中考數(shù)學(xué)思想方法 【數(shù)形結(jié)合】數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想（學(xué)生版+解析版）

數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向.

(2)數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理

數(shù).(一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù).)

(3)用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

2.絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù).

(2)如果用字母”表示有理數(shù)，則數(shù)“絕對值要由字母a本身的取值來確定：

①當(dāng)a是正有理數(shù)時，〃的絕對值是它本身a；

②當(dāng)。是負(fù)有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)-a；

③當(dāng)〃是零時，a的絕對值是零.

即⑷=伍(a>0)0(a=0)-a(a<0)

3.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值

在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則

其中的每一項都必須等于0.

根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值.

4.有理數(shù)大小比較

(1)有理數(shù)的大小比較

比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序(在數(shù)軸上表示

的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大)；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小，

利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小.

(2)有理數(shù)大小比較的法則：

①正數(shù)都大于0；

②負(fù)數(shù)都小于0；

③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

④兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小.

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

I.法則比較：正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對

值大的反而小.

2.數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù).

3.作差比較：

若4-b>0,則a>b；

若a-b<0,則a<b；

若a-b=0,則a—b.

5.實數(shù)與數(shù)軸

(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系.

任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).數(shù)軸

上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)?

的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左

邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小.

6.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字

與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運算，從而得出通項公式.

(2)利用方程解決問題.當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x,再利用它們

之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程.

7.兩點間的距離

(1)兩點間的距離

連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.

(2)平面上任意兩點間都有一定距離,它指的是連接這兩點的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時，

注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖

形.線段的長度才是兩點的距離.可以說畫線段，但不能說畫距離.

8.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀

化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了

數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）

函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有

明顯的幾何意義。如等式。

3.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

一.選擇題（共11小題）

1.（2021秋?七星關(guān)區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上的兩點A、3表示的數(shù)分別為。、b,下列結(jié)

論正確的是（）

d,.3,一

a-10b1

A.a+b>0B.b-a<0C.ab>0D.-<O

b

2.（2020秋?江津區(qū)期末）有理數(shù)“，b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則下列各

式正確的個數(shù)是（）

①abc<0；

②a—Z?+cvO；

@\a-b\-\b+c\+\a-c\=2a.

bc0a

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2021秋?都江堰市期中）如圖，在數(shù)軸上，己知點P表示的數(shù)為-3,則點P到原點的

距離是（）

PO

A.-3B.3C.--D.-

33

4.（2021秋?瑞安市期中）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是1,點3,C分別位于點A兩側(cè)，

且到點A的距離相等.若點6表示的數(shù)是正，則點C表示的數(shù)是（）

―<2_C4——!i_?

A.-叵B.應(yīng)-1C.2-72D.&-2

5.（2021秋?義烏市期中）正方形ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點￡>、A對應(yīng)的數(shù)分

別為。和1,若正方形438繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點B所

對應(yīng)的數(shù)為2；則翻轉(zhuǎn)2021次后，數(shù)軸上數(shù)2021所對應(yīng)的點是（）

——I"

IIII￡>l1Al?、

-4-3-2-101231

A.點AB.點BC.點CD.點。

6.（2021秋?金水區(qū)校級期中）數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.化簡:

2|匕一a|-|c-b|+|a+b|等于（）

----------?---------------------?----->

-1b01a2

A.3a-2b+cB.-a+2b+cC.-a+4b-cD.3a-c

7.（2020秋?建平縣期末）實數(shù)”，〃在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，且|。|>|川，則化

簡行+|。+6的結(jié)果為（）

?I?

74J0

A.2。+Z?B.-2a—bC.bD.2a-b

8.（2021秋?山亭區(qū)期中）實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡-"（a-力2

的結(jié)果是（）

111

F--------0-----b---->

A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b

9.（2021秋?梁子湖區(qū)期中）己知。<q<O<c,代數(shù)式|。||+1c-a|a+〃|的值等

于（）

A.c-a-bB.b+c-aC.a+c-bD.a+b+c

10.（2021秋?蟀嵋區(qū)期末）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則化簡代數(shù)式

|a—b|-|a+b|+小一c|的結(jié)果是（）

A.2a—b+cB.b—cC.b+cD.—b—c

11.（2021秋?五常市期末）有理數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|。-切+”的結(jié)

果為（）

~~a~0b

A.bB.—bC.—2a—bD.2cl—b

二.填空題（共2小題）

12.（2021秋?西城區(qū)期末）線段AB=6,C為線段A3的中點，點O在直線AB上，若

BD=3AC,則8=.

