浙江省諸暨市牌頭中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

浙江省諸暨市牌頭中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．3．曲線的圖像（）A．關(guān)于軸對(duì)稱B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但不關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于軸對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱4．設(shè)向量與向量垂直，且，，則下列向量與向量共線的是（）A． B． C． D．5．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．6．已知拋物線，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為（）A． B． C． D．7．已知，，且，則的最大值是()A． B． C． D．8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為()A． B． C． D．9．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4 B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 D．丁地：總體均值為2，總體方差為310．函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后，得到為偶函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．11．同時(shí)具有性質(zhì)“①最小正周期是”②圖象關(guān)于對(duì)稱；③在上是增函數(shù)的一個(gè)函數(shù)可以是（）A． B．C． D．12．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若在(0,2)上有兩個(gè)不同的,則k的取值范圍是_____.14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為____________.15．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足，若時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________．16．已知橢圓，雙曲線.若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓與雙曲線的離心率之積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，.（1）用分析法證明：；（2）用反證法證明：與不能同時(shí)為負(fù)數(shù).18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線：（，為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：．（1）說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）若直線的方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為，，與的交點(diǎn)為，，若的面積為，求的值．19．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）證明：在上存在唯一零點(diǎn)．（2）若，恒成立，求的取值范圍．20．（12分）已知正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使二面角等于60°？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.21．（12分）已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；若在處取得極值，直線y=與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍．22．（10分）某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了月日至月日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期月日月日月日月日月日溫差發(fā)芽數(shù)（顆）該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).（1）求選取的組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰天數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是月日與月日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)月日至月日的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先求出直線和圓相交時(shí)的取值范圍，然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可．【題目詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，直線方程即為，所以圓心到直線的距離，又直線與圓相交，所以，解得．所以在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題以直線和圓的位置關(guān)系為載體考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)公式求解，考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷出該函數(shù)在上為減函數(shù)，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性得出自變量值的關(guān)系從而解出不等式即可．【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，，；；在上單調(diào)遞減；，；由不等式得：；，且；；原不等式的解集為．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解題分析】

構(gòu)造二元函數(shù)，分別考慮與、、、、的關(guān)系，即可判斷出相應(yīng)的對(duì)稱情況.【題目詳解】A．，所以不關(guān)于軸對(duì)稱；B．，，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于直線對(duì)稱；C．，所以不關(guān)于軸對(duì)稱；D．，所以關(guān)于直線對(duì)稱，同時(shí)也關(guān)于直線對(duì)稱.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的綜合應(yīng)用，難度一般.若曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則將曲線中的換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則將曲線中的換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于對(duì)稱，則將曲線中的換成、換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則將曲線中的換成、換成，此時(shí)曲線的方程不變.4、B【解題分析】

先根據(jù)向量計(jì)算出的值，然后寫出的坐標(biāo)表示，最后判斷選項(xiàng)中的向量哪一個(gè)與其共線.【題目詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，解得，所以，則向量與向量共線，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的垂直與共線問題，難度較易.當(dāng)，若，則，若，則.5、C【解題分析】分析：由題意求出，則，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是選C.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，屬基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

首先過作，過作（為準(zhǔn)線），，易得，.根據(jù)直線：與拋物線聯(lián)立得到，根據(jù)焦點(diǎn)弦性質(zhì)得到，結(jié)合已知即可得到，再計(jì)算即可.【題目詳解】如圖所示：過作，過作（為準(zhǔn)線），.因?yàn)?，設(shè)，則，.所以.在中，，所以.則.，直線為.，.所以，.在中，.所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，同時(shí)考查焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，屬于中檔題.7、A【解題分析】

根據(jù)題中條件，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，；又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由基本不等式求最值，熟記基本不等式即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、A【解題分析】

令，這樣原不等式可以轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，并結(jié)合已知條件，可以判斷出的單調(diào)性，利用單調(diào)性，從而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【題目詳解】解:令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造函數(shù)法、求導(dǎo)法解決不等式解集問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力.9、D【解題分析】試題分析：由于甲地總體均值為，中位數(shù)為，即中間兩個(gè)數(shù)（第天）人數(shù)的平均數(shù)為，因此后面的人數(shù)可以大于，故甲地不符合.乙地中總體均值為，因此這天的感染人數(shù)總數(shù)為，又由于方差大于，故這天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位數(shù)為，眾數(shù)為，出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)，故丙地不符合，故丁地符合.考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差10、B【解題分析】

