數(shù)值分析課后習(xí)題及答案

數(shù)值分析課后習(xí)題及答案

第一章緒論(12)

第二章插值法(40-42)

2、當(dāng)x1,1,20寸，f(x)0,3,4,求f(x)的二次插值多項(xiàng)式。

L2(x)y0(xx0)(xx2)(xxO)(xxl)(xxl)(xx2)yly2(x0xl)(xOx2)(

xlxO)(xlx2)(x2xO)(x2xl)

［解］0(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)(3)4(11)(12)(1

1)(12)(21)(21)

14537(x23x2)(x21)x2x23623,

3、給出f(x)Inx的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算InO.54的近似值。

［解］若取xO0.5,xl0.6,

則y0f(xO)f(0.5)0.693147,ylf(xl)f(0.6)0.510826,則

LI(x)yOxxOxxlx0.6x0.5yl0.6931470.510826xOxlxlxOO.5

0.60.60.5,6.93147(x0.6)5.10826(x0.5)1,82321x1.604752從而

LI(0.54)1.823210.541.6047520.98453341.6047520.6202186。若取

xO0.4,xl0.5,x20.6,則yOf(xO)f(0.4)0.916291,

ylf(xl)f(0.5)0.693147,y2f(x2)f(0.6)0.510826,貝I」

L2(x)yO(xxO)(xx2)(xxO)(xxl)(xxl)(xx2)yly2(xOxl)(xOx2)(xl

xO)(xlx2)(x2xO)(x2xl)0.916291(x0.5)(x0.6)(x0.4)(x0.6)(

0.693147)(0.40.5)(0.40.6)(0.50.4)(0.50.6)

(x0.4)(x0.5),(0.510826)(0.60.4)(0.60.5)

25.5413(x20.9x0.2)45.81455(x21.lx0.3)69.3147(x2x0.24)

2.04115x24.068475x2.217097

從而

L2(0.54)2.041150.5424.0684750.542.2170970.595199342.196976

52.2170970.61531984補(bǔ)充題：1、令xO0,xl1,寫(xiě)出y(x)ex的一次插值

多項(xiàng)式LI(x),并估計(jì)插值余項(xiàng)。

［解］由yOy(xO)e01,yly(xl)e1可知，

Ll(x)yO

xxOxxlx1lx0yl1e

xOxlxlxOO110,

(x1)elx1(e1l)x

f()e

余項(xiàng)為RI(x)(xxO)(xxl)x(x1),0,1,

2!2

故Rl(x)

1111maxemaxx(x1)1o

0x1201248

2、設(shè)f(x)x4,試?yán)美窭嗜詹逯涤囗?xiàng)定理寫(xiě)出以1:0,1,2為插值節(jié)點(diǎn)的三次插

值多項(xiàng)式。

［解］由插值余項(xiàng)定理，有

f(4)()

R3(x)(xxO)(xxl)(xx2)(xx3)

4!,

4!

(xl)x(x1)(x2)(x22x)(x21)x42x3x22x4!

從而L3(x)f(x)R3(x)x4(x42x3x22x)2x3x22xo5、給定數(shù)據(jù)表:

i1,2,3,4,5,

求4［解］

57N4(x)43(x1)(x1)(x2)(x1)(x2)(x4)660

1(x1)(x2)(x4)(x6)180,插值余項(xiàng)為

5743(x1)(x1)(x2)(x1)(x2)(x4)660

1(x1)(x2)(x4)(x6)180

f(5)()R4(x)(x1)(x2)(x4)(x6)(x7),1,7。5!