13.（2021秋?金水區(qū)校級期中）已知有理數(shù)a、6在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示，請化

簡：|a|+|a+b|-2|a-b|=.

a，b3_>

1

三.解答題（共10小題）

14.（2021秋?長豐縣期末）如圖，A,B,P三點在數(shù)軸上，點A對應(yīng)的數(shù)為多項式

3加一2相+1中一次項的系數(shù),點B對應(yīng)的數(shù)為單項式5加。"的次數(shù)，點P對應(yīng)的數(shù)為x.

（1）請直接寫出點A和點3在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù).

（2）請求出點P對應(yīng)的數(shù)x,使得尸點到A點，3點距離和為10.

（3）若點P在原點，點3和點P同時向右運動，它們的速度分別為1,4個長度單位/分鐘，

則第幾分鐘時，A,B,P三點中，其中一點是另外兩點連成的線段的中點？

--???A

AOB

15.（2021秋?江夏區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上有A,B兩點,其中點A在點8的左側(cè)，已知

點5對應(yīng)的數(shù)為4,點A對應(yīng)的數(shù)為a.

（1）若〃=2x（1—3x3.3x72,則線段4?的長為（直接寫出結(jié)果）.

663145

（2）若點C在射線45上（不與A,B重合），且2AC-33c=6,求點C對應(yīng)的數(shù)（結(jié)果

用含a的式子表示）.

（3）若點M在線段之間，點N在點A的左側(cè)（M、N均不與A、8重合），且

AM-BM=2.當(dāng)邈=3,3N=68M時.求a的值.

AN

-----------------尸

-----------------五

備用圖

16.（2021秋?西城區(qū)校級期中）我們知道，|a|的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)。對應(yīng)的點到

原點的距離，類似的，|x-y|的幾何意義就是：數(shù)軸上數(shù)x,y對應(yīng)點之間的距離.比如：

2和5兩點之間的距離可以用|2-5|表示，通過計算可以得到他們的距離是3.

（1）數(shù)軸上1和-3兩點之間的距離可以用—表示，通過計算可以得到他們的距離

是—.

（2）數(shù)軸上表示x和-3的兩點A、3之間的距離可以表本為A5=；如果＞4^=2,結(jié)

合幾何意義，那么x的值為—；

（3）代數(shù)式|x-l|+|x+2|表示的幾何意義是—,該代數(shù)式的最小值是—.

一5一4—3—2—10123456

17.（2021秋?魏都區(qū)校級期中）已知有理數(shù)〃、b、c在數(shù)軸的位置如圖所示，化簡：

\a-\\-\c-b\+\b-\\+\-l-c\.

???????

C-I0b1a

18.（2021秋?滕州市期中）送貨員開著貨車從超市出發(fā)，向東走了4千米到達(dá)小剛家，繼

續(xù)走了2千米到達(dá)小明家，然后向西走了10千米到達(dá)小芳家，最后回到超市.

(1)以超市為原點，以向東的方向為正方向，用1個單位長度表示1千米，小芳家在超市

的一方，距超市一千米，請在數(shù)軸上表示出小明家、小芳家的位置.

I1111111111111A

-7-6-5-4-3-2-10123456

(2)小剛家距小芳家千米.

(3)若送貨車每千米耗油0.15升，每升汽油6元，請問貨車全程油耗多少元？

19.(2021秋?運城期中)已知匕是最小的正整數(shù)，且°,匕，c滿足(c-6)，|“+b|=0,

請回答下列問題：

(1)請直接寫出a,b,c的值，a=,b=,c-.

(2)如圖a,b,c在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A,B,C,點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)

為x,當(dāng)點P在A,8之間運動時，請化簡式子：|x+l|-|x-l|-|x+5|；(請寫出化簡過

程)

(3)在(1)和(2)的條件下，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點C

以每秒1個單位長度向右運動，假設(shè)經(jīng)過f秒，點3與點C之間的距離為3C,點A與點3

之間的距離為鉆，則8C=,AB=,并求出BC-Afi的值.

----------1?A

AoBC

20.(2021秋?青島期中)同學(xué)們，學(xué)習(xí)了無理數(shù)之后，我們已經(jīng)把數(shù)的領(lǐng)域擴(kuò)大到了實數(shù)

的范圍，這說明我們的知識越來越豐富了.可是，無理數(shù)究竟是一個什么樣的數(shù)呢？下面讓

我們在幾個具體的圖形中認(rèn)識一下無理數(shù).

