概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)

PAGEPAGE29第一章概率論的基本概念一、事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）（2）可以推廣到多個(gè)事件的運(yùn)算：二、概率的統(tǒng)計(jì)定義，古典概型概率的性質(zhì)頻率古典概型的特征：（1）有限性；（2）等可能性幾何概型（古典概型的推廣）：（1）特征：樣本空間中樣本點(diǎn)無(wú)限構(gòu)成一個(gè)幾何區(qū)域，且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生是等可能的；（2）公式：，分別表示和的幾何測(cè)度，其中測(cè)度為長(zhǎng)度或面積等。概率的性質(zhì)：（1）（2），，反之不成立（3）三個(gè)任意事件的加法公式，有當(dāng)互不相容時(shí)，一般n個(gè)事件的加法公式：當(dāng)兩兩互斥（互不相容），則(4),（5）三、條件概率、乘法公式、全概率公式與貝葉斯公式條件概率：；乘法公式：推廣：乘法公式用于計(jì)算兩個(gè)或兩個(gè)以上事件同時(shí)發(fā)生的概率。設(shè)為一個(gè)完備事件組（或者是的一個(gè)劃分），即，；且均有正概率，對(duì)任意事件，有全概率公式：貝葉斯（Bayes）公式（逆概公式）：全概率公式是概率的加法公式和乘法公式的應(yīng)用；貝葉斯公式是條件概率、乘法公式和全概率公式的應(yīng)用。四、事件的獨(dú)立性若與互相不產(chǎn)生影響，則稱與相互獨(dú)立。與獨(dú)立條件概率等于無(wú)條件概率。三個(gè)事件獨(dú)立的公式缺一不可個(gè)事件獨(dú)立的公式個(gè)事件是獨(dú)立的要滿足的條件：個(gè)關(guān)系式。與，與，與，與四對(duì)事件中，只要有一對(duì)獨(dú)立，則另外三對(duì)都是獨(dú)立的。這個(gè)結(jié)論的意義是：如果一組事件是獨(dú)立的，則把它們當(dāng)中的一部分或全部換成各自的對(duì)立事件得到的事件組仍然是獨(dú)立的。獨(dú)立的條件下：獨(dú)立試驗(yàn)序列概型貝努里試驗(yàn)，重貝努里試驗(yàn)，稱為貝努里公式

第二章隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)二、離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量的所有可能取值為有限個(gè)或至多可列個(gè)，則稱為離散型隨機(jī)變量。,…………滿足條件：①；②的分布函數(shù)：離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征描述：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)單調(diào)不減的跳躍函數(shù)，它在的所有可能取值點(diǎn)跳躍，跳躍度恰好等于在該點(diǎn)取值的概率。常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量0—1分布二項(xiàng)分布Poission分布，；當(dāng)很大，又很小，，則二項(xiàng)分布以泊松分布為極限，即,三、連續(xù)型隨機(jī)變量滿足條件：①；②。區(qū)間上均勻分布（UniformDistribution），，分布函數(shù)指數(shù)分布（ExponentialDistribution），，又稱為負(fù)指數(shù)分布。分布函數(shù)正態(tài)分布（NormalDistribution）,,為任意常數(shù),.分布函數(shù)特別當(dāng)時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（StandardNormalDistribution）,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：滿足或那么四、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量的函數(shù)，它的分布稱為隨機(jī)變量函數(shù)的分布。離散型比較容易；連續(xù)型主要掌握分布函數(shù)法。特別是：是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，一定服從（0，1）上的均勻分布。（非常重要）

