湖北省襄陽市普通高中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

湖北省襄陽市普通高中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將2名教師和6名學(xué)生平均分成2組，各組由1名教師和3名學(xué)生組成，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，則不同的安排方案有（）A．40種 B．60種 C．80種 D．120種2．已知隨機(jī)變量，，若，，則（）A．0.1 B．0.2 C．0.32 D．0.363．某市某校在秋季運動會中，安排了籃球投籃比賽.現(xiàn)有20名同學(xué)參加籃球投籃比賽，已知每名同學(xué)投進(jìn)的概率均為0.4，每名同學(xué)有2次投籃機(jī)會，且各同學(xué)投籃之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：投進(jìn)兩個得4分，投進(jìn)一個得2分，一個未進(jìn)得0分，則其中一名同學(xué)得2分的概率為（）A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.324．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．5．為了解某校一次期中考試數(shù)學(xué)成績情況，抽取100位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，得如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是，則估計該次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)是（）A．71.5 B．71.8 C．72 D．756．若是虛數(shù)單位，，則實數(shù)（）A． B． C．2 D．37．為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，則函數(shù)有唯一零點的充要條件是（）A．或或 B．或C．或 D．或8．二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).則由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四維測度（）A． B． C． D．9．使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C．或 D．10．定義在上的函數(shù)，若對于任意都有且則不等式的解集是（）A． B． C． D．11．已知展開式中常數(shù)項為1120，實數(shù)是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是A． B． C． D．12．從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機(jī)中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺,則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的最小值是__________.14．在中，，，，點在線段上，若，則________.15．在正方體中，為的中點，為底面的中心，為棱上任意一點，則直線與直線所成的角是____________.16．若z是關(guān)于x的方程的一個虛數(shù)根，則的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)上叫外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分，為了解網(wǎng)絡(luò)外賣在A市的普及情況，A市某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了關(guān)于網(wǎng)絡(luò)外賣的問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)民中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到如表：（單位：人）經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)外賣合計男性5050100女性6040100合計11090200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為A市使用網(wǎng)絡(luò)外賣的情況與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，從A市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取10人贈送禮品，記其中經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：K2=n參考數(shù)據(jù)：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以軸正半軸為極軸，以坐標(biāo)原點為極點建立極坐標(biāo)系，點的極坐標(biāo)為，過點的直線與曲線相交于，兩點.（1）若直線的斜率，求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）求的值.19．（12分）按照國家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．某企業(yè)有甲乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品，為了檢測這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本對規(guī)定的質(zhì)量指標(biāo)值進(jìn)行檢測．表1是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖．表1：甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表（1）將頻率視為概率，若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品，則其中合格品約有多少件？（2）填寫下面2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)：20．（12分）某投資公司對以下兩個項目進(jìn)行前期市場調(diào)研:項目:通信設(shè)備.根據(jù)調(diào)研,投資到該項目上，所有可能結(jié)果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為；項目:新能源汽車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項目上，所有可能結(jié)果為:獲利、虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為.經(jīng)測算，當(dāng)投入兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即數(shù)學(xué)期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬元全部投到其中的一個項目，請你從投資回報穩(wěn)定性考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.21．（12分）某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品作為樣本來檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值，若產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖．表甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2103638122（1）將頻率視為概率．若乙套設(shè)備生產(chǎn)了10000件產(chǎn)品，則其中的合格品約有多少件？（2）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計合格品不合格品合計附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）在二項式的展開式中，二項式系數(shù)之和為256，求展開式中所有有理項.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)甲、乙兩地先安排老師，可知，然后安排學(xué)生，可得結(jié)果.【題目詳解】第一步，為甲、乙兩地排教師，有種排法；第二步，為甲、乙兩地排學(xué)生，有種排法，故不同的安排方案共有種，故選：A【題目點撥】本題考查排列分組的問題，一般來講先分組后排列，審清題意細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

由求出，進(jìn)而，由此求出.【題目詳解】解：因為，，，所以，解得或（舍），由，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查二項分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

事件“第一次投進(jìn)球”和“第二次投進(jìn)球”是相互獨立的，利用對立事件和相互獨立事件可求“其中一名同學(xué)得2分”的概率.【題目詳解】設(shè)“第一次投進(jìn)球”為事件，“第二次投進(jìn)球”為事件，則得2分的概率為.故選B.【題目點撥】本題考查對立事件、相互獨立事件，注意互斥事件、對立事件和獨立事件三者之間的區(qū)別，互斥事件指不同時發(fā)生的事件，對立事件指不同時發(fā)生的事件且必有一個發(fā)生的兩個事件，而獨立事件指一個事件的發(fā)生與否與另一個事件沒有關(guān)系.4、D【解題分析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.5、C【解題分析】的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：.所以，得：.的頻率和為：.由，得中位數(shù)為：.故選C.點睛：用頻率分布直方圖估計總體特征數(shù)字的方法：①眾數(shù)：最高小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)；②中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)；③平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.6、B【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的模長公式得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，即得解.【題目詳解】由于由復(fù)數(shù)相等的定義，故選：B【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的模長和復(fù)數(shù)相等的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

作出函數(shù)的圖像如圖所示，其中，則，設(shè)直線與曲線相切，則，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，分析可知，當(dāng)時，函數(shù)有極大值也是最大值，，所以當(dāng)時，有唯一解，此時直線與曲線相切．分析圖形可知，當(dāng)或或時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像只有一個交點，即函數(shù)有唯一零點．故選.【題目點撥】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的處理方法，考查利用導(dǎo)數(shù)求相切時斜率的方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.首先畫出函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的圖象注意分界點的位置是實心的函數(shù)空心的.然后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點來解決.8、A【解題分析】

