《微積分》(上下冊)教學(xué)課件01.函數(shù)、極限、連續(xù)高等數(shù)學(xué)第1-4節(jié)

《微積分》(上下冊)教學(xué)課件01.函數(shù)、極限、連續(xù)高等數(shù)學(xué)第1-4節(jié)匯報(bào)人：AA2024-01-25函數(shù)概念與性質(zhì)極限理論與計(jì)算連續(xù)性與間斷點(diǎn)分析導(dǎo)數(shù)與微分及其應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用不定積分與定積分初步目錄CONTENTS01函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)定義及表示方法函數(shù)定義設(shè)$x$和$y$是兩個變量，$D$是實(shí)數(shù)集的某個子集，若對于$D$中的每一個$x$值，按某種對應(yīng)法則$f$，總有唯一確定的$y$值與它對應(yīng)，則稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$。函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種：解析法、列表法和圖像法。

函數(shù)基本性質(zhì)有界性函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)有界，意味著函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的值域是一個有界集。單調(diào)性函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（或減少），意味著在該區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)$x_1<x_2$，都有$f(x_1)leqf(x_2)$（或$f(x_1)geqf(x_2)$）。周期性函數(shù)具有周期性，意味著存在一個正數(shù)$T$，使得對于任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。反函數(shù)若函數(shù)$y=f(x)$的定義域是$D_f$，值域是$R_f$，且對于$R_f$中的每一個$y$值，在$D_f$中都有唯一的$x$值與之對應(yīng)，則稱函數(shù)$x=g(y)$為函數(shù)$y=f(x)$的反函數(shù)。復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)$y=f(u)$的定義域?yàn)?D_f$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域?yàn)?D_g$，且$g(D_g)subsetD_f$，則由下式確定的函數(shù)稱為由函數(shù)$u=g(x)$與函數(shù)$y=f(u)$構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，記作$y=f[g(x)]$。反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算所得到的并可以用一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)初等函數(shù)的圖像可以通過基本初等函數(shù)的圖像經(jīng)過變換得到。例如，指數(shù)函數(shù)的圖像、對數(shù)函數(shù)的圖像、冪函數(shù)的圖像、三角函數(shù)的圖像等。初等函數(shù)的圖像初等函數(shù)及其圖像02極限理論與計(jì)算123描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的變化趨勢。極限的定義唯一性、局部有界性、保號性、四則運(yùn)算法則。極限的性質(zhì)函數(shù)在某一點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)極限的定義及性質(zhì)。左右極限極限概念及性質(zhì)無窮小量的定義極限為零的變量稱為無窮小量。無窮大量的定義絕對值無限增大的變量稱為無窮大量。無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，反之亦然。無窮小量的性質(zhì)有限個無窮小量之和、差、積仍是無窮小量。無窮小量與無窮大量加法、減法、乘法、除法。極限的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限等于函數(shù)值的極限。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則冪指函數(shù)的極限可以通過取對數(shù)化為復(fù)合函數(shù)的極限進(jìn)行計(jì)算。冪指函數(shù)的極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則03兩個重要極限的應(yīng)用在求解一些復(fù)雜函數(shù)的極限時，可以通過變形轉(zhuǎn)化為這兩個重要極限進(jìn)行計(jì)算。01第一個重要極限lim(sinx/x)=1，x->0。02第二個重要極限lim[(1+1/x)^x]=e，x->∞。兩個重要極限03連續(xù)性與間斷點(diǎn)分析連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有局部有界性、局部保號性、四則運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性等。連續(xù)性的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)意味著函數(shù)圖像在該點(diǎn)處沒有間斷或跳躍。連續(xù)性的定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某鄰域內(nèi)有定義，如果$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，則稱函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。連續(xù)概念及性質(zhì)間斷點(diǎn)的類型根據(jù)函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限情況，間斷點(diǎn)可分為可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)四種類型。判斷方法通過計(jì)算函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限，根據(jù)極限的存在性和相等性來判斷間斷點(diǎn)的類型。間斷點(diǎn)的定義如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處不連續(xù)，則稱$x_0$為函數(shù)$f(x)$的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)類型與判斷方法有界性定理閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定有界。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定能取到最大值和最小值。如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)neqf(b)$，則對于任意介于$f(a)$和$f(b)$之間的數(shù)$c$，至少存在一點(diǎn)$xiin(a,b)$，使得$f(xi)=c$。