第三章多維隨機(jī)變量及其分布一、聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布與獨(dú)立性①；②；條件概率分布對(duì)于給定的，如果，則稱為在條件下的條件概率分布。對(duì)于給定的，如果，則稱為在條件下的條件概率分布。與相互獨(dú)立即對(duì)任何都成立；稱為的聯(lián)合分布函數(shù)。的聯(lián)合分布函數(shù)有以下性質(zhì)：①；②分別是的單調(diào)不減函數(shù)；③，，，④的邊緣分布函數(shù)：的邊緣分布函數(shù)：與相互獨(dú)立對(duì)任意都成立。聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：①②在的連續(xù)點(diǎn)，有的邊緣分布：；的邊緣分布：若對(duì)任意的，則稱為在條件之下的條件概率密度。若對(duì)任意的，則稱為在條件之下的條件概率密度。與相互獨(dú)立對(duì)任意都成立。二維均勻分布:為平面上的有界閉區(qū)域，為的面積，服從上的均勻分布，則有：等，它們的邊緣分布、獨(dú)立性二維正態(tài)分布要懂得5個(gè)參數(shù)的概率意義。，，；，，，，二、隨機(jī)向量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布要具體問(wèn)題具體分析，一般比較容易處理。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布仍然用分布函數(shù)法來(lái)求，如，，等的分布。二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，則的分布密度函數(shù)為：當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，有，則:這個(gè)公式稱為卷積公式。最大值與最小值的分布：獨(dú)立同分布，分布函數(shù)為，密度函數(shù)為。求，的分布。，，卷積公式：，且相互獨(dú)立，則，且相互獨(dú)立，則，且相互獨(dú)立，則

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望的概率意義：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均值的大小。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：，為任意常數(shù)。隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：，方差：，離差平方的數(shù)學(xué)期望（它是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望）方差的性質(zhì)：，為任意常數(shù)。方差的概率意義：隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量取值關(guān)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。對(duì)任意隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望和方差都存在，并且方差，那么，標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，有：Chebyshev不等式：切比雪夫不等式是用來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量在關(guān)于其數(shù)學(xué)期望對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)（外）取值的概率的下界（上界）；它雖然不能精確計(jì)算概率，但是在概率統(tǒng)計(jì)理論上有著重要的作用。一些常見(jiàn)分布的隨機(jī)變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望與方差。二、多維隨機(jī)變量的數(shù)字特征是二維隨機(jī)變量，是的二元函數(shù)等都是其特殊情況。協(xié)方差：相關(guān)系數(shù)：；相關(guān)系數(shù)的概率意義幾個(gè)等價(jià)的關(guān)系式：與不相關(guān)三、隨機(jī)變量的矩原點(diǎn)矩中心距

第五章大數(shù)定律及中心極限定理1.依概率收斂2.大數(shù)定律在概率論中，一系列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量（具有有限方差），當(dāng)時(shí)，其平均值幾乎恒等于一個(gè)常數(shù)。其平均值依概率收斂于它的數(shù)學(xué)期望。辛欽（Khinchine）大數(shù)定律：若獨(dú)立同分布，，則對(duì)任意，貝努利（Bernoulli）大數(shù)定律：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，是事件發(fā)生的次數(shù)，是每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，則對(duì)任意，。貝努利大數(shù)定律是概率統(tǒng)計(jì)定義的理論基礎(chǔ)。3.中心極限定理(CentralLimitTheoremC.L.T.)在概率論中，一切論述“一系列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布”的定理都稱為中心極限定理。同分布的中心極限定理（列維—林德伯格(Levy—Lindberg)中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布。，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，或棣莫佛—拉普拉斯（DeMoivre—Laplace）定理：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，或因?yàn)?，二?xiàng)分布可以表示成若干個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和。應(yīng)用中心極限定理的關(guān)鍵是構(gòu)造“獨(dú)立和”。中心極限定理是大樣本統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

第六章樣本及抽樣分布一、總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量研究對(duì)象的全體稱為總體，總體就是一個(gè)隨機(jī)變量。是取自總體的樣本，它滿足兩個(gè)條件：①相互獨(dú)立；②均與具有相同的分布。樣本的聯(lián)合分布與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)——似然函數(shù)統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它不含任何未知參數(shù)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本的階原點(diǎn)矩樣本的階中心矩次序統(tǒng)計(jì)量，樣本極差樣本中位數(shù)上、下四分位數(shù)，，，，，之間的關(guān)系，箱線圖二、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，；獨(dú)立同分布，（）大樣本1．分布若相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則：服從自由度為的分布?？ǚ椒植嫉臄?shù)學(xué)期望與方差、可加性。特例：，，且相互獨(dú)立，那么服從自由度為2的分布，也就是（）的指數(shù)分布。2．分布，且相互獨(dú)立，則。3．分布，且相互獨(dú)立，則，。若，則三、抽樣分布（正態(tài)總體的抽樣分布）是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，、分別為樣本均值與樣本方差，則：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，分別為樣本均值與樣本方差；是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，分別為樣本均值與樣本方差。則：④⑤；⑥