第三章函數(shù)逼近與計(jì)算(80-82)

26、用最小二乘法求一個(gè)形如yabx2的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并求均

方誤差。

［解］由dll(xi),f(xi)yi19.032.349.073.397.8271.4?

i15

d22(xi),f(xi)yixi2

i15

19.019232.325249.031273.338297.8442。

685920187.547089105845.2189340.8369321.5又

1(xi),1(xi)15,

i15

l(xi),2(xi)xi2192252312382442

,i15

361625961144419365327

2(xi),2(xi)xi4194254314384444

i15,

130321390625923521208513637480967277699

5故法方程為5327a271.4a4.578,解得。

b369321.57277699b0.047532755S(xi)f(xi)均方誤差

為i12abxi2f(xi)i12。

6.4770252.7324090.5550250.7293164.972915.466675

27

［解］設(shè)直線運(yùn)動(dòng)為二次多項(xiàng)式f(x)abxcx2,則由

dll(xi),f(xi)yi010305080110280。

66

d22(xi),f(xi)yixi

i1

00100.9301.9503803.91105,

9571503125501078

6

d33(xi),f(xi)yixi2

i1

002100.92301.925032803.9211052o

8.1108.34501216.827504533.2

又1(xi),1(xi)16,

i16

1(xi),2(xi)2(xi),l(xi)xi

i1600.91.933.9514.7,

l(xi),3(xi)3(xi),1(xi)2(xi),2(xi)

xi2020.921.92323.92520.813.61915.212553.63i16

2(xi),3(xi)3(xi),2(xi)xi3030.931.93333.935

3

i16

0.7296.8592759.319125218.907

3(xi),3(xi)xi4040.941.94343.9454

i16

0.656113.032181231.3441625951.0323

14.76

53.63故法方程為14.7

53.63218.907

53.63a280a0.5837b1078,解得b11.0814。

218.907c2.2488951.0323c4533.2故直線運(yùn)

動(dòng)為f(x)0.5837U.0814x2.2488x2?

補(bǔ)充題：1

U如下表：

［解］電流、電阻與電壓之間滿足如下關(guān)系：UIRo應(yīng)用最小二乘原理，求R使得

(R)(IiRUi)達(dá)到最小。對(duì)(R)求導(dǎo)得到：(R)2(IiRUi)Ii?2

iliInn

令(R)0,得到電阻R為RUli1

nniioI

i12i

2、對(duì)于某個(gè)長(zhǎng)度測(cè)量了n次，得到n個(gè)近似值xl,x2,,xn,通常取平均值

1(xlx2xn)作為所求長(zhǎng)度，請(qǐng)說(shuō)明理由。nn

［解］令(x)(xxi)2,求x使得(x)達(dá)到最小。對(duì)(x)求導(dǎo)得到：

i1

In(x)2(xxi),令(x)0,得到xxi,這說(shuō)明取平均值niliIn

1(xlx2xn)在最小二乘意義下誤差達(dá)到最小。n

3、有函數(shù)如下表，要求用公式y(tǒng)abx3擬合所給數(shù)據(jù)，試確定擬合公式中的a和b

［解］取0(x)1,l(x)x3,則

0(x),0(x)17,0(x),1(x)1(x),0(x)xi30,

i0

6i0661(x),l(x)xi61588,而i0

660(x),y(x)yi

i09.26,l(x),y(x)xi3yi180.65。故法方程為i0

0a9.267a1.3229，解得。

01588b180.65b0.11376

4、在某個(gè)低溫過(guò)程中，函數(shù)y依賴于溫度（C）的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為

已知經(jīng)驗(yàn)公式的形式為yab2,是用最小二乘法求出a和b。

［解］取0()1()2,則0(),0()

i1

442i30,0(),1()1(),0()i3100,

i141(),1()i4354,而

i1

40(),y()iyi

i117.2,1(),y()i2yi55o故法方程為i14

30100a17.2a0.9497，解得。

100354b55b0.1129

5、單原子波函數(shù)的形式為yaebx,試按照最小二乘法決定參數(shù)a和

b,已知數(shù)據(jù)如下:

［解］對(duì)yaebx兩邊取對(duì)數(shù)得InyInabx,令YIny,AIna,則擬合函數(shù)變?yōu)閅

Abx取0(x)1,l(x)x,則

0(x),0(x)14,

0(x),1(x)1(x),0(x)xiili1447,

41(x),1(x)xi221,而

i1

0(x),y(x)yi

i140.2109,l(x),y(x)xiyi3.6056。故法方程為i14

47a0.2109A0.5946721b3.6056,解得

b0.3699o因而擬合函數(shù)為

yeO.59460.3699x1.8123e0.3699x?Y0.59406.36x9,原擬合函數(shù)為9

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分(107)