因為，，由此類比可得，，從而可得到結(jié)果.【題目詳解】因為二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).所以由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四為測度W，應(yīng)滿足，又因為，所以，故選A.【題目點撥】本題主要考查類比推理以及導(dǎo)數(shù)的計算.9、A【解題分析】

首先解出不等式，因為是不等式成立的一個充分不必要條件，所以滿足是不等式的真子集即可．【題目詳解】因為，所以或，需要是不等式成立的一個充分不必要條件，則需要滿足是的真子集的只有A,所以選擇A【題目點撥】本題主要考查了解不等式以及命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

令,求導(dǎo)后根據(jù)題意知道在上單調(diào)遞增，再求出，即可找到不等式的解集?！绢}目詳解】令則所以在上單調(diào)遞增，又所以的解集故選D【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，屬于中檔題。11、C【解題分析】分析：由展開式通項公式根據(jù)常數(shù)項求得，再令可得各項系數(shù)和．詳解：展開式通項為，令，則，∴，，所以展開式中各項系數(shù)和為或．故選C．點睛：賦值法在求二項展開式中系數(shù)和方面有重要的作用，設(shè)展開式為，如求所有項的系數(shù)和可令變量，即系數(shù)為，而奇數(shù)項的系數(shù)和為，偶數(shù)項系數(shù)為，還可以通過賦值法證明一些組合恒等式．12、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺，有兩種方法，一是2臺和1臺；二是1臺和2臺，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個計數(shù)原理的應(yīng)用，從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺，快譯通2臺和錄音機(jī)1臺，取法有種；快譯通1臺和錄音機(jī)2臺，取法有種，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種.故選：C.點睛：本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類和分步的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個中檔題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意可得：在區(qū)間上有解，即：在區(qū)間上有解，整理可得：在區(qū)間上有解，令，則，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，即的最小值是.14、【解題分析】

根據(jù)題意，由于題目中給出了較多的邊和角，根據(jù)題目列出對應(yīng)的正余弦定理的關(guān)系式，能較快解出BD的長度.【題目詳解】根據(jù)題意，以點A為原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。過點B作垂直AC交AC于點E，則,又因為在中，,所以,,故.【題目點撥】本題主要考查學(xué)生對于正余弦定理的掌握，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系下的問題是解決本題的關(guān)鍵.15、90°【解題分析】

直線在平面內(nèi)的射影與垂直．【題目詳解】如圖，分別是的中點，連接，易知在上，，又在正方形中，是的中點，∴（可通過證得），又正方體中，而，∴，，∴，∴直線與直線所成的角是90°．故答案為90°．【題目點撥】本題考查兩異面直線所成的角，由于它們所成的角為90°，因此可通過證明它們相互垂直得到，這又可通過證明線面垂直得出結(jié)論，當(dāng)然也可用三垂線定理證得．16、【解題分析】

由判別式小于0求得m的范圍，設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得a值及b與m的關(guān)系，進(jìn)一步求|z+1|，則答案可求．【題目詳解】解：由△＝4﹣4（m2﹣8）＜0，解得m2＞1．設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則2a＝2，a＝1，a2+b2＝m2﹣8，即b2＝m2﹣1．∴|z+1|＝|（a+1）+bi|＝|2+bi|∈（2，+∞）．故答案為：（2，+∞）．【題目點撥】本題考查實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）不能；（2）112【解題分析】

（1）把表格中的數(shù)據(jù)依次代入公式，算出K2與2.072（2）X服從二項分布X～【題目詳解】（1）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得K2故不能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為A市使用網(wǎng)絡(luò)外賣情況與性別有關(guān)．（2）由2×2列聯(lián)表，可知抽到經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的網(wǎng)民的頻率為110200將頻率視為概率，即從A市市民中任意抽取1人，恰好抽到經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的市民的概率為1120由題意得X～故隨機(jī)變量X的期望E(X)=10×11∴方差為D(X)=10×11【題目點撥】由于A市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中總體是未知的，所以無法用超幾何分布模型求解.18、（1）,；（2）7.【解題分析】

（1）先求出直線的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)換為直線的極坐標(biāo)方程即可（2）利用直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義求解【題目詳解】（1）將點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為，因為直線的斜率，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，由可知直線的極坐標(biāo)方程為.因為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角），代入，整理得，設(shè)點，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，.【題目點撥】本題考查坐標(biāo)系中點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換、直線直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化及利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求值19、（1）800件；（2）見解析；【解題分析】

（1）結(jié)合頻數(shù)分布表，求出滿足條件的概率,再乘以5000即可；（2）求出2×2列聯(lián)表，計算K2值，判斷即可【題目詳解】（1）由圖知，乙套設(shè)備生產(chǎn)的不合格品率約為；∴乙套設(shè)備生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中不合格品約為（件）；（2）由表1和圖得到列聯(lián)表：甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計合格品484290不合格品2810合計5050100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得；∴有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；【題目點撥】本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．20、(1)，，；(2)從風(fēng)險控制角度，建議該投資公司選擇項目.【解題分析】

（1）根據(jù)概率和為1列方程求得的值，再利用分布列和數(shù)學(xué)期望列方程組求得、的值；（2）計算均值與方差，比較即可得出結(jié)論．【題目詳解】（1）依題意，，，設(shè)投入到項目的資金都為萬元，變量和分別表示投資項目和所獲得的利潤，則和的分布列分別為由分布列得，，因為所以，即，又，解得，；，，（2）當(dāng)投入萬元資金時，由（1）知，所以，，，因為，說明雖然項目和項目的平均收益相等，但項目更穩(wěn)妥，所以，從風(fēng)險控制角度，建議該投資公司選擇項目.【題目點撥】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望和方差的計算問題，是中檔題．21、（1）8600件；（2）列