江西省上饒市橫峰中學、鉛山一中、余干一中2024屆數(shù)學高二第二學期期末教學質量檢測試題含解析

江西省上饒市橫峰中學、鉛山一中、余干一中2024屆數(shù)學高二第二學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數(shù)列的前項和，若，則()A．8 B．10 C．12 D．142．宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．93．把圓x2+(y-2)A．線段 B．等邊三角形C．直角三角形 D．四邊形4．曲線在處的切線與直線垂直，則（）A．-2 B．2 C．-1 D．15．已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．6．下列說法中正確的是（）①相關系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，越接近于，相關性越弱；②回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心；③隨機誤差滿足，其方差的大小用來衡量預報的精確度；④相關指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越好.A．①② B．③④ C．①④ D．②③7．在二項式的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256，則展開式的中間項的系數(shù)為（）A． B． C． D．8．若復數(shù)，則復數(shù)在復平面內的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．設復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)的虛部為（）A．1 B．-1 C． D．10．函數(shù)的遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．11．已知直線是圓的對稱軸，則實數(shù)()A． B． C．1 D．212．點A、B在以PC為直徑的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面積是24π，則異面直線PB和AC所成角余弦值為（）A．33 B．32 C．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)列中，已知，50為第________項.14．已知函數(shù)在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是______.15．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32，則________．16．已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(Ⅰ)求直線的參數(shù)方程和極坐標方程；(Ⅱ)設直線與曲線相交于兩點，求的值.18．（12分）食品安全一直是人們關心和重視的問題，學校的食品安全更是社會關注的焦點.某中學為了加強食品安全教育，隨機詢問了36名不同性別的中學生在購買食品時是否看保質期，得到如下“性別”與“是否看保質期”的列聯(lián)表：男女總計看保質期822不看保持期414總計（1）請將列聯(lián)表填寫完整，并根據(jù)所填的列聯(lián)表判斷，能否有的把握認為“性別”與“是否看保質期”有關？（2）從被詢問的14名不看保質期的中學生中，隨機抽取3名，求抽到女生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.附：，（）.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點分別為，以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設不過原點的直線與橢圓C交于兩點,若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；20．（12分）觀察下列等式：；；；；……（1）照此規(guī)律，歸納猜想第個等式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想.21．（12分）平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出直線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程；（2）已知與直線平行的直線過點，且與曲線交于兩點，試求．22．（10分）在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形和四邊形都是正方形，且邊長為，是的中點.（1）求證：直線平面；（2）求二面角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：假設公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數(shù)列的性質.2、B【解題分析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【題目詳解】當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，不滿足進行循環(huán)的條件；故選：B【題目點撥】本題主要考查程序框圖，解題的關鍵是讀懂流程圖各個變量的變化情況，屬于基礎題.3、B【解題分析】

通過聯(lián)立方程直接求得交點坐標，從而判斷圖形形狀.【題目詳解】聯(lián)立x2+(y-2)2=1與x2【題目點撥】本題主要考查圓與橢圓的交點問題，難度不大.4、B【解題分析】分析：先求導，然后根據(jù)切線斜率的求法得出切線斜率表達式，再結合斜率垂直關系列等式求解即可.詳解：由題可知：切線的斜率為：由切線與直線垂直，故，故選B.點睛：考查切線斜率的求法，直線垂直關系的應用，正確求導是解題關鍵，注意此題導數(shù)求解時是復合函數(shù)求導，屬于中檔題.5、D【解題分析】

根據(jù)所給的二項式，利用二項展開式的通項公式寫出第項，整理成最簡形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結果．【題目詳解】二項展開式通項為，令，得，由題意得，解得.故選：D.【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，本題解題的關鍵是正確寫出二項展開式的通項，在這種題目中通項是解決二項展開式的特定項問題的工具．6、D【解題分析】

運用相關系數(shù)、回歸直線方程等知識對各個選項逐一進行分析即可【題目詳解】①相關系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，越接近于，相關性越強，故錯誤②回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故正確③隨機誤差滿足，其方差的大小用來衡量預報的精確度，故正確④相關指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故錯誤綜上，說法正確的是②③故選【題目點撥】本題主要考查的是命題真假的判斷，運用相關知識來進行判斷，屬于基礎題7、C【解題分析】

先根據(jù)條件求出，再由二項式定理及展開式通項公式，即可得答案.【題目詳解】由已知可得：，所以，則展開式的中間項為，即展開式的中間項的系數(shù)為1120.故選：C．【題目點撥】本題考查由二項式定理及展開式通項公式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．8、B【解題分析】

把復數(shù)為標準形式，寫出對應點的坐標．【題目詳解】，對應點，在第二象限．故選B．【題目點撥】本題考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．9、A【解題分析】

先求解出的共軛復數(shù)，然后直接判斷出的虛部即可.【題目詳解】因為，所以，所以的虛部為.故選：A.【題目點撥】本題考查共軛復數(shù)的概念以及復數(shù)的實虛部的認識，難度較易.復數(shù)的實部為，虛部為.10、D【解題分析】∵f(x)=lnx?4x+1定義域是{x|x>0}∵當f′(x)>0時,.本題選擇D選項.點睛：(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號．關鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉化為求函數(shù)的最小值問題．(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．11、B【解題分析】