2、分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分：

lx(1)dx；04x2

k

hlll8T8[f(a)2f(xk)f(b)][2]221645kIk1k48

7118kl)[解](2。21645k1256k

11842424012561[2()]0.11140164257652651728173305577

77hS8[f(a)4f(xl)2f(xk)f(b)]k6kOk12

2klk

77111[42]224845kOk12k1k44168

771116(2kl)8kl(42)0.11157224845k01024(2kl)k1256k

1x11521精確值為dxln(4x)|In0.11157。004x2224

3)9

Ixdx,n4；

9[解](略),精確值為122529xdxx211(271)。333

1

034、用辛普森公式求積分exdx并估計(jì)誤差。

S

[解]bal0ab01[f(a)4f[f(0)4ff(b)]f(l)]6262

12?1(e04e6e1)

41(12.426120.36788)0.632336101lie,從而RS3.472104。

1801618016babaRSfl802(4)()

第五章常微分方程數(shù)值解法(141T42)

1、就初值問(wèn)題yaxb,y(0)。分別導(dǎo)出歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法的近似解的表

達(dá)式，并與準(zhǔn)確解y12axbx相比較。2

[解]由歐拉公式可知yn1ynh(axnb),即yn1ynh(axnb),從而

yn1yOh(axkb)h[a(x0kh)b]

kOkOnn

[ahxOkah2)bh]ah(n1)x0

kOnn(nl)2ah(nl)bh2,即

ynyOahnxO

ynn(nl)2ahnbh,又因?yàn)閥O0,xO0,所以2n(nl)2ahnbh。再由

xnnh,可知誤差為2

12n(nl)2axnbxn[ahnbh]22。

21n(nl)2nahan2h2bnhahnbh222y(xn)yn

n1ynh(axnb)h由改進(jìn)的歐拉公式可知

yn1yn[(axnb)(axn1b)],2ahy(xnxn1)bhn2

即yn1ynah(xnxn1)bh,從而

2nahahyn1yO[(xkxk1)bh]{[xO(2kl)h]bh}2k02kIn

ah(n1)(12n1)(nl)ah2

xO(nl)bh222

ah(n1)(n1)2

2xOah(nl)bh22,即

ynlahnn22yOxOahnbh,又因?yàn)閥O0,xO0,所以22

n2

2ahnbho再由xnnh,可知誤差為2yn1

12n2

2122n2

2y(xn)ynaxnbxn[ahnbh]anhbnhahnbhOo2222

yxy,0x12、用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題,取步長(zhǎng)h0.1計(jì)算,

