2024屆福建省三明市尤溪縣普通高中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆福建省三明市尤溪縣普通高中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．口袋中裝有5個(gè)形狀和大小完全相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任意取出3個(gè)小球，以表示取出球的最大號碼，則()A． B． C． D．2．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）．A． B． C． D．3．已知i是虛數(shù)單位，若z=1+i1-2i，則z的共軛復(fù)數(shù)A．-13-i B．-14．展開式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．60 C．120 D．2405．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．6．若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．10張獎(jiǎng)券中有3張是有獎(jiǎng)的，某人從中依次抽取兩張.則在第一次抽到中獎(jiǎng)券的條件下，第二次也抽到中獎(jiǎng)券的概率是()A． B． C． D．8．的展開式中的系數(shù)是（）A．58 B．62 C．52 D．429．已知雙曲線的一條漸近線與軸所形成的銳角為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．或210．設(shè)，則=A．2 B． C． D．111．設(shè)，則“”是“直線與平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．芻薨（），中國古代算術(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載“芻薨者，下有褒有廣，而上有褒無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻薨字面意思為茅草屋頂”，如圖，為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則搭建它（無底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為（）A．24 B． C．64 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若交大附中共有名教職工，那么其中至少有兩人生日在同一天的概率為__________．14．以下個(gè)命題中，所有正確命題的序號是______.①已知復(fù)數(shù)，則；②若，則③一支運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員人，女運(yùn)動(dòng)員人，用分層抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為的樣本，則樣本中男運(yùn)動(dòng)員有人；④若離散型隨機(jī)變量的方差為，則.15．如圖，棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為__________.16．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1），則該“陽馬”外接球表面積為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點(diǎn).(1)求證：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.18．（12分）已知二項(xiàng)式．（1）若展開式中第二項(xiàng)系數(shù)與第四項(xiàng)系數(shù)之比為1:8，求二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和．（2）若展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．19．（12分）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明.22．（10分）已知函數(shù)，為常數(shù)（Ⅰ）若時(shí)，已知在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，已知，恒成立，求的取值范圍。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

首先計(jì)算各個(gè)情況概率,利用數(shù)學(xué)期望公式得到答案.【題目詳解】故.故本題正確答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、A【解題分析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為。所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．選．3、C【解題分析】

通過分子分母乘以分母共軛復(fù)數(shù)即可化簡，從而得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意z=1+i1+2i【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較小.4、B【解題分析】

∵展開式的通項(xiàng)為，令6-r=2得r=4，∴展開式中x2項(xiàng)為，所以其系數(shù)為60,故選B5、A【解題分析】

由正視圖和側(cè)視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，再利用棱錐的體積公式求解即可.【題目詳解】由三棱錐的正視圖和側(cè)視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，所以該三棱錐的體積.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三視圖和棱錐的體積公式，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

先設(shè)，，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，再求函數(shù)的單調(diào)性判斷即可得解.【題目詳解】解：由得，設(shè)，，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，∴，又，，又函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，屬基礎(chǔ)題。7、B【解題分析】

根據(jù)第一次抽完的情況下重新計(jì)算總共樣本數(shù)和滿足條件樣本數(shù)，再由古典概型求得概率?！绢}目詳解】在第一次抽中獎(jiǎng)后，剩下9張獎(jiǎng)券，且只有2張是有獎(jiǎng)的，所以根據(jù)古典概型可知，第二次中獎(jiǎng)的概率為。選B.【題目點(diǎn)撥】事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率”，記為；條件概率常有兩種處理方法：（1）條件概率公式：。（2）縮小樣本空間，即在事件A發(fā)生后的己知事實(shí)情況下，用新的樣本空間的樣本總數(shù)和滿足特征的樣本總數(shù)來計(jì)算事件B發(fā)生的概率。8、D【解題分析】

由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，賦值即可求出．【題目詳解】的展開式中的系數(shù)是.選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的展開式以及賦值法求展開式特定項(xiàng)的系數(shù)．9、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化條件得，再利用即可得解.【題目詳解】由題意可知雙曲線的漸近線為，又漸近線與軸所形成的銳角為，，雙曲線離心率.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算（分母實(shí)數(shù)化），求得，再求．【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的計(jì)算．本題也可以運(yùn)用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)直接求解．11、C【解題分析】