（1）如圖①是一個直角邊長為2的等腰直角三角形，它的面積是2,把它沿著斜邊

的高線剪開拼成如圖②的正方形樹C,則這個正方形的面積也就等于等腰直角三角形的

面積即為2,則這個正方形的邊長就是血,它是一個無理數(shù).

AK

（2）如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點O沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點（滾動時

與點O重合）由原點到達(dá)點OL則00的長度就等于圓的周長不，所以數(shù)軸上點O代表的

實數(shù)就是—，它是一個無理數(shù).

0123?！?/p>

（3）如圖，在RlAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,根據(jù)已知可求得AB=,它

是一個無理數(shù).好了，相信大家對無理數(shù)是不是有了更具體的認(rèn)識了，那么你分別在①②圖

形中作出兩個無理數(shù)吧：

①你能在6x8的網(wǎng)格圖中（每個小正方形邊長均為1）,畫出一條長為癡的線段嗎？

②學(xué)習(xí)了實數(shù)后，我們知道數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的關(guān)系，那么你能在數(shù)軸上找到表

示一百-1的

點嗎？

Illi1111)

-4-2-2-1012245

21.(2021秋?長安區(qū)期中)如圖，已知點4、〃在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是+5、-1,P是

數(shù)軸上的一個動點.

(1)若點P在數(shù)軸上表示的數(shù)是8,則。、A兩點的距離為—，P、8兩點的距離為一；

(2)若點P在點A的右側(cè)，且表示的數(shù)為*則P、A兩點的距離用代數(shù)式表示為一；

P、B兩點的距離用代數(shù)式表示為—；

(3)若點P從數(shù)軸上4處開始移動，第I次從《點向右移動2個單位到4,第2次從［點

向左移動4個單位到鳥，第3次從巴點向右移動6個單位到乙，第4次從鳥點向左移動8

個單位到乙，依次這樣移動，若點G表示的數(shù)是7.

①點《表示的數(shù)是多少？

②點表示的數(shù)是多少？

1Pli??1：??

-2Toi23456

22.(2021秋?重慶期中)已知。，b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，求

\a+b\-3\b+c\+2\a-b\-\c-b\的值.

_______III_________1>

a_____Obc

23.(2021秋?西城區(qū)校級期中)有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.

(1)用“<”連接：0,a,b,c；

(2)化簡代數(shù)式:3\a-b\+\a+b\-\c-a\Yl\b-c\.

anII

abnC

數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向.

(2)數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理

數(shù).(一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù).)

(3)用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

2.絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù).

(2)如果用字母”表示有理數(shù)，則數(shù)“絕對值要由字母a本身的取值來確定：

①當(dāng)a是正有理數(shù)時，〃的絕對值是它本身a；

②當(dāng)。是負(fù)有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)-a；

③當(dāng)〃是零時，a的絕對值是零.

即⑷=伍(a>0)0(a=0)-a(a<0)

3.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值

在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則

其中的每一項都必須等于0.

根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值.

4.有理數(shù)大小比較

(1)有理數(shù)的大小比較

比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序(在數(shù)軸上表示

的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大)；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小，

利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小.

(2)有理數(shù)大小比較的法則：

①正數(shù)都大于0；

②負(fù)數(shù)都小于0；

③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

④兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小.

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

I.法則比較：正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對

值大的反而小.

2.數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù).

3.作差比較：

若4-b>0,則a>b；

若a-b<0,則a<b；

若a-b=0,則a—b.

5.實數(shù)與數(shù)軸

(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系.

任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).數(shù)軸

上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)?

的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左

邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小.

6.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字

與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運算，從而得出通項公式.

(2)利用方程解決問題.當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x,再利用它們

之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程.

7.兩點間的距離

(1)兩點間的距離

連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.

(2)平面上任意兩點間都有一定距離,它指的是連接這兩點的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時，

注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖

形.線段的長度才是兩點的距離.可以說畫線段，但不能說畫距離.

8.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀

化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了

數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）

函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對應(yīng)關(guān)系:（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有

明顯的幾何意義。如等式。

3.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中,在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

一.選擇題（共11小題）

1.（2021秋?七星關(guān)區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上的兩點A、3表示的數(shù)分別為。、b,下列結(jié)

論正確的是（）

A,.主，「

a-10b1

A.a+b>0B.b-a<0C.ab>0D.—<0

b

【考點】數(shù)軸

【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b的正負(fù)情況以及絕對值的大小，然后對各選項逐一分析即可.