第七章參數(shù)估計(jì)估計(jì)量、估計(jì)值、點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)的方法與評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)1.矩估計(jì)用樣本矩代替總體矩，用樣本矩的函數(shù)代替總體矩的同一個(gè)函數(shù)，從而達(dá)到對(duì)總體參數(shù)估計(jì)的目的，這種方法稱為矩估計(jì)法。不論總體服從什么分布：總體均值的矩估計(jì)為；總體方差的矩估計(jì)為。2.極大似然估計(jì)法（1）似然函數(shù)，取對(duì)數(shù)，構(gòu)造對(duì)數(shù)似然方程并求解得出極大似然估計(jì)。（2）不能通過(guò)求導(dǎo)得出的極大似然估計(jì)的方法3.估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)①無(wú)偏性；②有效性（最小方差性）；③相合性（一致性）。樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量、相合估計(jì)量和最小方差線性無(wú)偏估計(jì)量。樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量，混合樣本方差是兩總體方差（相等）的無(wú)偏估計(jì)量二、區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的基本概念，置信區(qū)間，置信上、下限，置信度，置信區(qū)間的概率意義，樞軸量要弄清楚：在什么條件下？求正態(tài)總體哪個(gè)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)？重要的是選擇樞軸量。1.正態(tài)總體，（1）方差已知的條件下，的置信區(qū)間為，樞軸量；（2）方差未知的條件下，的置信區(qū)間為，樞軸量；（3）均值未知的條件下，的置信區(qū)間為，樞軸量；2.兩個(gè)正態(tài)總體，，（1）方差，已知的條件下，的置信區(qū)間為（2）方差，未知但相等的條件下，的置信區(qū)間為，（3）均值未知的條件下，的置信區(qū)間為

第八章假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理與步驟小概率原理，原假設(shè)與備擇假設(shè)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，顯著性水平，拒絕域，兩類錯(cuò)誤1.提出原假設(shè)與備擇假設(shè)；2.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（對(duì)應(yīng)于區(qū)間估計(jì)中的樞軸量），并提出當(dāng)原假設(shè)成立的條件下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量所服從的分布；3.根據(jù)給定的顯著性水平，確定拒絕域；4.將樣本數(shù)據(jù)代入統(tǒng)計(jì)量的值，作出結(jié)論。二、正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1．檢驗(yàn)（1）單總體檢驗(yàn)均值方差已知（2）兩總體檢驗(yàn)均值之差方差已知2．檢驗(yàn)（1）單總體檢驗(yàn)均值方差未知；（2）成對(duì)數(shù)據(jù)（兩總體化成單總體）的假設(shè)檢驗(yàn)（3）兩總體檢驗(yàn)均值之差方差未知但相等（具有方差齊性，如果沒(méi)有這個(gè)條件，需要先用F檢驗(yàn)法兩總體方差是否相等。）3．檢驗(yàn)單總體檢驗(yàn)方差一般來(lái)說(shuō)均值未知4．檢驗(yàn)兩總體檢驗(yàn)方差之比一般來(lái)說(shuō)均值未知。其中包括單邊檢驗(yàn)和雙邊檢驗(yàn)三、假設(shè)檢驗(yàn)的值假設(shè)檢驗(yàn)的值是以樣本觀測(cè)值為邊界設(shè)定拒絕域（單側(cè)或雙側(cè)要根據(jù)假設(shè)），檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在拒絕域內(nèi)取值的概率。四、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)總體為離散型的包括不含未知參數(shù)和含有未知參數(shù)兩種總體為連續(xù)性的，帶有未知參數(shù)的

第九章方差分析與回歸分析一元線性回歸分析給定數(shù)據(jù)，（）,散點(diǎn)圖，呈線性相關(guān)關(guān)系，一元線性回歸模型為：，其中為普通變量，為隨機(jī)變量。對(duì)于給定的樣本，有，滿足：