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一致連續(xù)性，即對于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當(dāng)區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)$x_1,x_2$滿足$|x_1-x_2|<delta$時，有$|f(x_1)-f(x_2)|<epsilon$。最大值和最小值定理中間值定理（介值定理）一致連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)04導(dǎo)數(shù)與微分及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法通過求極限的方式計(jì)算導(dǎo)數(shù)，包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等。高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的更高階變化率。導(dǎo)數(shù)概念及計(jì)算方法微分概念及計(jì)算方法微分在近似計(jì)算、誤差估計(jì)、微分方程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。微分的應(yīng)用微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部變化量的線性近似，即函數(shù)的局部增量可以近似表示為自變量的微分與函數(shù)在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的乘積。微分的定義通過求導(dǎo)數(shù)的方式計(jì)算微分，包括基本初等函數(shù)的微分公式、微分的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的微分法則等。微分的計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)在幾何中可用于求曲線的切線方程、法線方程、曲率等，還可用于判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性等。幾何應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在物理中可用于描述速度、加速度、角速度等物理量的變化率，還可用于求解最值問題，如最小作用量原理、最大功原理等。物理應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可用于分析邊際效應(yīng)、彈性等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，還可用于求解最優(yōu)化問題，如最小成本、最大收益等。經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在幾何和物理中應(yīng)用05中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)且取得極值，則$f'(x_0)=0$。費(fèi)馬引理若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則存在$xiin(a,b)$，使得$f'(xi)=0$。羅爾定理若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則存在$xiin(a,b)$，使得$f'(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理若函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)neq0$，則存在$xiin(a,b)$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$?？挛髦兄刀ɡ碇兄刀ɡ韮?nèi)容及證明利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性單調(diào)性判定定理：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上可導(dǎo)，則若$f'(x)<0$在$I$上恒成立，則$f(x)$在$I$上單調(diào)遞減。若$f'(x)>0$在$I$上恒成立，則$f(x)$在$I$上單調(diào)遞增；應(yīng)用舉例：通過求解導(dǎo)數(shù)并判斷其符號，可以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和最值極值判定定理：若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，且在點(diǎn)$x_0$的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則若$f'(x_0)=0$且當(dāng)$x<x_0$時$f'(x)<0$，當(dāng)$x>x_0$時$f'(x)>0$，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取得極小值；若$f'(x_0)=0$且當(dāng)$x<x_0$時$f'(x)>0$，當(dāng)$x>x_0$時$f'(x)<0$，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取得極大值。$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值分別存在于端點(diǎn)或極值點(diǎn)；通過比較端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值，可以確定函數(shù)的最值。最值判定定理：若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則06不定積分與定積分初步不定積分的定義不定積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過程，結(jié)果是一個函數(shù)族，每個函數(shù)之間相差一個常數(shù)。不定積分的性質(zhì)不定積分具有線性性、可加性和常數(shù)倍性質(zhì)。此外，還有換元積分法和分部積分法等基本方法。不定積分的幾何意義不定積分表示的是曲線在某區(qū)間上與x軸圍成的面積，其結(jié)果是一個函數(shù)表達(dá)式。不定積分概念及性質(zhì)通過變量代換將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單的不定積分，常用的代換方法有三角代換、根式代換等。換元積分法分部積分法兩種方法的比較與選擇將兩個函數(shù)相乘的不定積分轉(zhuǎn)化為兩個較簡單的函數(shù)的積分，適用于被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)乘積的情況。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)被積函數(shù)的特征選擇合適的積分方法。換元積分法和分部積分法定積分的定義定積分是求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的積分值，其結(jié)果是一個數(shù)。定積分的幾何意義定積分表示的是曲線在指定區(qū)間上與x軸圍