【解答】解：由圖可知，。<0，6>0且|勿<|。|,

A>a+h<0,故本選項不符合題意；B、h-a>0,故本選項不符合題意：

C、ab<0,故本選項不符合題意；

D、-<0,故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了數(shù)軸，準(zhǔn)確識圖，判斷出〃、8的正負(fù)情況以及絕對值的大小是解題的

關(guān)鍵.

2.（2020秋?江津區(qū)期末）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則下列各

式正確的個數(shù)是（）

①abc<0；

@a-b+c<0；

③叫回+1￡1=3:

abc

?\a-h\-\h+c\+\a-c\=2a.

iiii___________

bc0Q

A?1個B?2個C.3個D.4個

【考點】數(shù)軸；絕對值

【分析】由數(shù)軸確定4、匕、C的符號與大小，根據(jù)實數(shù)的運算、絕對值知識進(jìn)行辨別即可.

CQ

【解答】解：由數(shù)軸可得，b<c<0<af且|〃|>||>||,

/.abc>0,①不正確；

ei-b+c>0,②不正確；

⑷+皿+1￡1=1_1一1=T,③不正確；

abc

|ci-h|-|b+c|+|a—c|=a—b—[-（jb+c）]+（4-c）=a—b+b+c+a—c=正萬角，

故選：A.

【點評】此題考查了利用數(shù)軸解決實數(shù)的運算符號確定與絕對值的化簡能力，關(guān)鍵是能根據(jù)

數(shù)軸確定各數(shù)的符號、大小.

3.（2021秋?都江堰市期中）如圖，在數(shù)軸上，已知點P表示的數(shù)為-3,則點P到原點的

距離是（）

-po>

A.-3B.3C.--D.-

33

【考點】數(shù)軸

【分析】根據(jù)有理數(shù)絕對值的概念進(jìn)行結(jié)果確定即可.

【解答】解：v|—3|=3,

.?.點P到原點的距離是3,

故選：B.

【點評】此題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決有理數(shù)的絕對值問題的能力，關(guān)鍵是能利用數(shù)軸

準(zhǔn)確理解有理數(shù)絕對值的概念.

4.（2021秋?瑞安市期中）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是1,點3,C分別位于點A兩側(cè)，

且到點A的距離相等.若點3表示的數(shù)是0,則點C表示的數(shù)是（）

—Q_C4----S_?

A.-&B.V2-1C.2-42D.0-2

【考點】實數(shù)與數(shù)軸

【分析】根據(jù)點A、B表示的實數(shù)，確定出線段A3的長度，就能求得此題結(jié)果.

【解答】解：???數(shù)軸上點A表示的數(shù)是1,點5表示的數(shù)是3,

，線段AC的長度和線段9的長度為：72-1,

.?.點C表示的數(shù)為1一（血-1）=2-a,

故選：C.

【點評】此題考查了利用數(shù)形結(jié)合解決實數(shù)運算的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)數(shù)軸確定點所表示的

數(shù)及兩點間的距離.

5.（2021秋?義烏市期中）正方形/WCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A對應(yīng)的數(shù)分

別為。和1,若正方形A5CO繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點5所

對應(yīng)的數(shù)為2；則翻轉(zhuǎn)2021次后，數(shù)軸上數(shù)2021所對應(yīng)的點是（）

C|——|B

II1I31Al??.

-4-3-2-10I234

A.點AB.點3C.點CD.點。

【考點】實數(shù)與數(shù)軸

【分析】根據(jù)在翻轉(zhuǎn)過程中落在數(shù)軸上的點四次一循環(huán)的規(guī)律，可以推算出此題結(jié)果.

【解答】解：在翻轉(zhuǎn)過程中，1對應(yīng)的數(shù)是A,2對應(yīng)的數(shù)是5,3對應(yīng)的數(shù)是C,4對應(yīng)

的數(shù)是。，…依次4次一循環(huán)的出現(xiàn)，

?.■2021^4=505...!,

.?.2021所對應(yīng)的點是A,

故選：A.

【點評】此題考查了利用數(shù)軸解決實數(shù)問題的能力，關(guān)鍵是能確定出此題的變化規(guī)律.

