2024屆北京市通州區(qū)高三上學(xué)期期末摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆北京市通州區(qū)高三上學(xué)期期末摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用集合的并運(yùn)算求集合.【詳解】由題得，所以.故選：D2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合模長公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意得，所以，故選：B.3．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而確定的值，求得，即得答案.【詳解】由題意可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為2c，則由雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，可知，由，知，故，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A4．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性定義對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】對于A，的定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，故是非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，的定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，的圖象如下圖，故D錯(cuò).故選：C.5．如圖，已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，其邊長為4，在該容器內(nèi)放置一個(gè)圓柱，使得圓柱上底面的所在平面與圓錐底面的所在平面重合.若圓柱的高是圓錐的高的，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，作出軸截面圖，求出正三角形的高，再結(jié)合題意得圓柱的底面半徑和高，進(jìn)而計(jì)算體積即可.【詳解】根據(jù)題意，軸截面如圖：在等邊三角形中，高，因?yàn)閳A柱的高是圓錐的高的，所以圓柱的高,又且，所以是的中點(diǎn)，即，于是該圓柱的底面半徑為1，高為，則體積為.故選：C.6．已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出時(shí)的范圍，然后根據(jù)充分條件及必要條件的概念即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在中，對稱軸，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，∴“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)都與原點(diǎn)重合，始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn).若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意并根據(jù)可得，由三角函數(shù)定義知，然后應(yīng)用差角余弦公式計(jì)算求值即可.【詳解】由題意，設(shè)，由已知A的坐標(biāo)并結(jié)合三角函數(shù)的定義得，則.故選：C8．現(xiàn)有12個(gè)圓，圓心在同一條直線上，從第2個(gè)圓開始，每個(gè)圓都與前一個(gè)圓外切，從左到右它們的半徑的長依次構(gòu)成首項(xiàng)為16，公比為的等比數(shù)列，前3個(gè)圓如圖所示.若點(diǎn)分別為第3個(gè)圓和第10個(gè)圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，的最大值為這8個(gè)圓的直徑之和，然后利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果【詳解】由題意可知，這12個(gè)圓的半徑的長依次構(gòu)成首項(xiàng)為16，公比為的等比數(shù)列，所以，的最大值為這8個(gè)圓的直徑之和，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，的最大值為.故選：B.9．在菱形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)（不與，重合），與交于，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖可求得，根據(jù)向量積即可知.【詳解】如圖所示：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)最長，易知，且相似比為，，在中，由余弦定理得：，所以，此時(shí)滿足，所以，所以，此時(shí)，由圖可知，，則.故選：B.10．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足.若對任意的，總有不等式成立，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【分析】由分段函數(shù)的定義域?qū)M(jìn)行分類討論可得的范圍，即可得的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，由隨增大而增大，且，故，當(dāng)時(shí)，有，即，即，整理得，即，故，又，故，綜上所述，，則，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)等號成立，故的最大值為.故選：D.二、填空題11．已知函數(shù)，則.【答案】/【分析】利用函數(shù)表達(dá)式即可求出的值.【詳解】由題意，在中，，故答案為：.12．在的展開式中，的系數(shù)為.【答案】【分析】由展開式的通項(xiàng)求解即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以x的系數(shù)為，故答案為：-56.13．在中，角所對的邊分別為，且，則；若的面積，則.【答案】/【分析】由正弦定理化簡已知式可得，即可求出；再由三角形的面積公式和余弦定理可求出.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以由可得：，則，所以；，解得：，因?yàn)?，所以由余弦定理可得：，則.故答案為：；.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)且在第一象限，以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn).若，則圓的方程為；若，則.【答案】【分析】先根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線方程求出其橫坐標(biāo)，再求得圓心和半徑即得圓的方程；根據(jù)可判斷得到正三角形，利用其高長與邊長的關(guān)系列方程解得.【詳解】如圖，當(dāng)時(shí)，把代入中，解得：，因點(diǎn)在第一象限,故得，依題意，圓心為，圓的半徑為,故圓的方程為：.當(dāng)時(shí)，依題，，即為正三角形，因，則，由解得：或.因當(dāng)時(shí)，,此時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與準(zhǔn)線不相交，不合題意舍去，而顯然滿足題意.故.故答案為：；.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且滿足是和的等比中項(xiàng).給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列的通項(xiàng)公式為；②數(shù)列前21項(xiàng)的和為；③數(shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則新數(shù)列的前100項(xiàng)和為236；④設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為2178.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】①④【分析】利用求出可判斷①；設(shè)數(shù)列的構(gòu)成為，根據(jù)是和的等比中項(xiàng)求出可得，再利用裂項(xiàng)相消求和可判斷②；求出構(gòu)成的新數(shù)列，再求和可判斷③；求出數(shù)列的前100項(xiàng)再求的前100項(xiàng)和可判斷④.【詳解】時(shí)，，得，時(shí)，，可得，所以是以首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以，故①正確；設(shè)數(shù)列的構(gòu)成為，，因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，可得，解得，所以，，所以數(shù)列前21項(xiàng)的和，故②錯(cuò)誤；數(shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則時(shí)，即在與之間插入個(gè)2，為，時(shí)，即在與之間插入個(gè)2，為，時(shí)，即在與之間插入個(gè)2，為，時(shí)，即在與之間插入個(gè)2，為，時(shí)，即在與之間插入個(gè)2，為，時(shí)，即在與之間插入個(gè)2，為，所以新數(shù)列的前100項(xiàng)和為，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?，即?shù)列的前100項(xiàng)為，所以的前100項(xiàng)和，故④正確.故選：①④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：③④解題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出構(gòu)成的新數(shù)列，再求和可判斷.三、解答題16．已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，且，求的值.