由于直線是圓的對稱軸，可知此直線過圓心，將圓心坐標代入直線方程中可求出的值【題目詳解】解：圓的圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以直線過圓心，所以，解得，故選：B【題目點撥】此題考查直線與圓的位置關系，利用了圓的對稱性求解，屬于基礎題12、C【解題分析】

首先作出圖形，計算出球的半徑，通過幾何圖形，找出異面直線PB和AC所成角，通過余弦定理即可得到答案.【題目詳解】設球O的半徑為R,則4πR2=24π，故R=6，如圖所示：分別取PA,PB,BC的中點M,N,E，連接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因為E為BC的中點，則AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M【題目點撥】本題主要考查外接球的相關計算，異面直線所成角的計算.意在考查學生的空間想象能力，計算能力和轉化能力，難度較大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

方程變?yōu)椋O，解關于的二次方程可求得?！绢}目詳解】，則，即設，則，有或取得，，所以是第4項?！绢}目點撥】發(fā)現(xiàn)，原方程可通過換元，變?yōu)殛P于的一個二次方程。對于指數(shù)結構，，等，都可以通過換元變?yōu)槎涡问窖芯俊?4、【解題分析】

由分段函數(shù)在R上為增函數(shù),則,進而求解即可.【題目詳解】因為在上為增函數(shù),所以,解得,故答案為:【題目點撥】本題考查已知分段函數(shù)單調性求參數(shù)范圍,考查指數(shù)函數(shù)的單調性的應用.15、【解題分析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點：二項式定理．16、【解題分析】分析：求出，由，列出不等式組能求出結果．詳解：根據(jù)題意可得，，由可得即答案為.點睛：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標方程為()(Ⅱ)5【解題分析】

(Ⅰ)直線的普通方程為，可以確定直線過原點，且傾斜角為，這樣可以直接寫出參數(shù)方程和極坐標方程；(Ⅱ)利用，把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中，利用根與系數(shù)的關系和參數(shù)的意義，可以求出的值.【題目詳解】解:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標方程為()(Ⅱ)曲線的普通方程為將直線的參數(shù)方程代入曲線中，得，設點對應的參數(shù)分別是，則，【題目點撥】本題考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標方程問題，同時也考查了直線與圓的位置關系，以及直線參數(shù)方程的幾何意義.18、（1）有的把握認為“性別”與“是否看食品保質期”有關系（1）分布列見解析，【解題分析】（分析：1）將列聯(lián)表填寫完整，求出，然后判斷性別與是否看保質期之間是否有關系．

（1）判斷的取值為0，1，1．3，求出概率，然后得到分布列，求解期望即可．詳解：（1）填表如下：男女總計看保質期81411不看保質期10414總計181836根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得.故有的把握認為“性別”與“是否看食品保質期”有關系.（1）由題意可知，的所有可能取值為，，，，，所以.點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列期望的求法，對立檢驗的應用，考查計算能力．19、（1）（2）線恒過定點，詳見解析【解題分析】

（1）根據(jù)焦距得到，根據(jù)圓心到直線的距離得到，由得到，從而得到橢圓方程；（2）直線，聯(lián)立得到，然后表示，代入韋達定理，得到和的關系，從而得到直線過的定點.【題目詳解】(1)由題意可得，即，由直線與圓相切，可得，解得，即有橢圓的方程為；(2)證明：設，將直線代入橢圓，可得，即有，，由，即有，代入韋達定理，可得，化簡可得，則直線的方程為，即，故直線恒過定點；【題目點撥】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的關系，橢圓中的定點問題，屬于中檔題.20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）第個等式為.(2)利用個數(shù)學歸納法證明猜想.詳解：（1）第個等式為；（2）用數(shù)學歸納法證明如下：①當時，左邊，右邊,所以當時，原等式成立.②假設當時原等式成立，即,則當時，,所以當時，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想對任何都成立.點睛：（1）本題主要考查歸納猜想和數(shù)學歸納法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是證明n=k+1時，=.21、（1）直線的極坐標方程為，曲線的直角坐標方程為．（2）．【解題分析】試題分析：（1）先利用加減消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，再利用，得直線的極坐標方程，最后根據(jù)，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，（2）先根據(jù)點斜式寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長公式求．試題解析：（1）將，代入直線方程得，由可得，曲線的直角坐標方程為．（2）直線的傾斜角為，∴直線的傾斜角也為，又直線過點，∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將其代入曲線的直角坐標方程可得，設點對應的參數(shù)分別為．由一元二次方程的根與系數(shù)的關系知，，∴．22、（1）見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（1）連結交于，根據(jù)平行四邊形性質得是中點，再根據(jù)三角形中位線性質得，最后根據(jù)線面平行判定定理得結論,（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組解各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量