利用三角函數(shù)恒等變換，可得，，利用其為偶函數(shù)，得到，從而求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以的最小值為，故選B.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的圖形平移的問題，在解題的過程中，需要明確平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)其為偶函數(shù)，得到相關(guān)的信息，從而求得結(jié)果.11、B【解題分析】

利用所給條件逐條驗(yàn)證，最小正周期是得出，把②③分別代入選項(xiàng)驗(yàn)證可得.【題目詳解】把代入A選項(xiàng)可得，符合；把代入B選項(xiàng)可得，符合；把代入C選項(xiàng)可得，不符合，排除C；把代入D選項(xiàng)可得，不符合，排除D；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)；故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).12、B【解題分析】解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法．共有2++=1．故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先將含有絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)和二元一次函數(shù)的分段函數(shù)的形式，再利用一元一次函數(shù)與二元一次函數(shù)的單調(diào)性加以解決詳解：不妨設(shè)在是單調(diào)函數(shù)，故在上至多一個(gè)解若則，故不符合題意，由可得，由可得，故答案為點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)問題，求參量的取值范圍，在解答含有絕對(duì)值的題目時(shí)要先去絕對(duì)值，分類討論，然后再分析問題，注意函數(shù)單調(diào)性與奇偶性和零點(diǎn)之間的關(guān)系，適當(dāng)注意函數(shù)的圖像，本題有一定難度14、1【解題分析】

列舉出算法的每一步，于此可得出該算法輸出的結(jié)果．【題目詳解】成立，，，，；不成立，輸出的值為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查算法與程序框圖，要求讀懂程序框圖，解題時(shí)一般是列舉每次循環(huán)，并寫出相應(yīng)的結(jié)果，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．15、2【解題分析】

由題意得：的周期為2，且其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后作出圖象即可.【題目詳解】由題意得：的周期為2，且其圖象關(guān)于軸對(duì)稱函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如下由圖象觀察可知，共有兩個(gè)交點(diǎn)故答案為：2【題目點(diǎn)撥】一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常常是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常見函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.16、【解題分析】

利用條件求出正六邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率，利用漸近線的夾角求雙曲線的離心率，從而得出答案?！绢}目詳解】如圖正六邊形中，，直線即雙曲線的漸近線方程為，由橢圓的定義可得，所以橢圓的離心率，雙曲線的漸近線方程為，則，雙曲線的離心率，所以橢圓與雙曲線的離心率之積為【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的定義和離心率，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于一般題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解題分析】分析：（1）利用分析法，原命題等價(jià)于證明，則題中的結(jié)論成立.（2）假設(shè)與同時(shí)為負(fù)數(shù)，而，與假設(shè)矛盾，則題中的結(jié)論成立.詳解：（1）因?yàn)?，，要證：，只需證：，只需證：，即證：，即證：，顯然上式恒成立，故.（2）設(shè)與同時(shí)為負(fù)數(shù)，則（1），所以，與（1）式矛盾，所以假設(shè)不成立，所以與不能同時(shí)為負(fù)數(shù).點(diǎn)睛：本題主要考查分析法、反證法證明不等式的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和邏輯思維能力.18、(1)是以為圓心，為半徑的圓.的極坐標(biāo)方程.(2)【解題分析】

（1）消去參數(shù)得到的普通方程.可得的軌跡.再將，帶入的普通方程，得到的極坐標(biāo)方程.（2）先得到的極坐標(biāo)方程，再將，代入，解得，，利用三角形面積公式表示出的面積，進(jìn)而求得a.【題目詳解】(1)由已知得：平方相加消去參數(shù)得到=1，即，∴的普通方程：.∴是以為圓心，為半徑的圓.再將，帶入的普通方程，得到的極坐標(biāo)方程.（2）的極坐標(biāo)方程，將，代入，解得，，則的面積為，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程、普通方程與極坐標(biāo)方程的互化，考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

(1)求出,設(shè)，求,由的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理說明在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),即證得在上存在唯一零點(diǎn).(2)將恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最值即可.【題目詳解】（1）證明：設(shè)，則，．令，則．∵當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)，且，，∴存在，使得，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又∵，，∴在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．（2）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．設(shè)，，即，∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴．綜上所述，的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題,難度較大.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接，由為正三棱柱為正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).由丄平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為．試題解析：（Ⅰ）證明：連接，因?yàn)闉檎庵?，所以為正三角形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因?yàn)?，所以，所以在中，，在中，，所以，?又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).取的中點(diǎn)，連接，則丄平面，所以，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，同理，平面的一個(gè)法向量為，則，取，∴.∴，解得，故存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.21、【解題分析】

解：（Ⅰ），

①當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)