2024年高考數(shù)學重難點突破講義：2022全國甲卷（理）

絕密★啟用前2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

則（）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【解析】講座前中位數(shù)為,所以錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差,所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.3.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，，所以,所以.4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）

A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【解析】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積.5.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，則，所以奇函數(shù)，排除BD；又當時，，所以，排除C.6當時，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．7.在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為【答案】D【解析】如圖所示：不妨設，依題以及長方體的結構特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.10.橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，設，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.11.設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，圖象如下所示：則，解得，即．12.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,因為當所以,即,所以；設，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【解析】設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．14.若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．【答案】.【解析】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．16.已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【答案】【解析】設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17.記為數(shù)列的前n項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】（1）因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時．18.在四棱錐中，底面．

（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【解析】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；（3）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19.甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【解析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.20.設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（2）設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．【解析】（1）拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）設，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.21.已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，則．【解析】（1）的定義域為，令,得當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為（2）由題知,一個零點小于1,一個零點大于1不妨設要證,即證因為,即證因為,即證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．（1）寫出的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，求與交點的直角坐標，及與交點的直角坐標．【解析】(1)因為，，所以，即的普通方程為．（2）因