2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破講義：配套熱練 特別策劃2　微切口3　兩直線斜率乘積為e2－1的應(yīng)用

微切口3兩直線斜率乘積為e2－1的應(yīng)用1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，離心率為eq\f(\r(,3),2)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(1,1)，則直線l的斜率為(A)A．－eq\f(1,4) B．－eq\f(3,4)C．－eq\f(1,2) D．1【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，由題意可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，將A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式作差可得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)＝0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)，又因?yàn)殡x心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(,3),2)，所以1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,4)，即直線AB的斜率為－eq\f(1,4)．2．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA1的斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA2斜率的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4))) C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))【解答】設(shè)P(x0，y0)，yeq\o\al(2,0)＝eq\f(3,4)(4－xeq\o\al(2,0))，由A1(－2,0)，A2(2,0)，得kPA1kPA2＝eq\f(y0,x0＋2)×eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4)，所以kPA1＝eq\f(－\f(3,4),kPA2)．由kPA1∈[－2，－1]，得－2≤－eq\f(\f(3,4),kPA2)≤－1，則eq\f(3,8)≤kPA2≤eq\f(3,4)，所以直線PA2斜率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))．3．(2023·鹽城期中)已知斜率存在的直線l與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1交于A，B兩點(diǎn)，且l與圓C：(x－1)2＋y2＝1切于點(diǎn)P．若P為線段AB的中點(diǎn)，則直線PC的斜率為(C)A．2eq\r(,2) B．－eq\r(,2) C．2eq\r(,2)或－2eq\r(,2) D．eq\r(,2)或－eq\r(,2)【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m，n)，則eq\f(x\o\al(2,1),16)＋eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),16)＋eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1，兩式作差得eq\f(x1－x2x1＋x2,16)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,4)＝0，所以eq\f(2m,16)＋eq\f(2n,4)·eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，所以eq\f(n,m)×eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,4)．又因?yàn)镃P與直線AB垂直，故可得eq\f(n,m－1)×eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－1，所以eq\f(m,m－1)＝4，解得m＝eq\f(4,3)．又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上，所以(m－1)2＋n2＝1，解得n＝±eq\f(2\r(,2),3)，所以eq\f(n,m－1)＝±2eq\r(,2)，即直線PC的斜率為±2eq\r(,2)．4．已知A，B，P是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上的不同的三點(diǎn)，直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，且k1，k2是關(guān)于x的方程4x2＋mx＋3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是(B)A．2 B．eq\f(\r(,7),2)C．eq\r(,2) D．eq\f(3,2)【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－x0，－y0)．因?yàn)閗1k2＝eq\f(3,4)，所以eq\f(y－y0,x－x0)·eq\f(y＋y0,x＋x0)＝eq\f(3,4)，即eq\f(y2－y\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0))＝eq\f(3,4)．又P，A在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，所以eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，兩式相減得eq\f(1,a2)(x2－xeq\o\al(2,0))－eq\f(1,b2)(y2－yeq\o\al(2,0))＝0，即eq\f(y2－y\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0))＝eq\f(b2,a2)．又因?yàn)閑q\f(y2－y\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0))＝eq\f(3,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以3a2＝4b2＝4(c2－a2)，所以7a2＝4c2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(,7),2)．5．如圖，已知點(diǎn)P在橢圓T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，設(shè)eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(PQ,\s\up6(→))，直線AD與橢圓T的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若PA⊥PB，則橢圓T的離心率e＝(C)(第5題)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(,2),2)C．eq\f(\r(,3),2) D．eq\f(\r(,3),3)【解析】由橢圓第三定義性質(zhì)知kAB·kBP＝e2－1，設(shè)P(x1，y1)，所以kAP＝eq\f(y1,x1)．因?yàn)锳P⊥BP，所以kBP＝－eq\f(x1,y1)．因?yàn)锳(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，－\f(1,2)y1))，所以kAB＝eq\f(\f(1,2)y1,2x1)，kAB·kBP＝－eq\f(1,4)＝e2－1，所以e＝eq\f(\r(,3),2)．6．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，點(diǎn)A，B是橢圓C的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，直線x＝m(－a＜m＜a)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，記k1，k2分別為直線AP和直線BQ的斜率，則|k1＋4k2|的最小值為(C)A．eq\f(3,4) B．eq\r(,3)C．2eq\r(,3) D．4eq\r(,2)【解析】不妨設(shè)P(m，y0)，Q(m，－y0)，eq\f(m2,a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，則k1＝eq\f(y0,m＋a)，k2＝eq\f(－y0,m－a)，k1k2＝eq\f(－y\o\al(2,0),m2－a2)＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(a2－c2,a2)＝1－e2＝eq\f(3,4)，故|k1＋4k2|≥2eq\r(,4k1k2)＝2eq\r(,3)，當(dāng)且僅當(dāng)k1＝4k2時(shí)，取等號(hào)．7．(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線C上兩點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一動(dòng)點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB，若kPA·kPB＝eq\f(1,4)，PF1⊥PF2，則下列說(shuō)法正確的是(BD)A．a(chǎn)＝4 B．a(chǎn)＝2C．△PF1F2的面積為eq\f(3,2) D．△PF1F2的面積為1【解析】設(shè)P(x0，y0)，A(x1，y1)，因?yàn)锳，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則B(－x1，－y1)．由已知得eq\f(x\o\al(2,1),a2)－yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,0),a2)－yeq\o\al(2,0)＝1，兩式相減得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,0),a2)＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,0)，所以eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝eq\f(1,a2)，因?yàn)閗PA·kPB＝eq\f(y0－y1,x0－x1)·eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,a2)＝eq\f(1,4)，得a＝2，所以B正確，A錯(cuò)誤；因?yàn)镻在右支上，記|PF2|＝t，則|PF1|＝4＋t，因?yàn)镻F1⊥PF2，所以(t＋4)2＋t2＝20，解得t＝eq\r(,6)－2或t＝－eq\r(,6)－2(舍去)，所以△PF1F2的面積為eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)(eq\r(,6)－2)×(eq\r(,6)＋2)＝1，所以D正確，C錯(cuò)誤．8．(2023·清遠(yuǎn)期末)已知P為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上異于頂點(diǎn)A1，A2的任意一點(diǎn)，直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2，寫(xiě)出滿足C的焦距小于8且3＜k1k2＜4的C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：__eq\f(x2,2)－eq\f(y2,7)＝1(答案不唯一)__．【解析】設(shè)P(x0，y0)，A1(－a，0)，A2(a，0)，k1k2＝eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)－1)),x\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(b2,a2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＜\f(b2,a2)＜4，,0＜2c＜8，,a2＋b2＝c2，))不妨取b2＝7，a2＝2，則c2＝9，所以滿足條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,2)－eq\f(y2,7)＝1．9．如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上，且異于點(diǎn)A，B，直線AP，BP與直線l：y＝－2分別交于點(diǎn)M，N．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是__(0，－2±2eq\r(3))__．(第9題)【解析】設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，直線AP，BP的斜率分別為k1，k2，易得k1k2＝eq\f(y0－1,x0)·eq\f(y0＋1,x0)＝eq\f(y\o\al(2,0)－1,x\o\al(2,0))＝－eq\f(1,4)，所以設(shè)AP的方程為y＝k1x＋1，BP的方程為y＝k2x－1＝－eq\f(1,4k1)x－1，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3,k1)，