2024屆北京海淀北京科技大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆北京海淀北京科技大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知x,y的取值如下表，從散點(diǎn)圖知，x,y線性相關(guān)，且y=0.6x+a，則下列說法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過點(diǎn)(2.2,2.2)B．x每增加1個單位，y就增加1個單位C．當(dāng)x=5時，y的預(yù)報值為3.7D．x每增加1個單位，y就增加0.7個單位2．已知集合，集合滿足，則集合的個數(shù)為A． B． C． D．3．用反證法證明命題“若，則”時，正確的反設(shè)為（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥04．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．35．若是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，則（）A．， B．，C．， D．，6．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．7．在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．8．在公差為的等差數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為

A． B． C． D．10．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，若f(x)+fA．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,1) D．(1,+∞)11．設(shè)函數(shù)，滿足，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則下列一定錯誤的是()A． B． C． D．12．已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說法，其中錯誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點(diǎn)在同一個圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是以為直徑的半圓弧上的動點(diǎn)，為圓心，為中點(diǎn)，若，則__________．14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是橢圓：上第一象限的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為__________．15．已知復(fù)數(shù)z滿足，若z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是______；16．根據(jù)所示的偽代碼，若輸入的的值為-1,則輸出的結(jié)果為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè).(1)若,且是實系數(shù)一元二次方程的一根,求和的值；(2)若是純虛數(shù),已知時,取得最大值,求；(3)肖同學(xué)和謝同學(xué)同時獨(dú)立地解答第（2）小題,己知兩人能正確解答該題的概率分別是0.8和0.9,求該題能被正確解答的概率.18．（12分）數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．（12分）為了調(diào)查中學(xué)生每天玩游戲的時間是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)其日均玩游戲的時間繪制了如下的頻率分布直方圖.（1）求所調(diào)查學(xué)生日均玩游戲時間在分鐘的人數(shù)；（2）將日均玩游戲時間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“游戲迷”，已知“游戲迷”中女生有6人；①根據(jù)已知條件，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“游戲迷”和性別關(guān)系；非游戲迷游戲迷合計男女合計②在所抽取的“游戲迷”中按照分層抽樣的方法抽取10人，再在這10人中任取9人進(jìn)行心理干預(yù)，求這9人中男生全被抽中的概率.附：（其中為樣本容量）.0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．（12分）某企業(yè)甲,乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設(shè)甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨(dú)立的.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得萬元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得利潤萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）在中國綠化基金會的支持下，庫布齊沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的綠化率已達(dá)，從2018年開始，每年將出現(xiàn)這樣的情況，上一年底沙漠面積的被栽上樹改造為綠洲，而同時，上一年底綠洲面積的又被侵蝕，變?yōu)樯衬?（1）設(shè)庫布齊沙漠面積為1，由綠洲面積和沙漠面積構(gòu)成.2017年底綠洲面積為，經(jīng)過1年綠洲面積為，經(jīng)過n年綠洲面積為，試用表示；（2）問至少需要經(jīng)過多少年的努力才能使庫布齊沙漠的綠洲面積超過（年數(shù)取整數(shù)）.22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程即可求得a值，進(jìn)一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．【題目詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過樣本中心點(diǎn)（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當(dāng)x＝5時，y的預(yù)測值為3.1，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是性質(zhì)：線性回歸直線一定過點(diǎn)(x2、D【解題分析】分析：根據(jù)題意得到為的子集，確定出滿足條件的集合的個數(shù)即可詳解：集合，集合滿足，則滿足條件的集合的個數(shù)是故選點(diǎn)睛：本題是基礎(chǔ)題，考查了集合的子集，當(dāng)集合中有個元素時，有個子集。3、C【解題分析】

根據(jù)反證法的要求，反設(shè)時條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，從而得到答案.【題目詳解】命題“若，則”，要用反證法證明，則其反設(shè)需滿足條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，所以正確的反設(shè)為，故選C項.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用反證法證明時，反設(shè)應(yīng)如何寫，屬于簡單題.4、D【解題分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點(diǎn)】余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運(yùn)算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請考生切記！5、B【解題分析】