6.（2021秋?金水區(qū)校級期中）數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.化簡：

2屹-a|-|c-A|+|a+A|等于（）

，■■?■■■”〉

-1b01a2

A.3Q—2Z?+cB?—ci+2Z?+cC.—ci+4b—cD?3?！猚

【考點】數(shù)軸；絕對值

【分析】根據(jù)正數(shù)的絕對值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)去絕對值計算即可得答

案.

【解答］解：?“<人<0<。，且

:.b-a<09c-h<0,。+。>0,

:.2\h-a\-\c-b\+\a+b\=2（-b+a）—（-c+〃）+（a+Z?）=-2h+2a+c-h+a-}-h=3a-2h+c

f

故選：A.

【點評】本題考查去絕對值及整式運算，解題的關(guān)鍵是掌握去絕對值的法則.

7.（2020秋?建平縣期末）實數(shù)a,6在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，且|〃|>|切，則化

簡值+|“+力的結(jié)果為（）

—0----J-------1-------?----------->

a40b

A.2a+bB.-2.ci—bC.bD.2a—b

【考點】實數(shù)與數(shù)軸；二次根式的性質(zhì)與化簡

［分析］根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)即可求出答案

【解答】解：由題意可知：a<-\<h<-a,

：.a+b<0,

原式=|a|-（a+6）

=-a-a-b

=-2a-b,

故選：B.

【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，本

題屬于基礎(chǔ)題型.

8.（2021秋?山亭區(qū)期中）實數(shù)a、A在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡|a|-向二F

的結(jié)果是（）

a0

A.—2tz+bB.2Z2—bC.—bD.b

【考點】實數(shù)與數(shù)軸；二次根式的性質(zhì)與化簡

【分析】直接利用數(shù)軸得出"0,a-b<0,進(jìn)而化簡得出答案.

【解答】解：由數(shù)軸可得：

々<0,a-b<0,

則|4|-府赤

=-a+（a-b）

=-b.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出各式的符號是解題關(guān)鍵.

9.（2021秋?梁子湖區(qū)期中）已知b<a<0<c,代數(shù)式|A|-|b-a|+|c-a|-|a+3的值等

于（）

A.c—a—bB.h+c—aC.a+c—bD.a+b+c

【考點】絕對值

【分析】根據(jù)匕vavOvc,得出人—a,…，。+人的符號，然后去掉絕對值即可得出答

案.

【解答】W-：\,b<a<O<c,

:.b<0,b-a<09c-a>0,a+b<09

.*J|—\b—tz|+1c—a|—+

=~b+b—a+c—a+a+Z?,

=-a+b+c.

故選：B.

【點評】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)，根據(jù)〃，b,c的符號確定a,c—a,。+人的

符號解決問題的關(guān)鍵.

10.（2021秋?蛇響區(qū)期末）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則化簡代數(shù)式

|a-b|-|a+b|+|b-c|的結(jié)果是（）

A.2a—Z?+cB.b—cC.Z?+cD.一b-c

【考點】數(shù)軸；絕對值

【分析】先由數(shù)軸得出a,b,C的大小關(guān)系，再根據(jù)絕對值化簡的法則展開，最后合并同

類項即可.

【解答】解：由數(shù)軸可得：a<h<Q<c

:\a-b\-\a+b\+\b-c\-b-a+a+b+c-b

=b+c

故選：C.

【點評】本題考查了利用數(shù)軸進(jìn)行絕對值的化簡，數(shù)形結(jié)合并明確絕對值的化簡法則，是解

題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?五常市期末）有理數(shù)°、〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|a-b|+a的結(jié)

果為（）

~a0b

A.bB.—bC.—let—bD.2a—b

【考點】整式的加減；數(shù)軸；絕對值

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負(fù)，利用絕對值的代數(shù)意義化簡，

合并即可得到結(jié)果.

【解答】解：由數(shù)軸得：a<Q<b,即。-6<0,

則原式=￡>-a+a=￡>，

故選：A.

【點評】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

填空題（共2小題）

12.（2021秋?西城區(qū)期末）線段回=6,C為線段4?的中點，點O在直線4?上，若

BD=3AC,則8=12或6.

【考點】兩點間的距離

【分析】分兩種情況，點。在點3的右側(cè)，點。在點8的左側(cè).

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)點。在點B的右側(cè)時，如圖：

II1------------------*

ACBD

?.?點C是線段A3的中點，45=6,

:.CB=-AB=3

2f

??BD=3AC=9,

.?.8=CB+BD=3+9=12,

當(dāng)點。在點B的左側(cè)時，如圖：

?_____?______i_______?