y(0)1

并與準(zhǔn)確解yx12ex相比較。

n1ynh(xnyn)yn1ynh[xnynxn1n1)］2［解］由改進(jìn)的

歐拉公式可知，又由hy[xyxh(xy)]nnInnnn2n

h2hhh2(1h)ynxn1()xn2222

x00,yO1,h0.1,可得yn11.105yn0.05xn10.055xn,從而

yl1.10510.050.10.00501.11；

y21.1051.110.050.20.0550.11.226550.010.00551.24205；

y31.1051.242050.050.30.0550.2

1.372465250.0150.0111.39846525；

y41.1051.398465250.050.40.0550.3

1.5453038250.020.01651.58180410125；

y51.1051.581804101250.050.50.0550.4

1.747893531881250.0250.0221.79489353188125；

y61.1051.794893531881250.050.60.0550.5

1.983357352728781250.030.02752.04085735272878125

y71.1052.040857352728781250.050.70.0550.6；

2.255147374765303281250.0350.0332.32314737476530328125y81.1052.3

23147374765303281250.050.80.0550.7；

2.567077849115660125781250.040.03852.64557784911566012578125y91.10

52.645577849115660125781250.050.90.0550.8

2.923363523272604438988281250.0450.044

3.01236352327260443898828125

ylO1.1053.012363523272604438988281250.0510.0550.9

3.328661693216448905082050781250.050.0495

3.42816169321644890508205078125；；。

yx2xy3、用改進(jìn)的歐拉方法解，取步長(zhǎng)h0.1計(jì)算y(0.5),并與準(zhǔn)確解

y(0)0

yexx2x1相比較。

［解］由改進(jìn)的歐拉公式可知

2n1ynh(xnxnyn)h222yn1yn{xnxnynxn1xn1

［ynh(xnxnyn)},又由xO0,

2h2h(1h)2h2(1h)y(xx)(xn1xn1)nnn222

22xn)0.05(xny00,h0.1,可得yn10.905yn0.045(xn1xn1),從而

yl0.90500.045(020)0.05(0.120.1)0.0055；

y20.9050.00550.045(0.120.1)0.05(0.220.2)

0.00497750.004950.0120.0219275；

y30.9050.02192750.045(0.220.2)0.05(0.320.3)

0.01984438750.01080.01950.0501443875；

y40.9050.05014438750.045(0.320.3)0.05(0.420.4)

0.04538067068750.017550.0280.0909304706875；

y50.9050.09093047068750.045(0.420.4)0.05(0.520.5)0.0822922

5697218750.02520.03750.14499225697218755。

nyy02h4、用梯形方法解初值問(wèn)題，證明其近似解為yn,并證

明當(dāng)2hy(0)1

h0時(shí)，它收斂于原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解yexo

［解］由梯形公式可知，yn1yn

ynlhhh(ynyn1),從而(1)yn1(1)yn,即

222nn2h2h2hyn,從而yny0,又由yO1可知，yn

2h2h2h

1(l)2hnn4h12hlimynlimlim1lim

1hOh02hhOh012h12h

x22nh2h1eX。5、利用歐拉方法計(jì)算積分etdt在點(diǎn)

x0.5,1,L5,2的近似值。0

yext［解］令yedt,則，從而令h0.5,利用歐拉方法得到:

0y(0)0x22

yn1ynhf(xn,yn)yn0.5exn,又由yO0,得至lj：

ylyO0.5eO00.510.5；22

y2yl0.5eO.50.50.5eO.251.1420127；

y3y20.5el1.14201270.5e2.5011536；

y4y30.5el.52.50115360.5e2.257.2450215。222

12、將下列方程化為一階方程組:

1)y3y2y0,y(0)l,y(0)1；

y(0)1yP［解］令yp,則p3p2y0,p(0)1,從而有，

P(0)Ip3p2y

y011xYY,Y(O)y(x)e再令Y，則初值問(wèn)題為。［精

確解為］P3213)

X(t)xy,y(t)，rx2y2,x(0)0.4,x(0)0,y(0)0,y(0)2。

33rr

xPyqxy［解］令x(t)P，yq,則p3,q3,從

而有PX,初值rrr3yq3r

x(0)0.4y(0)0為。p(0)0q(0)2

第六章方程求根(163-164)

1、用二分法求方程x2x10的正根，要求誤差0.05o

［解］令f(x)x2x1,則f(0)1,f(2)1,所以有根區(qū)間為0,2又因?yàn)?/p>

f(D1,所以有根區(qū)間為1,2；

f(1.5)1.521.510.25,所以有根區(qū)間為1.5,2

f(1.75)1.7521.75150,所以有根區(qū)間為1.5,1.75；16

If(1.625)1.62521.62510,所以有根區(qū)間為1.5,1.625；64

f(1999319)(1)2110,所以有根區(qū)間為1,1.625；

16161625616

19519(11)11.59375,216832

191這時(shí)它與精確解的距離(1.6251)0.05?21632取x*

3、為求方程x3x210在x01.5附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式,

并建立相應(yīng)的迭代公式：

21)x1l/x2,迭代公式xk111/xk；2)x31x2,迭代公式

xk1xk2；

13lo,迭代公式xk11/xk1；4)x2x31,迭代公式xk1xkx1

試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似值。3)