由題意可知，關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根分別為和，然后利用韋達(dá)定理可求出實數(shù)與的值.【題目詳解】由題意可知，關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根分別為和，由韋達(dá)定理得，解得.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用實系數(shù)方程的虛根求參數(shù)，解題時充分利用實系數(shù)方程的兩個虛根互為共軛復(fù)數(shù)這一性質(zhì)，并結(jié)合韋達(dá)定理求解，也可以將虛根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6、A【解題分析】，令，得：，∴單調(diào)遞減區(qū)間為故選Ａ7、C【解題分析】分析：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設(shè)則，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．詳解：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根據(jù)直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）設(shè)，則，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12=故所求的最小值為故選C．點(diǎn)睛：本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的是一個單位向量，從而可用x，y表示，建立x，y與λ的關(guān)系，解決本題的第二個關(guān)鍵點(diǎn)在于由x=3λ，y=4﹣4λ發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值8、A【解題分析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數(shù)列；若是遞增數(shù)列，則，，推不出，則“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件的判定.9、B【解題分析】由題意，，其中，，且，所以.令，則，為增函數(shù).令，得.所以.時，時,所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時,.故選B.點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將要求的量用一個變量來表示，進(jìn)而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性求最值，本題中有以下幾個難點(diǎn)：（1）多元問題一元化，本題中涉及的變量較多，設(shè)法將多個變量建立等量關(guān)系，進(jìn)而得一元函數(shù)式；（2）含絕對值的最值問題，先研究絕對值內(nèi)的式子的范圍，最后再加絕對值處理.10、B【解題分析】

不等式的exfx<1的解集等價于函數(shù)g(x)=exf(x)圖像在y=1下方的部分對應(yīng)的x的取值集合，那就需要對函數(shù)g(x)=exf(x)的性質(zhì)進(jìn)行研究，將fx+f'x【題目詳解】解：令g(x)=因為f所以，(故g故gx在R又因為f所以，g所以當(dāng)x>0，gx<1，即e故選B.【題目點(diǎn)撥】不等式問題往往可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像問題求解，函數(shù)圖像問題有時借助函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性等）進(jìn)行研究，有時還需要構(gòu)造新的函數(shù).11、C【解題分析】分析：先根據(jù)確定符號取法，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定與可能關(guān)系.詳解：單調(diào)遞增，因為，所以或,根據(jù)零點(diǎn)存在定理得或或,因此選C.點(diǎn)睛：確定零點(diǎn)往往需將零點(diǎn)存在定理與函數(shù)單調(diào)性結(jié)合起來應(yīng)用，一個說明至少有一個，一個說明至多有一個，兩者結(jié)合就能確定零點(diǎn)的個數(shù).12、D【解題分析】由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點(diǎn)都在圓的圓上，其實為圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)．漸近線方程都為，由于實軸長度不同故離心率不同．故本題答案選，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先用中點(diǎn)公式的向量式求出，再用數(shù)量積的定義求出的值．【題目詳解】，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量中的中點(diǎn)公式應(yīng)用以及數(shù)量積的定義．14、【解題分析】分析：的面積的最大值當(dāng)?shù)街本€距離最遠(yuǎn)的時候取得。詳解：，當(dāng)?shù)街本€距離最遠(yuǎn)的時候取得的最大值，設(shè)直線，所以，故的最大值為。點(diǎn)睛：分析題意，找到面積隨到直線距離的改變而改變，建立面積與到直線距離的函數(shù)表達(dá)式，利用橢圓的參數(shù)方程求解距離的最值。本題還可以用幾何法分析與直線平行的直線與橢圓相切時，為切點(diǎn)，到直線距離最大。15、【解題分析】

由復(fù)數(shù)模的幾何意義及橢圓的定義列出不等式求解?！绢}目詳解】表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到和對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為2，它的軌跡是橢圓，則，∵，∴，。故答案為：。【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查橢圓的定義。到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動點(diǎn)軌跡是橢圓時，有一要求就是兩定點(diǎn)間的距離小于這個常數(shù)。16、【解題分析】

通過讀條件語句，該程序是分段函數(shù)，代入即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)偽代碼，可知，當(dāng)時，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查條件程序框圖的理解，難度不大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)；(3).【解題分析】