DACB

???點C是線段A5的中點，43=6,

:.CB=-AB=3,

2

-.BD=3AB=9,

..8=30-8=9—3=6,

線段CD的長為12或6,

故答案為：12或6.

【點評】本題考查了兩點間距離，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵，同時

滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

13.(2021秋?金水區(qū)校級期中)已知有理數(shù)a、。在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示，請化

簡：|a|+|a+b|-2|a-b|=_-4a+h_.

a,b,

—?—-1}-------0-----?i-1---->

【考點】數(shù)軸；絕對值

【分析】根據(jù)數(shù)軸分別確定a、a+b,a-匕的符號，再求出它們的絕對值進(jìn)行運算.

【解答】解：由數(shù)軸可得，。<一1<0<6<1,

/.a<0,a+h<0,a-h<0,

:\a\+\a+b\-2\a-b\

=-a+[-(a+")]-2[-(a-b)]

=-a-a-h+2a-2b

=-3b>

故答案為：-3b.

【點評】此題考查了利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行有理數(shù)的絕對值化簡、計算的能力，關(guān)鍵是能運用數(shù)

形結(jié)合確定有理數(shù)及算式的符號.

三.解答題(共10小題)

14.（2021秋?長豐縣期末）如圖，A,B,P三點在數(shù)軸上，點A對應(yīng)的數(shù)為多項式

3%2一2機(jī)+1中一次項的系數(shù)，點8對應(yīng)的數(shù)為單項式的次數(shù)，點P對應(yīng)的數(shù)為x.

（1）請直接寫出點A和點3在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù).

（2）請求出點P對應(yīng)的數(shù)x,使得尸點到A點，B點距離和為10.

（3）若點P在原點，點3和點P同時向右運動，它們的速度分別為1,4個長度單位/分鐘，

則第幾分鐘時，A,B,P三點中，其中一點是另外兩點連成的線段的中點？

-?----?-------?A

A0B

【考點】單項式；多項式；數(shù)軸

【分析】（1）根據(jù)多項式3加2—2〃?+1中一次項的系數(shù)是-2,單項式5序/的次數(shù)是6得

到A、B兩點表示的數(shù)；

（2）根據(jù)尸的位置不同，分三種情況分別求解；

（3）分P為的中點和3為AP的中點兩種情況.

【解答】解：（1）?.?多項式3加-2優(yōu)+1中一次項的系數(shù)是-2,

.?.點A對應(yīng)的數(shù)為-2,

?.?單項式5病〃&的次數(shù)是6,

.?.點B對應(yīng)的數(shù)為6.

（2）若P在A點左側(cè)，則一2—X+6-x=10,解得x=-3；

若P在A點、8中間，因為AB=8,故不存在這樣的點P；

若P在3點右側(cè)，則x—（―2）+x—6=10,解得x=7.

故點戶對應(yīng)的數(shù)x為-3或7.

（3）設(shè)第y分鐘時，點3的位置為6+y,點尸的位置為4y.

①當(dāng)P為A5的中點時，貝！|6+y-4y=4），—（—2）,解得y=g；

②當(dāng)8為好的中點時，則4），—（6+y）=6+y—（—2）,解得y=7.

故第士或7分鐘時，A、5、P三點中，其中一點是另外兩點連成的線段的中點.

7

【點評】此題主要考查了中點的性質(zhì)和兩點之間的距離，解題時要注意分類討論.

15.（2021秋?江夏區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上有A,B兩點，其中點A在點3的左側(cè)，已

知點3對應(yīng)的數(shù)為4,點A對應(yīng)的數(shù)為

（1）若a=N*d—2）x」+3x72,則線段至的長為9（直接寫出結(jié)果）.

663145

（2）若點C在射線至上（不與A,8重合），且2AC-3BC=6,求點C對應(yīng)的數(shù)（結(jié)

果用含“的式子表示).

(3)若點A7在線段4?之間，點N在點A的左側(cè)(M、N均不與A、8重合)，且

AM-BM^2.當(dāng)也=3,BN=6BM時.求a的值.

AN

-------------3--------------------------X

備用圖

【考點】有理數(shù)的混合運算；數(shù)軸

【分析】(1)利用有理數(shù)混合運算的法則計算出a的值，結(jié)合數(shù)軸即可求得結(jié)論；

(2)分兩種情況討論解答：①點。在A,3之間；②點。在3點的右側(cè)；設(shè)點C對應(yīng)的

數(shù)字為一依據(jù)已知條件列出等式后化簡即可得出結(jié)論；

(3)設(shè)點M對應(yīng)的數(shù)字為“，點N對應(yīng)的數(shù)字為〃，利用依據(jù)已知條件列出等式后化簡即

可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)?.,?=—x(---)x—-i--x72

663145

7/1、35

=—x(——)x—X—x72

66143

=-5，

.?.AB=4-(-5)=4+5=9,

故答案為：9.