先由直線與平行，求出的范圍，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，又當(dāng)時(shí)，與重合，不滿足題意，舍去；所以；由時(shí)，與分別為，，顯然平行；因此“”是“直線與平行”的充要條件；故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由直線平行求參數(shù)，以及充分條件與必要條件的判定，熟記概念即可，屬于?？碱}型.12、B【解題分析】茅草面積即為幾何體的側(cè)面積，由題意可知該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底長為4，下底長為8，高為；等腰三角形的底邊長為4，高為．故側(cè)面積為．即需要的茅草面積至少為．選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】分析：根據(jù)每年有天，可判斷名教職工，中至少有兩人生日在同一天為必然事件,從而可得結(jié)果.詳解：假設(shè)每一天只有一個(gè)人生日，則還有人，所以至少兩個(gè)人同日生為必然事件，所以至少有兩人生日在同一天的概率為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查必然事件的定義以及必然事件的概率，屬于簡單題.14、①③④【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算可知，①正確；代入，，所得式子作差即可知②正確；利用分層抽樣原則計(jì)算可知③正確；根據(jù)方差的性質(zhì)可知④正確.【題目詳解】①，則，①正確；②令，則；令，則，②錯(cuò)誤；③抽樣比為：，則男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽?。喝?，③正確；④由方差的性質(zhì)可知：，④正確.本題正確結(jié)果：①③④【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假性的判斷，涉及到復(fù)數(shù)模長運(yùn)算、二項(xiàng)式系數(shù)和、分層抽樣、方差的性質(zhì)等知識，屬于中檔題.15、【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，由，求得，得到，進(jìn)而求得三角形的面積的最小值，得到答案.【題目詳解】以D點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以DC所在直線為y軸，以DA所在直線為x軸，以為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?所以，所以，因?yàn)锽(2，2，0)，所以，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.因?yàn)锽C⊥BP,所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用，其中解答建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得的最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.16、【解題分析】

由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,.求出PC長度,可得四棱錐外接球的半徑,代入球的表面積公式即可求得.【題目詳解】由三視圖還原幾何體如圖,該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,,該幾何體外接球的半徑為.該“陽馬”外接球表面積為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖還原幾何體,考查幾何體外接球的表面積,難度較易.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．（2）推導(dǎo)出，由，得，再推導(dǎo)出，，從而平面，，，，進(jìn)而平面，連結(jié)，，則就是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的余弦值．【題目詳解】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，是的中點(diǎn)，，且，，，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面．（2）解：，是等腰三角形，，又，，平面，平面，，又，平面，平面，，，又，平面，連結(jié)，，則就是直線與平面所成角，設(shè)，在中，解得，，，在中，解得，在中，，直線與平面所成角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18、（1）-1（2）180【解題分析】

(1)先求出的值，再求二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和；(2)根據(jù)已知求出的值，再求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【題目詳解】(1)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，所以第二項(xiàng)系數(shù)為，第四項(xiàng)系數(shù)為，所以，所以.所以二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和.(2)因?yàn)檎归_式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式有11項(xiàng)，所以令.所以常數(shù)項(xiàng)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式展開式的系數(shù)問題，考查指定項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）；（2）【解題分析】

分析：（1）根據(jù)，列出關(guān)于首項(xiàng)，公比的方程組，解得、的值，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式，利用錯(cuò)位相減法求解即可.詳解：設(shè)數(shù)列的公比為.由=得，所以.由條件可知，故.由得，所以.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解,在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.20、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解題分析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得，又，所以，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得極值；（2）由，得．因此分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．試題解析：（1）∵，∴，因?yàn)?，所以，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：100遞增極大值遞減極小值遞增由表可得當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為.（2）由（1）得．∵，∴.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減又因?yàn)樗栽冢?,1）和（1,2）上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以上有兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，又因?yàn)樗栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，所以在上有且只有只有一個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的方法研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．21、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設(shè)g（x）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)易得，即得證.試題解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+），.若a≥0，則當(dāng)x∈（0，+）時(shí)，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)x∈時(shí)，；當(dāng)x∈時(shí)，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價(jià)于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，；當(dāng)x∈（1，+）時(shí)，.所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時(shí)，，即.【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性