2024屆四川省內(nèi)江市球溪中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆四川省內(nèi)江市球溪中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（）A． B．C． D．2．已知拋物線（是正常數(shù)）上有兩點(diǎn)、，焦點(diǎn)，甲：；乙：；丙：；丁：.以上是“直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)”的充要條件有幾個(gè)（）A． B． C． D．3．高三(1)班需要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目、2個(gè)舞蹈節(jié)目和l個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）A．800 B．5400 C．4320 D．36004．命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是A． B． C． D．5．一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系是s=5t-t2，則該物體在A．-1m/s B．1m6．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示．則有（）A．B．C．D．7．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為930，下雨的概率為1130，既吹東風(fēng)又下雨的概率為A．89 B．25 C．98．下列推理是歸納推理的是（）A．，為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，得的軌跡為橢圓.B．由，，求出，，，猜想出數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式.C．由圓的面積，猜出橢圓的面積.D．科學(xué)家利用鳥(niǎo)類的飛行原理制造飛機(jī).9．若，則的值為（）A． B． C． D．10．已知隨機(jī)變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．11．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,且,弦過(guò)點(diǎn),則的周長(zhǎng)為()A． B． C． D．12．是第四象限角，,，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)___．14．已知集合，且下列三個(gè)關(guān)系：有且只有一個(gè)正確，則函數(shù)的值域是_______．15．如果球的體積為，那么該球的表面積為_(kāi)_______16．如圖為某幾何體的三視圖，則其側(cè)面積為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(Ⅰ)求直線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.18．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.19．（12分）已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，求z.20．（12分）阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過(guò)卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生，請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”，少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下：0項(xiàng)1項(xiàng)2項(xiàng)3項(xiàng)4項(xiàng)5項(xiàng)5項(xiàng)以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？比較了解不太了解合計(jì)理科生文科生合計(jì)（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；（ii）從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人，用表示這3人中文科生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.21．（12分）如圖，圓錐的展開(kāi)側(cè)面圖是一個(gè)半圓，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，為母線的中點(diǎn)，已知過(guò)與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)、為對(duì)稱軸的拋物線的一部分．（1）證明：圓錐的母線與底面所成的角為；（2）若圓錐的側(cè)面積為，求拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．22．（10分）如圖，已知海島與海岸公路的距離為，，間的距離為，從到，需先乘船至海岸公路上的登陸點(diǎn)，船速為，再乘汽車至，車速為，設(shè).（1）用表示從海島到所用的時(shí)間，并指明的取值范圍；（2）登陸點(diǎn)應(yīng)選在何處，能使從到所用的時(shí)間最少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【題目詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：，所以曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法，熟練掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)結(jié)論成立時(shí)，實(shí)數(shù)的值，可以得出“直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)”的充要條件的個(gè)數(shù).【題目詳解】設(shè)直線的方程為，則直線交軸于點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，，由韋達(dá)定理得，.對(duì)于甲條件，，得，甲條件是“直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)”的必要不充分條件；對(duì)于乙條件，，得，此時(shí)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，乙條件是“直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)”的充要條件；對(duì)于丙條件，，即，解得或，所以，丙條件是“直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)”的必要不充分條件；對(duì)于丁條件，，化簡(jiǎn)得，得，所以，丁條件是“直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)”的必要不充分條件.綜上所述，正確的結(jié)論只有個(gè)，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線的綜合問(wèn)題，同時(shí)也考查了充分必要條件的判定，解題時(shí)要假設(shè)直線的方程，并將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.3、D【解題分析】先排4個(gè)音樂(lè)節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目共有種排法，再?gòu)?個(gè)節(jié)目的6隔空插入兩個(gè)不同的舞蹈節(jié)目有種排法，∴共有種排法，故選D4、B【解題分析】

根據(jù)題意可知，利用參數(shù)分離的方法求出使命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的的取值范圍，的取值范圍構(gòu)成的集合應(yīng)為正確選項(xiàng)的真子集，從而推出正確結(jié)果．【題目詳解】命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題根據(jù)選項(xiàng)滿足是的必要不充分條件只有，故答案選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡(jiǎn)單的不等式恒成立問(wèn)題以及求一個(gè)命題的必要不充分條件．5、A【解題分析】

先對(duì)s求導(dǎo)，然后將t=3代入導(dǎo)數(shù)式，可得出該物體在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度?！绢}目詳解】對(duì)s=5t-t2求導(dǎo)，得s'因此，該物體在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度為-1m/s，故選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查瞬時(shí)速度的概念，考查導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解題分析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于對(duì)稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點(diǎn)越底且彎曲較平緩；反過(guò)來(lái)，越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭，選A．7、A【解題分析】

利用條件概率的計(jì)算公式即可得出．【題目詳解】設(shè)事件A表示某地四月份吹東風(fēng)，事件B表示四月份下雨．根據(jù)條件概率計(jì)算公式可得在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率P(B|A)=8故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查條件概率的計(jì)算，正確理解條件概率的意義及其計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