(1)利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則化簡,再根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的性質(zhì)和根與系數(shù)關(guān)系可以求出和的值；(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,利用復(fù)數(shù)的除法法則和是純虛數(shù),可得出復(fù)數(shù)的實問部和虛部之間的關(guān)系,再由時,取得最大值,這樣可以求出；(3)求出該題不能被正確解答的概率,然后運(yùn)用對立事件概率公式求出該題能被正確解答的概率.【題目詳解】(1).因為是實系數(shù)一元二次方程的一根,所以也是實系數(shù)一元二次方程的一根,因此由根與系數(shù)關(guān)系可知：,所以和的值分別為；(2)設(shè).是純虛數(shù),所以有,它表示以為圓心，2為半徑的圓,的幾何意義是圓上的點(diǎn)到點(diǎn)是距離.在同一條直線上且同向時,取得最大值,因為,所以所以,因此所以(3)該題不能被正確解答的概率為,因此能被正確解答的概率為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的根的性質(zhì)和根與系數(shù)關(guān)系,考查了根據(jù)復(fù)數(shù)的類別求軌跡問題,考查了對立事件的計算公式.18、（1）,；（2）.【解題分析】分析：（1）由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得；再求出和，進(jìn)而求出公比，代入等比數(shù)列的通項公式，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前項和.詳解：解：（1），所以數(shù)列為等差數(shù)列，則；，所以，則.（2），則兩式相減得整理得.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列前項和，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力.錯位相減法是必須掌握的求和方法之一：若，其中是公差為d的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.具體運(yùn)算步驟如下：1、寫出新數(shù)列的和.……（1）2、等式左右同時乘以等比數(shù)列部分的公比.……（2）3、兩式相減.（1）-（2）整理得：注意：首項系數(shù)為正，末項系數(shù)為負(fù)，中間有項.4、求.最后再化簡整理為最簡形式即可.19、（1）人（2）①填表見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“游戲迷”和性別有關(guān).②【解題分析】

（1）計算日均玩游戲時間在分鐘的頻率,再乘以總?cè)藬?shù)即可;（2）①計算“游戲迷”有人，由于“游戲迷”中女生有6人，得男生有14人,即可列表,計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；②利用古典概型求解即可【題目詳解】（1）日均玩游戲時間在分鐘的頻率為，所以，所調(diào)查學(xué)生日均玩游戲時間在分鐘的人數(shù)為.（2）“游戲迷”的頻率為，共有“游戲迷”人，由于“游戲迷”中女生有6人，故男生有14人.①根據(jù)男、女學(xué)生各有50人，得列聯(lián)表如下：非游戲迷游戲迷合計男361450女44650合計8020100.故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“游戲迷”和性別有關(guān).②“游戲迷”中女生有6人，男生有14人，按照分層抽樣的方法抽取10人，則女生有3人，男生有7人.從中任取9人，只剩1人，則共有10種基本情況，記這9人中男生全被抽中為事件A，則有兩名女生被選中,共有種基本情況，因此所求事件A的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了頻率分布直方圖與古典概型的概率計算問題，是基礎(chǔ)題．20、(1)(2)詳見解析【解題分析】試題分析:(1)首先設(shè)出至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件A,包含情況較多,所以要求該事件的概率,考慮求其對立事件,即沒有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功,根據(jù)獨(dú)立試驗同時發(fā)生的概率計算方法即可求的對立事件的概率,再利用互為對立事件概率之間的關(guān)系,即和為,即可求的相應(yīng)的概率.(2)根據(jù)題意,研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果分為四種情況,利用獨(dú)立試驗同時發(fā)生的概率計算方法分別得到每種情況的概率,再根據(jù)題意算出此時的利潤,即可得到關(guān)于利潤的分布列,再利用概率與對應(yīng)的利潤成績之和即可得到數(shù)學(xué)期望.(1)解:設(shè)至少有一組研發(fā)成功的事件為事件且事件為事件的對立事件,則事件為新產(chǎn)品都沒有成功,因為甲,乙成功的概率分別為,則,再根據(jù)對立事件概率之間的概率公式可得,所以至少一種產(chǎn)品研發(fā)成功