．（1）當(dāng)為線段的中點時，①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.21．（12分）已知的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是．（Ⅰ）求展開式中各項二項式系數(shù)的和；（Ⅱ）求展開式中中間項．22．（10分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB，D，E分別是AB，BB1的中點，且AC＝BC＝AA1＝1．（1）求直線BC1與A1D所成角的大??；（1）求直線A1E與平面A1CD所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用二倍角的余弦公式以及概率之和為1，可得，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算公式可得結(jié)果.【題目詳解】由，得，所以或(舍去)則，故選：D【題目點撥】本題考查給出分布列，數(shù)學(xué)期望的計算，掌握公式，細(xì)心計算，可得結(jié)果.2、B【解題分析】分析：由題意可得模球的次數(shù)為7次，只有兩次摸到紅球，由于每次摸球的結(jié)果數(shù)之間沒有影響，利用獨立性事件的概率乘法公式求解即可．詳解：由題意說明摸球七次，只有兩次摸到紅球，因為每次摸球的結(jié)果數(shù)之間沒有影響，摸到紅球的概率是，摸到白球的概率是所以只有兩次摸到紅球的概率是，故選B．點睛：本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，其中解答中通過確定摸球次數(shù)，且只有兩次摸到紅球是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．3、A【解題分析】

先分析的奇偶性以及在的單調(diào)性，然后再對每個選項進(jìn)行分析.【題目詳解】函數(shù)為偶函數(shù),且在上為增函數(shù)，對于選項,函數(shù)為偶函數(shù)，在上為増函數(shù)，符合要求；對于選項,函數(shù)是偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對于選項,函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對于選項,函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合要求；只有選項符合要求，故選.【題目點撥】奇偶函數(shù)的判斷：（滿足定義域關(guān)于原點對稱的情況下）若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù).4、A【解題分析】

根據(jù)題意，先求出直線PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點斜式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意知，圓心的坐標(biāo)為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A【題目點撥】本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點斜式方程即可，屬于常考題型.5、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)零點的判定定理進(jìn)行判斷即可【題目詳解】是連續(xù)的減函數(shù)，又可得f（2）f（3）＜0，∴函數(shù)f（x）的其中一個零點所在的區(qū)間是(2,3)故選C【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點的判定定理，若函數(shù)單調(diào)，只需端點的函數(shù)值異號即可判斷零點所在區(qū)間，是一道基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

由，得出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，觀察圖像即可．【題目詳解】由于，所以，函數(shù)的周期為，且函數(shù)為偶函數(shù)，由，得出，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，，當(dāng)時，，則函數(shù)與函數(shù)在上沒有交點，結(jié)合圖像可知，函數(shù)與函數(shù)圖象共有11個交點，故選C.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)，有兩種做法：一是代數(shù)法，解代數(shù)方程；二是圖象法，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的公共點個數(shù)，在畫函數(shù)的圖象是，要注意函數(shù)的各種性質(zhì)，如周期性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)的體現(xiàn)，屬于中等題．7、B【解題分析】

先求得和的值，然后利用條件概率計算公式，計算出所求的概率.【題目詳解】依題意,,故.故選B.【題目點撥】本小題主要考查條件概型的計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】分析：利用乘法分步計數(shù)原理解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數(shù)目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計數(shù)原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點睛：(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．9、B【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，考查該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理得出答案．【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，由零點存在定理可知，方程的實根所在區(qū)間為，故選B.【題目點撥】本題考查零點所在區(qū)間，考查零點存在定理的應(yīng)用，注意零點存在定理所適用的情形，必要時結(jié)合單調(diào)性來考查，這是解函數(shù)零點問題的常用方法，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】

先化簡集合A,B,再判斷每一個選項得解.【題目詳解】∵，，由此可知，，，，故選：A．【題目點撥】本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】注意n為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意n為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵．12、D【解題分析】

根據(jù)二次不等式的解法得到B={|}=，再根據(jù)集合的并集運算得到結(jié)果.【題目詳解】B={|}=,A={|},則A∪B={|}.故答案為:D.【題目點撥】高考對集合知識的考查要求較低，均是以小題的形式進(jìn)行考查，一般難度不大，要求考生熟練掌握與集合有關(guān)的基礎(chǔ)知識．縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下兩個方面：一是考查具體集合的關(guān)系判斷和集合的運算．解決這類問題的關(guān)鍵在于正確理解集合中元素所具有屬性的含義，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的關(guān)系判斷以及運算．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用概率之和為求得的值.解，求得的值，將對應(yīng)的概率相加求得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)，解得.解得或，故所求概率為.【題目點撥】本小題主要考查分布列的概率計算，考查含有絕對值的方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.14、540【解題分析】

