2024屆江蘇省泰州市名校數(shù)學高二第二學期期末考試試題含解析

2024屆江蘇省泰州市名校數(shù)學高二第二學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B．C． D．2．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作，若曲線是邊長為的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，且，則=（）A． B．2 C．1 D．04．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．5．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．6．有個人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．7．函數(shù)y＝﹣ln（﹣x）的圖象大致為（）A． B．C． D．8．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．09．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數(shù)之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．10．函數(shù)的部分圖像可能是（）A． B． C． D．11．拋物線的焦點坐標是（）A． B． C． D．12．某學校為解決教師的停車問題，在校內規(guī)劃了一塊場地，劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有()A．種 B．種 C．種 D．種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系xOy中，動點到兩坐標軸的距離之和等于它到定點的距離，記點P的軌跡為，給出下列四個結論：①關于原點對稱；②關于直線對稱；③直線與有無數(shù)個公共點；④在第一象限內，與x軸和y軸所圍成的封閉圖形的面積小于.其中正確的結論是________.（寫出所有正確結論的序號）14．設向量，，若，則實數(shù)的值為________.15．公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在前人的基礎上寫了一部劃時代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當時數(shù)學家們所研究的六大軌跡問題，其中之一便是“到兩個定點的距離之比等于不為1的常數(shù)的軌跡是圓”，簡稱“阿氏圓”．用解析幾何方法解決“到兩個定點，的距離之比為的動點軌跡方程是：”，則該“阿氏圓”的圓心坐標是______，半徑是_____．16．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件.再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件.給出下列結論：①P（B）25；②P（B|A1）511；③事件B與事件A1相互獨立；④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1,A2,A3中究竟哪一個發(fā)生有關；其中正確的有（）②④①③②④⑤②③④⑤三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.18．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點是的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）已知的內角所對的邊分別為，且.（1）若，角，求角的值；（2）若的面積，，求的值.20．（12分）已知函數(shù)，為的導數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點；（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且求證：平面BDEF；求二面角的余弦值．22．（10分）如圖，直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且.分別為的中點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

求導得到，函數(shù)單調遞減，故，解得答案.【題目詳解】，則恒成立，故函數(shù)單調遞減，，故，解得或.故選：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)單調性，根據(jù)單調性解不等式，意在考查學生對于函數(shù)性質的靈活運用.2、D【解題分析】

根據(jù)可畫出滿足題意的點所構成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個構成部分的面積，加和得到結果.【題目詳解】由定義可知，若曲線為邊長為的等邊三角形，則滿足題意的點構成如下圖所示的陰影區(qū)域其中，，，，，，又又陰影區(qū)域面積為：即點集所表示的圖形的面積為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查新定義運算的問題，關鍵是能夠根據(jù)定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點的最小距離小于等于的點所構成的區(qū)域，易錯點是忽略三角形內部的點，造成區(qū)域缺失的情況.3、D【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，結合條件，可求出實數(shù)的值．【題目詳解】因為，所以，解得，故選D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的計算，考查導數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的導數(shù)，考查運算求解能力，屬于基礎題．4、A【解題分析】因，故當時，函數(shù)單調遞增，應選答案A。5、B【解題分析】

由復數(shù)的除法運算法則化簡，由此可得到復數(shù)【題目詳解】由題可得；；故答案選B【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的除法運算法則，屬于基礎題。6、C【解題分析】總排法數(shù)為，故選C．點睛：本題是排列中的相鄰問題，用“捆綁法”求解，解決此問題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個人，和其他3人看作是4人進行排列，第二步這三人之間也進行排列，然后用乘法原理可得解．7、C【解題分析】

分析函數(shù)的定義域，利用排除法，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，所以可排除A、B、D，故選C．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別問題，其中解答中合理使用函數(shù)的性質，利用排除法求解是解答的關鍵，著重考查了判斷與識別能力，屬于基礎題．8、B【解題分析】分析：復數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，化簡為的形式，利用復數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點睛：本題主要考查了復數(shù)相等的充要條件，運用復數(shù)的乘除法運算法則求出復數(shù)的表達式，令其實部與虛部分別相等即可求出答案．9、A【解題分析】

陽數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應概率.【題目詳解】因為陽數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.【題目點撥】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.10、B【解題分析】

先判斷函數(shù)奇偶性，再根據(jù)存在多個零點導致存在多個零點，即可判斷出結果.【題目詳解】∵，∴為奇函數(shù)，且存在多個零點導致存在多個零點，故的圖像應為含有多個零點的奇函數(shù)圖像.故選B.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，熟記函數(shù)性質即可，屬于?？碱}型.11、A【解題分析】分析：先把拋物線的方程化成標準方程，再求其焦點坐標.詳解：由題得，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)研究圓錐曲線時，首先一般把曲線的方程化成標準方程再研究.12、A【解題分析】根據(jù)題意，要求有4個空車位連在一起，則將4個空車位看成一個整體，將這個整體與8輛不同的車全排列,有種不同的排法，即有種不同的停車方法；故選A.點睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③④【解題分析】