(2)設(shè)點C對應(yīng)的數(shù)字為x,

①點C在A,區(qū)之間時，

?/2AC-3BC=6,

/.2(x-a)-3(4-x)=6.

化簡得：5x=18+勿.

18+2。

..X=■"............"?

5

②點。在5點的右側(cè)時，

\-2AC-3BC=6,

2(x—ci)—3(x—4)=6.

化簡得：—x=—6+2〃.

.\x=6-2?.

綜上，點C對應(yīng)的數(shù)為曳土叁或6-2a.

5

(3)設(shè)點/對應(yīng)的數(shù)字為機(jī)，點N對應(yīng)的數(shù)字為”，

由題意得：AM=m-a,AN=a-n,BM=4-m,BN=4-n,

-,AM-BM=2.

(m-a)-(4-in)=2.

/.2m-a=6?.

?..當(dāng)旭=3時，BN=6BM,

AN

——-=3,4-n=6(4-/n).

a—n

:.m+3n=4a?y

6/n-〃=20③，

③x3+②得：19〃z=60+4。④，

將④代入①得：2x如北一〃=6.

19

6

二.u=-?

11

【點評】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，數(shù)軸，數(shù)軸上的點對應(yīng)的數(shù)字的特征，利用數(shù)

軸上的點對應(yīng)的數(shù)字表示出對應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

16.(2021秋?西城區(qū)校級期中)我們知道，|。|的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)。對應(yīng)的點到

原點的距離，類似的，|x-y|的幾何意義就是：數(shù)軸上數(shù)x,y對應(yīng)點之間的距離.比如:

2和5兩點之間的距離可以用12-51表示，通過計算可以得到他們的距離是3.

(1)數(shù)軸上1和-3兩點之間的距離可以用_|1-(-3)|_表示，通過計算可以得到他們的

距離是―.

(2)數(shù)軸上表示x和-3的兩點A、3之間的距離可以表示為43=一；如果他=2,結(jié)

合幾何意義，那么x的值為—；

(3)代數(shù)式|x-l|+|x+2|表示的幾何意義是—，該代數(shù)式的最小值是—.

-5-4-3-2-10123456

【考點】有理數(shù)的減法；絕對值；數(shù)軸

【分析】(1)根據(jù)題目中的幾何意義可以直接得到1和-3兩點之間的距離的表示方法，再

計算即可；

(2)根據(jù)題目中的幾何意義可以直接得到x和-3兩點之間的距離的表示方法，再解關(guān)于x的

絕對值方程|x-(-3)|=2即可；

(3)根據(jù)兩點之間距離的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸發(fā)現(xiàn)x在1和-2之間時，代數(shù)式的值最小.

【解答】解：(1)數(shù)軸上1和-3兩點之間的距離可以表示為|1

.7和-3兩點之間的距離是4.

故答案為:|1-(-3)|；4.

(2)數(shù)軸上表示x和-3的兩點A、8之間的距離可以表示A8=|x-(-3)|；

\-AB=2,

.Jx—(—3)|—2，

x——1或-5.

故答案為：|x-(-3)|；-1或-5.

(3)代數(shù)式|x-l|+|x+2|表示的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到1和-2兩點的距離的

和；

x位于-1到2之間時它們的距離和有最小值為3.

故答案為：數(shù)軸上表示數(shù)x的點到1和-2兩點的距離的和；3.

【點評】此題綜合考查了數(shù)軸、絕對值的有關(guān)內(nèi)容，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，體現(xiàn)了數(shù)

形結(jié)合思想.

17.(2021秋?魏都區(qū)校級期中)已知有理數(shù)。、b、c在數(shù)軸的位置如圖所示，化簡：

|(7-1|-|C-/?|+|Z>-1|+|-1-C|.

???????

C-I0bIa

【考點】絕對值；數(shù)軸；整式的加減

【分析】根據(jù)數(shù)軸確定絕對值里面實數(shù)的符號進(jìn)行求值計算.

【解答】解：由題意得，c<-l<0</?<1<a>

61—1>0>c-Z?<0?Z?-1<0>—1—c>0?