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）由二倍角公式以及兩角和與差化簡可得，再求最小正周期和單調(diào)區(qū)間即可；（2）由得，則的值可求.【詳解】（1）因?yàn)椋?所以的最小正周期.令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以.所以.所以的值為.17．如圖，在多面體中，為等邊三角形，，.點(diǎn)為的中點(diǎn)，再從下面給出的條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.(1)求證：平面；(2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）選條件①，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)推出平面，繼而推出，再結(jié)合題意，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；選條件②，根據(jù)勾股定理逆定理證明，可得平面，繼而推出，再結(jié)合題意，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）由（1）可得平面，則可得平面，由此建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）選條件①：平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈冗吶切?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?選條件②：因?yàn)?，為等邊三角形，所以，因?yàn)?，則，所以為直角三角形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)?，由?）知平面，所以平面.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作AC的垂線作為x軸，分別以所在直線為軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)為上一點(diǎn)，設(shè)，所以.因?yàn)?，則，所以，所以，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生參加預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測?背景調(diào)查?高考選拔等5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過，則被確認(rèn)為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位報(bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為.假設(shè)學(xué)生能否通過這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立，現(xiàn)有某校高三學(xué)生甲?乙?丙三人報(bào)名民航招飛.(1)估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率；(2)求甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率；(3)根據(jù)甲?乙?丙三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績，預(yù)估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設(shè)甲?乙?丙三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式可得；（2）可看成次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ颓蠼飧怕?；?）分別計(jì)算出甲、乙、丙能被招飛院校錄取的概率，按步驟求出離散型隨機(jī)變量的分布列.【詳解】（1）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為，且能否通過相互獨(dú)立，所以估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率.（2）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率為，所以甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率.（3）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率為，且預(yù)估甲?乙?丙三人的高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，所以甲能被招飛院校錄取的概率，乙能被招飛院校錄取的概率，丙能被招飛院校錄取概率.依題意的可能取值為，所以，，，.所以的分布列為：0123所以.19．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù).①若在處取得極大值，求的單調(diào)區(qū)間；②若恰有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)①單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；②【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）①對求導(dǎo)后，令，結(jié)合在處取得極大值可得的范圍，即可得的單調(diào)區(qū)間；②由，可得是的一個(gè)零點(diǎn)，故有兩個(gè)不為2實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不為2實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性后計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）①因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，令，得，或，（i）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，得；令，得，或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，此時(shí)不符合題意，（ii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處不取極值，此時(shí)不符合題意，（iii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，得；令，得，或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，此時(shí)符合題意，綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；②因?yàn)?，所以，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)榍∮腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不為2實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不為2實(shí)數(shù)根，令，所以，令，得，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?，且，所以，且，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本體最后一問關(guān)鍵在于對函數(shù)因式分解，可得一零點(diǎn)，再研究另一因式，結(jié)合方程與函數(shù)的關(guān)系參變分離構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性即可得.20．已知橢圓的短軸長為2，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由短軸長及離心率和之間的關(guān)系求出的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）由（1）可得的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理，求出直線，再求兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)；【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的短軸長為2，所以.所以.因?yàn)殡x心率為，所以.所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）①若直線的斜率不存在，不符合題意.②若直線的斜率存在，設(shè)為，所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，化簡得.所以，得，或.因?yàn)椋?，所?直線的方程為，即.直線的方程為，即.因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo).所以.所以點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定直線問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量之間的關(guān)系，同時(shí)得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知的等量關(guān)系，化簡整理得到所求定直線.21．已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個(gè).(1)寫出所有4的1減數(shù)列；(2)若存在m的6減數(shù)列，證明：；(3)若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.【答案】(1)數(shù)列和數(shù)列3，1(2)證明見解析(3)的最大值為512072【分析】（1）根據(jù)k減數(shù)列的定義，即可寫出答案；（2）根據(jù)存在的6減數(shù)列，可得，即，繼而分類討論n的取值，說明每種情況下都有，即可證明結(jié)論；（3）分類討論數(shù)列中的項(xiàng)的情況，結(jié)合題意確定數(shù)