x2［解］1)設(shè)(x)121612,貝IJ,從而(1.5)1,所以

(x)323271.5xx迭代方法局部收斂。

22(x)x2)設(shè)，則(x)x(lx)3,從而32

216(1.5)1.5(11.52)31,所以迭代方法局部收斂。316922

3)設(shè)(x)112,則(x)(x1),從而(1.5)(0.5)221,

22x1133所以迭代方法發(fā)散。

34)設(shè)(x)x1,則(x)x2(x31)2,從而231

31929(1.5)1.5()1,所以迭代方法發(fā)散。28381

4、比較求ex10x20的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量:

1)在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法；2)用迭代法xk1(2exk)/10,取初值x00。

［解］1)使用二分法，令f(x)ex10x2,則f(0)1,f⑴e8,有根區(qū)間為

0,1；f(0.5)eO.530,有根區(qū)間為0,0.5；f(0.25)eO.250.50,有

根區(qū)間為0,0.25；f(0.125)eO.1250.750,有根區(qū)間為0,0.125；

11311f()el60.56050,有根區(qū)間為，；

16816831713f()e320.035780,有根區(qū)間為，；

3216163253953f()e640,有根區(qū)間為，；

64326432531111173113f()el280,有根區(qū)間為，；1286412832

23141233f()e2560,有根區(qū)間為，：25612825632

472772347f()e5120,有根區(qū)間為，；512256256512

935592393；f()el0240,有根區(qū)間為，10245122561024934723從而

x*12393185()0.090332,共二分10次。225610242048

2exk2e02eO.1

0.1,x2,則xl0.0894829,1010102)使用迭代法xk1

2eO.08948292eO.0906391

x30.0906391,x40.0905126,1010

即x*x40.0905126,共迭代4次。

7、用下列方法求f(x)x33x10在xO2附近的根。根的準(zhǔn)確值

x*1.87938524,要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。

1)用牛頓法；2)用弦截法，取xO2,xl1.9；3)用拋物線法，取

x01,xl3,x22

［解］1)xk133f(xk)xk3xk12xk1xkxk,xO2,

22f(xk)3xk33xk3

1732()122311710555x11.888889,x1.87945,迭代停止。

21725616322393()39

f(xk)xk1xk(xkxk1)f(xk)f(xk1)xO2,2),

3xk3xkIxkxk1(xkxk1)1xk3(xx)kk1322(xk3xk1)(xkxkxk

xk1xk13xk11)13

xl1.9,x21.92(1.92)115.8215821.881094

8411.921.922238.41158215821.9(1.9)1x3158221582()1.91.9

23,迭代停止。841841

9558143.42841210265424421.87941122546204321158215821.98410.6

1841

3)xk1xkf(xk)

