《北航數(shù)理統(tǒng)計》課件

《北航數(shù)理統(tǒng)計》課件匯報人：AA2024-01-25課程介紹與概述概率論基礎(chǔ)知識回顧統(tǒng)計量及其抽樣分布參數(shù)估計方法假設(shè)檢驗原理及應(yīng)用方差分析與回歸分析初步非參數(shù)統(tǒng)計方法簡介01課程介紹與概述在大數(shù)據(jù)時代，數(shù)理統(tǒng)計對于數(shù)據(jù)分析和決策制定具有重要意義。數(shù)理統(tǒng)計方法廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。數(shù)理統(tǒng)計是應(yīng)用概率論對數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、分析和推斷的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)理統(tǒng)計的定義與重要性掌握數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、原理和方法。培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維能力和數(shù)據(jù)分析能力。課程目標(biāo)與要求能夠運用數(shù)理統(tǒng)計方法分析和解決實際問題。要求學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如微積分、線性代數(shù)和概率論等?！稊?shù)理統(tǒng)計學(xué)》（第二版），茆詩松等編，高等教育出版社。教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，盛驟等編，高等教育出版社。參考資料《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計》，孫榮恒編，科學(xué)出版社。輔助教材中國大學(xué)MOOC、Coursera等在線教育平臺提供的相關(guān)課程和資源。在線資源教材及參考資料推薦02概率論基礎(chǔ)知識回顧可加性對于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。規(guī)范性P(Ω)=1，其中Ω表示必然事件；非負(fù)性P(A)≥0；事件的定義事件是隨機試驗的某種可能結(jié)果，用大寫字母A,B,C等表示。概率的定義概率是描述事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，記作P(A)。事件與概率的定義及性質(zhì)條件概率的定義在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。計算公式為P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和B同時發(fā)生的概率。事件的獨立性如果事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生概率沒有影響，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。條件獨立性的概念在某些條件下，原本不獨立的事件可能變得獨立。條件概率與獨立性隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，常用小寫字母X,Y,Z等表示。隨機變量的定義離散型隨機變量只能取有限個或可列個值。常見的離散型隨機變量分布有：0-1分布、二項分布、泊松分布等。離散型隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量的取值充滿某個區(qū)間。常見的連續(xù)型隨機變量分布有：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。連續(xù)型隨機變量及其分布包括數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等，用于描述隨機變量的統(tǒng)計特性。隨機變量的數(shù)字特征隨機變量及其分布03統(tǒng)計量及其抽樣分布定義無偏性有效性一致性統(tǒng)計量的定義與性質(zhì)統(tǒng)計量是基于樣本數(shù)據(jù)計算出來的量，用于描述樣本特征或推斷總體性質(zhì)。對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，方差較小的估計量更有效。統(tǒng)計量的期望值等于被估計的總體參數(shù)。隨著樣本量的增加，統(tǒng)計量的值逐漸接近總體參數(shù)的真值。樣本標(biāo)準(zhǔn)差用于衡量樣本數(shù)據(jù)的離散程度。樣本均值用于估計總體均值。樣本方差用于估計總體方差。樣本矩用于描述樣本數(shù)據(jù)的分布形態(tài)，如偏度、峰度等。次序統(tǒng)計量如樣本中位數(shù)、樣本四分位數(shù)等，用于描述樣本數(shù)據(jù)的中心趨勢和離散程度。常用統(tǒng)計量舉例抽樣分布的概念及類型t分布用于根據(jù)小樣本來估計呈正態(tài)分布且方差未知的總體的均值?？ǚ椒植籍?dāng)n個相互獨立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的平方和構(gòu)成的分布。概念抽樣分布是指由樣本統(tǒng)計量所形成的概率分布。在重復(fù)抽樣條件下，同一統(tǒng)計量在不同樣本上的取值會形成一個分布。F分布兩個卡方分布變量的比值的分布，常用于方差分析、回歸方程的顯著性檢驗等。正態(tài)分布在影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多且每個因素所起的作用不太大時，該數(shù)量指標(biāo)服從正態(tài)分布。04參數(shù)估計方法點估計的概念與方法點估計的概念點估計是用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)，因為樣本統(tǒng)計量為數(shù)軸上某一點值，估計的結(jié)果也以一個點的數(shù)值表示，所以稱為點估計。點估計的方法點估計的方法主要有矩估計法和最大似然估計法。矩估計法是通過樣本矩來估計總體矩的方法，而最大似然估計法則是通過最大化似然函數(shù)來得到參數(shù)的估計值。區(qū)間估計是在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差得到。