根據(jù)歸納推理的定義即可選出答案。【題目詳解】歸納推理是由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。A為演繹推理B為歸納推理C為類比推理D為類比推理故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，屬于簡(jiǎn)單題。9、A【解題分析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2選A10、C【解題分析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.11、D【解題分析】

求得橢圓的a，b，c，由橢圓的定義可得△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，計(jì)算即可得到所求值．【題目詳解】由題意可得橢圓+=1的b=5，c=4，a==，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的周長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和方程，定義法解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得到，求解，再根據(jù)題意，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，由同角三角函?shù)基本關(guān)系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查已知正切求正弦，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2；【解題分析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【題目詳解】因?yàn)椋讲?【題目點(diǎn)撥】本題考查平均數(shù)與方差公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.14、【解題分析】分析：根據(jù)集合相等的條件，列出a、b、c所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出a，b，c的值，結(jié)合的最值即可求出函數(shù)的值域．詳解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情況：當(dāng)a=2時(shí)，b=3、c=4時(shí)，a≠3，b=3，c≠4都正確，不滿足條件．當(dāng)a=2時(shí)，b=4、c=3時(shí)，a≠3成立，c≠4成立，此時(shí)不滿足題意；當(dāng)a=3時(shí)，b=2、c=4時(shí)，都不正確，此時(shí)不滿足題意；當(dāng)a=3時(shí)，b=4、c=2時(shí)，c≠4成立，此時(shí)滿足題意；當(dāng)a=4時(shí)，b=2，c=3時(shí)，a≠3，c≠4成立，此時(shí)不滿足題意；當(dāng)a=4時(shí)，b=3、c=2時(shí)，a≠3，b=3成立，此時(shí)不滿足題意；綜上得，a=3、b=4、c=2，則函數(shù)=，當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）=2x＞24=16，當(dāng)x≤4時(shí)，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，綜上f（x）≥3，即函數(shù)的值域?yàn)閇3，+∞），故答案為[3，+∞）．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的值域的計(jì)算，根據(jù)集合相等關(guān)系以及命題的真假條件求出a，b，c的值是解決本題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

根據(jù)球的體積公式：求出球的半徑，然后由表面積公式：即可求解。【題目詳解】，又因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋骸绢}目點(diǎn)撥】本題考查球的體積、表面積公式，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為圓錐，利用底面半徑和高可求得母線長(zhǎng)；根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可直接求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為底面半徑為，高為的圓錐圓錐的母線長(zhǎng)為：圓錐的側(cè)面積：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐側(cè)面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，考查學(xué)生對(duì)于圓錐側(cè)面積公式的掌握情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)5【解題分析】

(Ⅰ)直線的普通方程為，可以確定直線過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為，這樣可以直接寫(xiě)出參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)利用，把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的意義，可以求出的值.【題目詳解】解:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)曲線的普通方程為將直線的參數(shù)方程代入曲線中，得，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是，則，【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標(biāo)方程問(wèn)題，同時(shí)也考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線參數(shù)方程的幾何意義.18、（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）計(jì)算導(dǎo)數(shù)，采用分類討論的方法，，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算最值，然后與比較大小，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋偃簦磿r(shí)，則，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為；②若，時(shí)，令的兩根為，，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.③當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，.則則要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點(diǎn)存在定理可知：在上唯一實(shí)根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為.因?yàn)?，?dāng)，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于分類討論思想的應(yīng)用，同時(shí)掌握構(gòu)造函數(shù)，化繁為簡(jiǎn)，考驗(yàn)分析能力以及極強(qiáng)的邏輯推理能力，綜合性較強(qiáng)，屬難題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用純虛數(shù)的定義設(shè)出并表示即可求解.（2）代入和，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【題目詳解】（1）設(shè)，則由題意得.∴∴（2）∵∴【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)四則運(yùn)算，純虛數(shù)的概念等知識(shí)，是基礎(chǔ)題20、(1)見(jiàn)解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）寫(xiě)出列聯(lián)表后可計(jì)算，根據(jù)預(yù)測(cè)值表可得沒(méi)有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).（2）（i）文科生與理科生的比為，據(jù)此可計(jì)算出文科生和理科生的人數(shù).（ii）利用超幾何分布可計(jì)算的分布列及其數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：（1）依題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下：比較了解不太了解合計(jì)理科生422870文科生121830合計(jì)5446100計(jì)算，沒(méi)有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).（2）（i）抽取的文科生人數(shù)是（人），理科生人數(shù)是（人）.（ii）的可能取值為0,1,2,3，則，，，.其分布列為0123所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣及超幾何分布，注意在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí)，注意利用常見(jiàn)的概率分布列來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）．21、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）設(shè)底面圓的半徑為,圓錐的母線,因?yàn)閳A錐的側(cè)