4f(xk)f[xk,xk1,xk2]2,其中

f[xk,xk1]f[xk,xk1,xk2](xkxk1),xO1,xl3,x22,故

f(xO)3,f(xl)17,f(x2)1,f[xO,xl]f(xl)f(xO)17(3)10,

xlx03If[x2,xl]f(x2)f(xl)l1716,x2xl23

f[xl,x2]f[x0,xl]16106,166(23)10,x2x021

121

10761.9465745,下略。f[xO,xl,x2]x32104162

8、分別用二分法和牛頓法求xtanx0的最小正根。

［解］參見(jiàn)第6題，x*4.493424。

13、應(yīng)用牛頓法于方程f(x)1

值。

[解]令g(x)xa,則xk1

補(bǔ)充題

3、利用適當(dāng)?shù)牡袷阶C明lim2222okka0,導(dǎo)出求a的迭

代公式，并求的x2222(xk)xkaxkalaxkxkxk(xk)2xk2xk22xk

xO0［證明］考慮迭代格式,則xl2,xk12xk,k0,1,2,

令則

x222,,xk222Ok(x)2x,(x)1

22x。當(dāng)x0,2時(shí),

11,因而迭代格式產(chǎn)生的序(x)422(x)(0),(2)2,20,2,

并且

列收斂于方程x2x在0,2內(nèi)的唯?根x*2o

1的牛頓迭代公式，要求在迭代公式中不含有a

除法運(yùn)算，并考慮公式的收斂性。

111［解］考慮方程f(x)a0,則為以上方程的根。f(x)2,用牛頓迭axx4>

設(shè)a為正整數(shù)，試建立一個(gè)求

代公式xk11af(xk)xkxkxkxk(2axk),k0,1,2,?迭代函數(shù)

If(xk)2xk

(x)x(2ax)中不含有除法運(yùn)算。

由1axk11axk(2axk)(1axk)2,k0,1,2,遞推得到

1axk1(1ax0)2,k0,1,2,,解得xk

kllim(lax0)2

kka

20xO時(shí)，方法收斂。a

kllimxkkl[l(1ax0)2],k0,1,2,,a2011axO10xO,所

以當(dāng)a

第七章解線性方程組的直接方法(198-201,部分)

21000112100013、用追趕法解三對(duì)角方程組Axb,

其中A01210,b0。

001210000120

111255,4,3,2,1o63236

15、下列矩陣能否分解為L(zhǎng)U(其中L為單位下三角陣，U為上三角陣)？若能分解，那

么分解是否唯一。

612311112,B221,C2515。

A24146733161546

[解]因?yàn)锳的一、二、三階順序主子式分別為1,0,-10,所以A不能直接分解為三角

陣的乘積，但換行后可以。

因?yàn)锽的一、二、三階順序主子式分別為1,0,0,所以B不能分解為三角陣的乘積。

因?yàn)镃的一、二、三階順序主子式分別為1,5,1,所以C能夠分解為三角陣的乘積，

并且分解是唯一的。

16、試畫(huà)出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組

034xl1111x2。

22123x3

711,x2,x3。632

2、用列主元Gauss消去法求解下列方程組：［解］xl

123xl14(1)012x28

241x133

123142411324113xl1［解］(1)

,故

012801280128x22O

2411312314x351530022

103、用矩陣的直接二角分解法求解方程組:10

10［解］由10020xl5101x23

243x317103x47020110201

0101101可知，求解

2431212110301012

yl5xl11yl51020xl5

3xly013101222x23可得,求解可得。

121y17x6x2y6213333

0101y724x44x42y4

4

6、用追趕法求解三對(duì)角方程組:

2x1x232x1x202x1x21x2x3x3x2xx0x3x

x211232323(1)(2)(3)lo

x2x3x423x27x34x410x22x3x40

2x3x402x35x42x32x45

［解］依追趕法對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行初等變換,

21

0010032133021003200

0329002410

52093027410x40x1252，回代得到:

3o

x11003239xl23022014100130003230374025

(1)2100332001002

2112

01000

(2)

20002100000310001002210

0121012500125x44x3321000,回代得

到：o

1000x232301001002xl12440010

010335012500054210011001533102

01022111201112012000120x42x1321001,

回代得到：(3)21001o

x15325310001022xl0223700

317005155500120000714332100

第八章解線性方程組的迭代法(217-219)

5x12x2x3121、設(shè)方程組xl4x22x320,

2x3x10x3231

(a)考察用雅可比迭代法，高斯-賽德?tīng)柕ń獯朔匠探M的收斂性；

(b)用雅可比迭代法及高斯-賽德?tīng)柕ń獯朔匠探M，要求當(dāng)x(k1)x(k)

104時(shí)迭代終止。

215［解］(a)由系數(shù)矩陣142為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣可知，使用雅可比、

高

2310

斯-賽德?tīng)柕ㄇ蠼獯朔匠探M均收斂。［精確解為xl4,x23,x32］(b)使用雅

可比迭代法：

x(k1)D1(LU)x(k)Dlb

211055051221(k)111

102x200

42304341113101010

511255,1(k)x523010

使用高斯-賽德?tīng)柕?