二(。-1)一[-(c-b)]+[-(&-1)]+(-1-c)

=a—\+c-b—b+\—\—c

=a-2b-l,

【點評】此題考查了利用數(shù)形結(jié)合解決實數(shù)絕對值化簡的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)數(shù)軸確定絕對

值里面實數(shù)的符號并進(jìn)行準(zhǔn)確的化簡計算.

18.(2021秋?滕州市期中)送貨員開著貨車從超市出發(fā)，向東走了4千米到達(dá)小剛家，繼

續(xù)走了2千米到達(dá)小明家，然后向西走了10千米到達(dá)小芳家，最后回到超市.

(1)以超市為原點，以向東的方向為正方向，用1個單位長度表示1千米，小芳家在超市

的西方,距超市一千米，請在數(shù)軸上表示出小明家、小芳家的位置.

I1111111111111A

-7-6-5-4-3-2-10123456

(2)小剛家距小芳家千米.

(3)若送貨車每千米耗油0.15升，每升汽油6元，請問貨車全程油耗多少元？

【考點】數(shù)軸

【分析】(1)結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)該送貨員的行進(jìn)情況確定此題結(jié)果；

(2)根據(jù)小剛家和小芳家在數(shù)軸上的位置確定此題答案；

(3)求出該送貨員所走的全部路程乘以每千米耗油量和每升汽油的單價.

【解答】解：⑴4+2-10

(千米)，

.?.小芳家在超市的西方，距超市4千米，小明家、小芳家的位置在數(shù)軸上標(biāo)注如圖；

小芳家超市小剛家小明家

J___I____I___4___I_I_____i__I___I___I____I___I__I___

-7-6-5-4-3-2-10I23456

(2)4-(-4)=8(千米)，

.?.小剛家距小芳家8千米；

(3)6x0.15x(|4|+|2|+|-10|+|4|)

=0.9x(4+2+10+4)

=0.9x20

=18(元),

答：貨車全程油耗18元.

【點評】此題考查了利用數(shù)軸和正負(fù)數(shù)解決實際問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)數(shù)軸和正負(fù)數(shù)確

定位置，并準(zhǔn)確列式計算.

19.(2021秋?運城期中)已知b是最小的正整數(shù)，且a,b,c滿足(c-6)2+|a+6|=0,

請回答下列問題：

(1)請直接寫出a,b,c的值，a=-1,b=,c=.

（2）如圖a,b,c在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A,B,C,點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)

為x,當(dāng)點P在4,8之間運動時，請化簡式子：|x+l|-|x-l|-|x+5|；（請寫出化簡過

程）

（3）在（1）和（2）的條件下，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點C

以每秒1個單位長度向右運動，假設(shè)經(jīng)過，秒，點8與點C之間的距離為3C,點A與點6

之間的距離為鉆，則BC=,AB=,并求出3C-A3的值.

_________.I..?

A0BC

【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值

【分析】（1）根據(jù)最小的正整數(shù)是1,推出b=l,再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、c即可；

（2）首先確定x的范圍，再化簡絕對值即可；

（3）根據(jù)題意用，的代數(shù)式表示出BC、M即可解決問題.

【解答】解：（1）?.?最小的正整數(shù)是1,

:（c-6f+1a+%|=0,

.,.c-6=0,a+b=O,

解得：c=6,a=—1,

故答案為：一1,1,6.

（2）根據(jù)圖形可得

原式=x+1+x—1—x—5--V—5.

（3）經(jīng)過f秒，點A表示的數(shù)是-1-r,點C表示的數(shù)是6+r,

:.BC=6+t-1=5+t,A3=l—（-l-f）=2+f,

貝ijBC-AB=5+t-（2+t）=3.

故答案為：5+Z,2+t>3.

【點評】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、絕對值、數(shù)軸等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的性

質(zhì)，絕對值的化簡，學(xué)會用參數(shù)表示線段的長，屬于中考?？碱}型.

20.（2021秋?青島期中）同學(xué)們，學(xué)習(xí)了無理數(shù)之后，我們已經(jīng)把數(shù)的領(lǐng)域擴(kuò)大到了實數(shù)

的范圍，這說明我們的知識越來越豐富了.可是，無理數(shù)究竟是一個什么樣的數(shù)呢？下面讓

我們在幾個具體的圖形中認(rèn)識一下無理數(shù).

(1)如圖①是一個直角邊長為2的等腰直角三角形，它