首先將6個小隊分成三組，有三種組合，然后再分配，即可求出結(jié)果．【題目詳解】（1）若按照進(jìn)行分配有種方案；（2）若按照進(jìn)行分配有種方案；（3）若按照進(jìn)行分配有種方案；由分類加法原理，所以共有種分配方案．【題目點撥】本題主要考查分類加法計數(shù)原理，以及排列組合的相關(guān)知識應(yīng)用．易錯點是平均分配有重復(fù)，注意消除重復(fù)．15、【解題分析】

根據(jù)題意，可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝+1有三個不同的交點，畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象求出實數(shù)的取值范圍即可．【題目詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝+1有三個不同的交點，當(dāng)x≤1時，函數(shù)f（x）max＝f（﹣）＝，如圖所示：則0＜+1＜，所以實數(shù)a的取值范圍是﹣2＜＜．故答案為（﹣2，）．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．16、【解題分析】

不妨設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)對稱性求得的值.根據(jù)絕對值的定義求得的關(guān)系式，將轉(zhuǎn)化為來表示，根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍.【題目詳解】不妨設(shè)，畫出函數(shù)的圖像如下圖所示.二次函數(shù)的對稱軸為，所以.不妨設(shè)，則由得，得，結(jié)合圖像可知，解得，所以，由于在上為減函數(shù)，故.【題目點撥】本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查二次函數(shù)的圖像，考查含有絕對值函數(shù)的圖像，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）.【解題分析】

（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為兩邊同乘，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得直角坐標(biāo)方程．（II）將代入中，得的二次方程，解得則可求解【題目詳解】（I）將兩邊同乘得，，曲線的直角坐標(biāo)方程為：.（II）將代入中，得，解得，直線與曲線交點的直角坐標(biāo)為.【題目點撥】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直線與拋物線相交問題，考查的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、(1)5,30,80,20,55,45；(2)有.【解題分析】分析：（1）根據(jù)列聯(lián)表得關(guān)系確定數(shù)值，（2）根據(jù)公式求K2，再與參考數(shù)據(jù)比較得可靠性.詳解：(1)填表如下：滿意不滿意合計男生50555女生301545合計80201005,30,80,20,55,45(2)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得K2的觀測值k＝≈9.091>7.879，所以有在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)．點睛：本題考查卡方公式，考查基本求解能力.19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）方法一：由重心的性質(zhì)得出，再由，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；方法二：以為原點，以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用重心的坐標(biāo)公式計算出點的坐標(biāo)，可計算出，可證明出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）計算出和，利用向量的坐標(biāo)運算計算出，即可得出異面直線與所成角的余弦值；（3）由，得出，可求出的坐標(biāo)，然后可計算出平面（即平面）的一個法向量和平面的一個法向量，由題意得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求出實數(shù)的值.【題目詳解】（1）方法一：如圖，連接，因為是的重心，是的中點，即，，，，所以，，又因為平面，平面，平面；方法二：以為原點，以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，是的重心，則點的坐標(biāo)為，，，即，又因為平面，平面，平面；（2），，，所以異面直線與所成角的余弦值；（3），，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由，得，即，令，可得，，所以，平面的一個法向量為，由，得，得，取，則，，所以，平面的一個法向量為，由于二面角為直二面角，所以，，則，解得，合乎題意.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的判定、異面直線所成角的計算以及空間的動點問題，一般是通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.20、（1）①見解析；②；（2）.【解題分析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直和計算二面角．（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標(biāo)法求得設(shè)設(shè)由導(dǎo)數(shù)法求得范圍．【題目詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.因為分別是棱的中點，所以（1）當(dāng)為線段的中點時，則①因為所以即②因為設(shè)平面的一個法向量為由可得，取，則所以又因為是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，則.因為為銳角，所以所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為（2）因為在線段上，所以設(shè)（），解得，所以.因為設(shè)平面的一個法向量為由可得，取則所以設(shè)直