專題13拋物線（2個知識點2個拓展2個突破7種題型4個易錯點）（原卷版）

專題13拋物線（2個知識點2個拓展2個突破7種題型4個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.拋物線的概念知識點2拋物線的簡單幾何性質拓展1.求拋物線的標準方程拓展2.拋物線焦點線的性質突破1.與拋物線有關的最值問題突破2.直線與拋物線的位置關系【方法二】實例探索法題型1.拋物線的定義題型2.拋物線的標準方程的理解題型3.拋物線定義的應用之距離轉化題型4.拋物線定義的應用之距離最值題型5.拋物線性質的應用題型6.焦點弦的性質題型7.直線與拋物線的位置關系【方法三】差異對比法易錯點1.忽視定義中的限制條件而致錯易錯點2.忽略方程標準形式的特征而致錯易錯點3.忽視點與拋物線的位置關系而致錯易錯點4.忽略焦點的位置而致錯【方法五】成果評定法【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.拋物線的概念1．拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程圖形標準方程焦點坐標準線方程y2＝2px(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(－p,2)))y＝eq\f(p,2)【例1】．（2023上·北京·高二北京市第三十五中學?？茧A段練習）點P是拋物線y2=4x上一點，P到該拋物線焦點的距離為4，則點P的橫坐標為（A．2 B．3 C．4 D．5知識點2拋物線的簡單幾何性質1．拋物線的幾何性質標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形性質焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e＝12.焦點弦直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直線與拋物線的位置關系直線與拋物線有三種位置關系：相離、相切和相交．設直線y＝kx＋m與拋物線y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，將y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化簡，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①k＝0時，直線與拋物線只有一個交點；②k≠0時，Δ＞0?直線與拋物線相交?有兩個公共點．Δ＝0?直線與拋物線相切?只有一個公共點．Δ＜0?直線與拋物線相離?沒有公共點．拓展1.求拋物線的標準方程【例2】．（2023上·廣東廣州·高二廣州市真光中學?？茧A段練習）已知拋物線C上的點到F1,0的距離等于到直線x(1)求拋物線C的標準方程；(2)過點D6,0的直線l與C交于A,B兩點，且以AB為直徑的圓過F點，求直線l拓展2.拋物線焦點弦的性質【例3】．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點（點A在第一象限），若點D為拋物線C的準線上一點，且AF=ADA．-22 B．-2 C．-3突破1.與拋物線有關的最值問題【例4】．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0)，點P(1)若點M(4,2)，求|PM|+|PF|的最小值．(2)若過點P作斜率為k(k>0)，-k的兩條直線l1，l2，分別與C交于點A，B（異于點P），并記△ABP的垂心為H，是否存在實數(shù)k，使得點H始終在拋物線突破2.直線與拋物線的位置關系【例5】．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過點M(1,3)的直線l在x軸上方與拋物線C相交于不同的A，B兩點，若BF【方法二】實例探索法題型1.拋物線的定義1．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習）若拋物線C：x2=2py（p>0）上的一點Px(1)求C的標準方程；(2)若過點Q0,6的直線l與拋物線C相交于A，B點，證明1題型2.對拋物線的標準方程的理解2．（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）設A，B為拋物線C：y2=2px（p>0）上兩點，直線AB的斜率為4，且A與B的縱坐標之和為(1)求拋物線C的方程；(2)已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，直線l交拋物線C于M，N兩點（異于點O），以MN為直徑的圓經(jīng)過點O，求△FMN面積的最小值．題型3.拋物線定義的應用之距離轉化3．（2024·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，拋物線y2=4x的焦點為F，A，B是拋物線上兩個不同的點，M為線段AB的中點，則（A．若AB≥6，則M到準線距離的最小值為B．若OA?OB=12，且C．若AB過焦點F，AB=8，C為直線AB左側拋物線上一點，則△ABC面積的最大值為D．若OA⊥OB，則O到直線AB距離的最大值為4題型4.拋物線定義的應用之距離最值4．（2023上·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學?？计谥校佄锞€C:x2=2py的焦點為F、P為其上一動點，當P運動到t,1時，PF=2，直線l與拋物線相交于A、B兩點，點A．拋物線的方程為xB．PM+PFC．當直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與x軸相切D．存在直線l，使得A,B兩點關于x+y-5=0對稱題型5.拋物線性質的應用5．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預測）已知Q3,3,M為拋物線C1:y2=8x上一動點，NA．5 B．4 C．3 D．2題型6.焦點弦的性質6．（2023·四川綿陽·三臺中學?？寄M預測）已知拋物線C:y=28x2的焦點為F,O為坐標原點，P為拋物線C上一點，且滿足PF=3題型7.直線與拋物線的位置關系7．（2023上·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區(qū)紅橋高級中學?？茧A段練習）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，經(jīng)過點F的直線l與拋物線C交于A,B(1)若直線l的斜率為3，求|AF||FB|(2)求線段AB的長度的最小值．【方法三】差異對比法易錯點1.忽視定義中的限制條件而致錯1．（2024上·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交C的準線l:x=-1于點N，若FM=1A．32 B．2 C．53 D易錯點2.忽略方程標準形式的特征而致錯2．（2024·全國·模擬預測）已知F是拋物線E：x2=2pyp>0的焦點，Mx0,4是拋物線E上一點，N0,7與點F不重合，點F(1)求拋物線E的標準方程；(2)若過點0,2的直線與拋物線E交于A，B兩點，求FA?易錯點3.忽視點與拋物線的位置關系而致錯3．（2024·全國·模擬預測）已知點M是拋物線C：y2=4x上的動點，過點M作圓D：x-42+y2=1易錯點4.忽略焦點的位置而致錯4．（2023上·天津·高二天津市新華中學?？茧A段練習）斜率為k的直線l過拋物線y2=4x的焦點，若被拋物線截得弦長為8，則k=【方法五】成果評定法一、單選題1．已知點是拋物線上一點，且它在第一象限內，焦點為坐標原點，若，，則此拋物線的準線方程為（