由題意可得當xy≥0，可得xy+x+y﹣1＝0，當xy＜0時，﹣xy+x+y﹣1＝0，畫出P的軌跡圖形，由圖形可得不關于原點對稱，關于直線y＝x對稱，且直線y＝1與曲線有無數(shù)個公共點；曲線在第一象限與坐標軸圍成的封閉圖形的面積小于邊長為1的等腰三角形的面積，即可得到正確結論個數(shù)．【題目詳解】解：動點P（x，y）到兩坐標軸的距離之和等于它到定點A（1，1）的距離，可得|x|+|y|，平方化為|xy|+x+y﹣1＝0，當xy≥0，可得xy+x+y﹣1＝0，即y，即y＝﹣1，當xy＜0時，﹣xy+x+y﹣1＝0，即有（1﹣x）y＝1﹣x．畫出動點P的軌跡為圖：①Γ關于原點對稱，不正確；②Γ關于直線y＝x對稱，正確；③直線y＝1與Γ有無數(shù)個公共點，正確；④在第一象限內，Γ與x軸和y軸所圍成的封閉圖形的面積小于，正確．故答案為：②③④．【題目點撥】本題考查曲線的方程和圖形，考查曲線的性質，畫出圖形是解題的關鍵，屬于中檔題．14、或.【解題分析】

由公式結合空間向量數(shù)量積的坐標運算律得出關于實數(shù)的方程，解出該方程可得出實數(shù)的值.【題目詳解】，，，，，，則，解得或.故答案為或.【題目點撥】本題考查空間向量數(shù)量積的坐標運算，解題的關鍵就是利用空間向量數(shù)量積的坐標運算列出方程求解，考查運算求解能力，屬于中等題.15、2【解題分析】

將圓化為標準方程即可求得結果.【題目詳解】由得：圓心坐標為：，半徑為：本題正確結果：；【題目點撥】本題考查根據(jù)圓的方程求解圓心和半徑的問題，屬于基礎題.16、②④【解題分析】試題解析：：由題意可知A1,A2,AP(B|A3=P(A1)P(B|A1考點：相互獨立事件，條件概率．【方法點晴】本題主要考查了相互獨立事件，條件概率的求法等，解題的關鍵是理解題設中的各個事件，且熟練掌握相互獨立事件的概率公式，本題較為復雜，正確理解事件的內涵是解題的突破點．解答本題的關鍵是在理解題意的基礎上判斷出A1,A2,A3是兩兩互斥的事件，根據(jù)條件概率公式得到P(B|A1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面內作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設是平面的法向量，則即可取.設是平面的法向量，則即可取.則，所以二面角的余弦值為.【名師點睛】高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關鍵是轉化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關鍵是轉化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵.18、(1).(2).【解題分析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標系，求出，D，M四點的坐標寫出對于的向量坐標，然后根據(jù)向量的夾角公式求解即可；（2）先根據(jù)坐標系求出平面的法向量，然后寫出向量，在根據(jù)向量夾角公式即可求解.詳解：在正四棱柱中，以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系．因為，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．(2)，設平面的一個法向量為．則，得，取，得，，故平面的一個法向量為．于是，所以直線與平面所成角的正弦值為．點睛：考查線線角，線面角對于好建空間坐標系的立體幾何題則首選向量做法，直接根據(jù)向量求解解題思路會比較簡單，但要注意坐標的準確性和向量夾角公式的熟悉，屬于基礎題.19、（1）或.(2)【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理，求得，進而可求解角B的大??；（2）根據(jù)三角函數(shù)的基本關系式，求得，利用三角形的面積公式和余弦定理，即可求解?！绢}目詳解】（1）根據(jù)正弦定理得，.，，或.（2），且，.，，.由正弦定理，得.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關鍵．其中在中，通常涉及三邊三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解題分析】

（Ⅰ）將代入求出切點坐標，由題可得，將代入求出切線斜率，進而求出切線方程．（Ⅱ）設，則，由導函數(shù)研究的單調性進，而得出答案．（Ⅲ）題目等價于，易求得，利用單調性求出的最小值，列不等式求解．【題目詳解】（Ⅰ），所以，即切線的斜率，且，從而曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）設，則.當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.又，故在存在唯一零點.所以在存在唯一零點.（Ⅲ）由已知，轉化為，且的對稱軸所以.由(Ⅱ)知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.又，所以當時，.所以，即，因此，的取值范圍是.【題目點撥】導數(shù)是高考的重要考點，本題考查導數(shù)的幾何意義，利用單調性解決函數(shù)的恒成立問題，存在性問題等，屬于一般題．21、（1）見證明；（2）