與點估計不同，區(qū)間估計提供的是參數(shù)的一個區(qū)間范圍，而不是一個具體的數(shù)值。區(qū)間估計的原理首先根據(jù)問題的要求，確定置信水平和樣本量；然后構(gòu)造合適的統(tǒng)計量，并根據(jù)統(tǒng)計量的分布確定置信區(qū)間的上下限；最后根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出置信區(qū)間的具體數(shù)值。區(qū)間估計的步驟區(qū)間估計的原理及步驟無偏性無偏性是指估計量在多次重復(fù)抽樣下的平均值等于被估計參數(shù)的真實值。無偏性是評價一個估計量好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)之一。有效性有效性是指對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，有更小方差的估計量更有效。有效性是評價一個無偏估計量相對于其他無偏估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。一致性一致性是指隨著樣本量的增加，點估計量的值能夠逐漸接近被估參數(shù)的真實值。一致性是評價一個估計量在大樣本下表現(xiàn)好壞的標(biāo)準(zhǔn)。評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)05假設(shè)檢驗原理及應(yīng)用根據(jù)問題的背景和研究目的，設(shè)立原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$。假設(shè)的設(shè)立根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的值，并判斷其是否落入拒絕域，從而決定是否拒絕原假設(shè)。假設(shè)的檢驗根據(jù)樣本數(shù)據(jù)選擇合適的檢驗統(tǒng)計量，并確定其分布。檢驗統(tǒng)計量的選擇根據(jù)問題的實際情況，設(shè)定顯著性水平$alpha$，通常取$0.05$或$0.01$。顯著性水平的設(shè)定根據(jù)顯著性水平和檢驗統(tǒng)計量的分布，確定拒絕域。拒絕域的確定0201030405假設(shè)檢驗的基本思想單側(cè)和雙側(cè)檢驗方法當(dāng)備擇假設(shè)具有方向性時，采用單側(cè)檢驗。例如，比較兩個總體均值是否相等，若備擇假設(shè)為$mu_1>mu_2$或$mu_1<mu_2$，則采用單側(cè)檢驗。單側(cè)檢驗當(dāng)備擇假設(shè)不具有方向性時，采用雙側(cè)檢驗。例如，比較兩個總體均值是否相等，若備擇假設(shè)為$mu_1neqmu_2$，則采用雙側(cè)檢驗。雙側(cè)檢驗假設(shè)檢驗中的兩類錯誤當(dāng)原假設(shè)為真時，錯誤地拒絕了原假設(shè)，這類錯誤的概率用$alpha$表示。第二類錯誤當(dāng)原假設(shè)為假時，未能拒絕原假設(shè)，這類錯誤的概率用$beta$表示。兩類錯誤的關(guān)系在樣本量固定的情況下，減小$alpha$會導(dǎo)致$beta$增大，反之亦然。因此，在實際應(yīng)用中需要在$alpha$和$beta$之間進(jìn)行權(quán)衡。第一類錯誤06方差分析與回歸分析初步123方差分析是一種通過比較不同組別數(shù)據(jù)的方差來推斷總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計方法。方差分析的概念進(jìn)行方差分析需要滿足三個基本前提條件，即總體正態(tài)分布、總體方差相等和隨機抽樣。方差分析的前提條件包括建立假設(shè)、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量、確定顯著性水平、計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值和做出統(tǒng)計決策等步驟。方差分析的基本步驟方差分析的基本原理一元線性回歸模型是用于描述兩個變量之間線性關(guān)系的統(tǒng)計模型，其中一個變量為自變量，另一個變量為因變量。一元線性回歸模型最小二乘法是一元線性回歸模型中最常用的參數(shù)估計方法，它通過最小化殘差平方和來求解回歸系數(shù)。最小二乘法回歸方程的顯著性檢驗用于判斷自變量和因變量之間是否存在顯著的線性關(guān)系，通常使用F檢驗或t檢驗進(jìn)行。回歸方程的顯著性檢驗一元線性回歸分析簡介03多元線性回歸模型的假設(shè)檢驗多元線性回歸模型的假設(shè)檢驗包括回歸方程的顯著性檢驗、回歸系數(shù)的顯著性檢驗以及模型的擬合優(yōu)度檢驗等。01多元線性回歸模型多元線性回歸模型是用于描述多個自變量和一個因變量之間線性關(guān)系的統(tǒng)計模型。02多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的參數(shù)估計通常使用最小二乘法，通過求解正規(guī)方程組得到回歸系數(shù)的估計值。多元線性回歸模型初步探討07非參數(shù)統(tǒng)計方法簡介非參數(shù)統(tǒng)計的定義01非參數(shù)統(tǒng)計是一種不依賴于總體分布的具體形式的統(tǒng)計推斷方法。它基于數(shù)據(jù)本身的性質(zhì)，通過對數(shù)據(jù)的排序、計數(shù)等操作來進(jìn)行統(tǒng)計推斷。非參數(shù)統(tǒng)計的特點02與參數(shù)統(tǒng)計相比，非參數(shù)統(tǒng)計具有更廣泛的適用性，因為它不需要對總體分布做出具體的假設(shè)。此外，非參數(shù)統(tǒng)計方法通常較為穩(wěn)健，對異常值和離群點的敏感性較低。非參數(shù)統(tǒng)計的應(yīng)用場景03當(dāng)總體分布的具體形式未知或難以確定時，或者當(dāng)數(shù)據(jù)存在異常值、離群點等情況時，非參數(shù)統(tǒng)計方法可以提供有效的統(tǒng)計推斷工具。非參數(shù)統(tǒng)計的基本概念符號檢驗是一種用于檢驗單個樣本中位數(shù)是否等于某個指定值的非參數(shù)檢驗方法。它通過比較樣本觀測值與指定值的符號來進(jìn)行推斷。符號檢驗威爾科克森符號秩檢驗是一種用于檢驗單個樣本分布是否對稱的非參數(shù)檢驗方法。它通過計算樣本觀測值的正負(fù)符號秩和來進(jìn)行推斷。威爾科克森符號秩檢驗單樣本非參數(shù)檢驗方