）A． B．C． D．2．（2023上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線，其焦點為F，P是拋物線C上的動點，若點，點Q在以FM為直徑的圓上，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．93．（2021·高二課時練習）如圖，在同一平面內，，為兩個不同的定點，圓和圓的半徑都為，射線交圓于點，過點作圓的切線，當變化時，與圓的公共點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線4．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為（

）A．6 B．9 C．12 D．155．（2021·高二課時練習）若拋物線的準線方程為,則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．6．（2020·高二課時練習）已知拋物線的焦點為，為原點，點是拋物線的準線上的一動點，點在拋物線上，且，則的最小值為（）A． B． C． D．7．（2022·高二單元測試）在平面直角坐標系中，下列結論正確的有（

）個

①過雙曲線右焦點的直線被雙曲線所截線段長的最小值為②方程表示的曲線是雙曲線③若動圓過點且與直線相切，則圓心的軌跡是拋物線④若橢圓的離心率為，則實數(shù)A． B． C． D．8．已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（

）A． B．4 C．3 D．5二、多選題9．（2021·高二課時練習）（多選）設動點B，C在拋物線上，點，直線AB，AC的傾斜角互補，BC中點的縱坐標為，則可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．610．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）記的圖象為，如圖，一光線從x軸上方沿直線射入，經(jīng)過上點反射后，再經(jīng)過上點反射后經(jīng)過點P，直線交直線于點Q，下面說法正確的是（

）A． B．C．以為直徑的圓與直線相切 D．P，N，Q三點共線11．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）若方程表示的曲線為E，則下列說法正確的是（

）A．曲線E可能為拋物線 B．當時，曲線E為圓C．當或時，曲線E為雙曲線 D．當時，曲線E為橢圓12．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C的標準方程為，O為坐標原點，直線l為其準線，點A，B是C上的兩個動點（不是原點O），線段與x軸交于點M，連接并延長交準線于點D，則（

）A．若點M為C的焦點，則直線平行于x軸B．若點M為C的焦點，則線段的長度的最小值為4C．若，則點M為C的焦點D．若與的面積之積為定值，則點M為C的焦點三、填空題13．（2020上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線上的兩個不同動點，點，若直線和的傾斜角互補，則線段的中點的軌跡方程為.14．（2023上·江西新余·高二?？茧A段練習）已知拋物線，過焦點的直線與拋物線交于、兩點，若，則此直線的斜率=.15．（2021·高二課時練習）已知圓x2+y26x7=0與拋物線y2=2ax的準線相切，則實數(shù)a的值為.16．（2020上·重慶云陽·高二重慶市云陽江口中學校?？茧A段練習）已知拋物線方程為，則拋物線焦點坐標為．四、解答題17．（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）經(jīng)過拋物線焦點的直線交該拋物線于兩點．(1)若直線的斜率是，求的值；(2)若是坐標原點，求的值．18．（2023上·湖北·高二宜昌市一中校聯(lián)考階段練習）已知直線：與拋物線：恒有兩個交點．(1)求的取值范圍；(2)當時，直線過拋物線的焦點，求此時線段的長度．19．（2023上·安徽滁州·高二校考階段練習）已知圓的圓心是拋物線的焦點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于兩點，且點是弦的中點，求直線的方程．20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）為拋物線上一點，過作兩條關于對稱的直線分別交于兩點．(1)求的值及的準線方程；