x(k1)(DL)Wx(k)(DL)lb

11

500

02150

140012

0020

x(k)1420

23100002310

3

1

500

100

0215

110002x(k)11012

20420

31

000204

1

3

1

40401013

404010

021

5512

5

0111(k)22

1020x

0115

21

20810

xl0.4x20.4x31xl2x22x31

5、設(shè)方程組(a)0.4x0.8x

1x232；(b)xlx2x31；

0.4x10.8x2x332x12x2x31

試考察解此方程組的雅克比迭代法及高斯-賽德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?/p>

［解］(a)由系數(shù)矩陣A10.40.4

0.410.8

可知,

0.40.81

100.40.400.

BD1(LU)140.40

0.400.80.400.8

10.40.80,由0.40.80

0.40.4

IB00.40.8(0.8)(20.80.32)

0.40.8可知,

0.8)(0.4.48)(0.40.48)0

(B0)0.40.481,從而雅可比迭代法不收斂。

10011G(DL)U0.4100.40.8100.40.400

.80000

0000.40.400.40.410.410000.8

00.160.640.40.8100000.160.8,由

0.40.4

IG00.160.6420.960.1152)可知，00.160.8

0.48.1152)(0.48.1152)0

(G)0.480.11521,從而高斯-塞德?tīng)柕ㄊ諗俊?/p>

122(b)由系數(shù)矩陣A111可知,

221

2022102BOD1(LU)110110

1,由

1220220

22

IBO130可知,(B0)0,從而雅可比迭代法收斂。

22

10001G(DL)U1100

2210

10002201100010

22100001220100,由

222342

22

IG023(28)(22i)(22i)0可知，

042

(G)221,從而高斯-塞德?tīng)柕ú皇諗俊?/p>

111xxx143442

xlxlx1243442

8、設(shè)方程組，

111XXX

3

41422111xlx2x4

424

(a)求解此方程組的雅克比迭代法的迭代矩陣BO的譜半徑；

(b)求解此方程組的高斯-賽德?tīng)柕ǖ牡仃嚨淖V半徑；

(c)考察解此方程組的雅克比迭代法及高斯-賽德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?/p>

10

［解］由系數(shù)矩陣A

1414

01411

4114104

141

4可知，0

1

1414

1

0041

004

110044

1100

44

1414

141

4,由00

00

00

10011

(a)BOD(LU)111

144

11

44

0

0

IBO

14141414

14141414

0

0

111

2()()0可知，(BO)

222

01

10

G(DL)1U11

44

11

4400

00

10

01

1

00000

11

44110

4400000001

4141818

(b),由

100

01011144

11

0

4400000010

1410

400000

014

014

00

00

1410

4108108

0

0

IG

11

3()0可知(G)

1144

00

8811

00

88

14141414

(c)因?yàn)锳是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，兩種迭代法都收斂。

5x12x2x312

10、用S0R方法解方程組(取0.9)xl4x22x320；要求當(dāng)

2x3x10x3

23lx(k1)x(k)

104時(shí)迭代終止。

521

1A142［解］由系數(shù)矩陣及0.9,L(DL)((l)DU),

2310

f(DL)lb可知，05

L0.94

1.82.71

0

591

4200

27531

20000400

0010

1

0.51.80.9

0.41.80001

9

251910007479100000

950981

20005879200000

,從而

100.51.80.910

9

000.41.8

400001

1

00

1

500125

91f0.90.940200.90

1.82.7103200427531

200004001081225

401420

31000

177174110100000

由x(k1)Lx(k)f可得。［精確解為x'4,x23,x32］

laa

對(duì)于lalal4、證明矩陣Aa1是正定的，而雅克比迭代只對(duì)2

aal

11

a是收斂的。22

a

aa

［證明］由Al1,A2

1a2,Aala(2a1)(1a)2可知，當(dāng)

aaal

1a20

1

,即a1時(shí)，矩陣A是正定的。2a10

2a1

10aa0a1

又由BOD(LU)