2024屆揚(yáng)州市揚(yáng)州中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆揚(yáng)州市揚(yáng)州中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則使得成立的的解集為（）A． B． C． D．2．下列說法正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．命題“若，則”的否命題是真命題C．命題“函數(shù)的值域是”的逆否命題是真命題D．命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”3．兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.254．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知集合，，則（）A． B．C． D．6．正方體中，直線與平面所成角正弦值為（）A． B． C． D．7．設(shè)非零向量滿足，，則向量間的夾角為()A．150° B．60°C．120° D．30°8．已知點(diǎn)A0,2，拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若FMA．18B．14C．29．給出下列三個(gè)命題：①“若，則”為假命題；②若為假命題，則均為假命題；③命題，則，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A．-1 B．1 C． D．11．若函數(shù)圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)為函數(shù)的“孿生點(diǎn)對(duì)”，且點(diǎn)對(duì)與可看作同一個(gè)“孿生點(diǎn)對(duì)”.若函數(shù)恰好有兩個(gè)“孿生點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的值為（）A．0 B．2 C．4 D．612．已知，則中（）A．至少有一個(gè)不小于1 B．至少有一個(gè)不大于1C．都不大于1 D．都不小于1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則__________．14．設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，則a取值范圍為_______________.15．在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：_____________________.(寫出一條即可)16．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知射線θ＝與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）寫出的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）為直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí)，求的直角坐標(biāo)．18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).19．（12分）為了響應(yīng)黨的十九大所提出的教育教學(xué)改革，某校啟動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索，學(xué)校將高一年級(jí)部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個(gè)班，每班40人，甲班按原有傳統(tǒng)模式教學(xué)，乙班實(shí)施自主學(xué)習(xí)模式.經(jīng)過一年的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，將甲、乙兩個(gè)班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個(gè)班學(xué)生的平均成績(jī)均在，按照區(qū)間，，，，進(jìn)行分組，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分（百分制）為優(yōu)秀.0.100.050.0252.7063.8415.024（1）完成表格，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”；甲班乙班合計(jì)大于等于80分的人數(shù)小于80分的人數(shù)合計(jì)（2）從乙班，，分?jǐn)?shù)段中，按分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言，記來自發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望.20．（12分）已知定圓：，動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切，記圓心的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知直線交圓于兩點(diǎn).是曲線上兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，求四邊形面積的最大值.21．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.22．（10分）某醫(yī)藥開發(fā)公司實(shí)驗(yàn)室有瓶溶液，其中瓶中有細(xì)菌，現(xiàn)需要把含有細(xì)菌的溶液檢驗(yàn)出來，有如下兩種方案：方案一：逐瓶檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次；方案二：混合檢驗(yàn)，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果不含有細(xì)菌，則瓶溶液全部不含有細(xì)菌；若檢驗(yàn)結(jié)果含有細(xì)菌，就要對(duì)這瓶溶液再逐瓶檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)次數(shù)總共為.(1)假設(shè)，采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定哪兩瓶溶液含有細(xì)菌的概率；(2)現(xiàn)對(duì)瓶溶液進(jìn)行檢驗(yàn)，已知每瓶溶液含有細(xì)菌的概率均為.若采用方案一.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為,若采用方案二.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為.(i)若與的期望相等.試求關(guān)于的函數(shù)解析式;(ii)若,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望.求的最大值.參考數(shù)據(jù)：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由已知可得：是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，利用的單調(diào)性及奇偶性將轉(zhuǎn)化成：，解得：，問題得解.【題目詳解】因?yàn)樗允桥己瘮?shù).當(dāng)時(shí)，又在為增函數(shù)，在為減函數(shù)所以在為增函數(shù)所以等價(jià)于，解得：故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題。2、C【解題分析】

采用命題的基本判斷法進(jìn)行判斷，條件能推出結(jié)論為真，推不出為假【題目詳解】A.若為真命題，則中有一個(gè)為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯(cuò)B.命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當(dāng)時(shí)，不滿足，B錯(cuò)C.原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域?yàn)?，C為真命題D.命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”，D錯(cuò)答案選C【題目點(diǎn)撥】四種常見命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無法判斷，需改寫之后再進(jìn)行判斷，命題的否定為只否定結(jié)論，全稱改存在，存在改全稱3、A【解題分析】解：因?yàn)榛貧w模型中擬合效果的好不好，就看相關(guān)指數(shù)是否是越接近于1，月接近于1，則效果越好．選A4、C【解題分析】，如圖，由圖可知，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選C．5、D【解題分析】

求解不等式可得，據(jù)此結(jié)合交集、并集、子集的定義考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【題目詳解】求解不等式可得，則：，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定義及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6、C【解題分析】

作出相關(guān)圖形，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，求出與平面所成角正弦值即為答案.【題目詳解】如圖所示，正方體中，直線與平行，則直線與平面所成角正弦值即為與平面所成角正弦值.因?yàn)闉榈冗吶切危瑒t在平面即為的中心，則為與平面所成角.可設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，顯然，因此，則，故答案選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面所成角的正弦值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力和空間想象能力.7、C【解題分析】

利用平方運(yùn)算得到夾角和模長(zhǎng)的關(guān)系，從而求得夾角的余弦值，進(jìn)而得到夾角.【題目詳解】即本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量夾角的求解，關(guān)鍵是利用平方運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算將問題變?yōu)槟ｉL(zhǎng)之間的關(guān)系，求得夾角的余弦值，從而得到所求角.8、C【解題分析】試題分析：設(shè),是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，,|FM||MN|=55,即,那么,即直線的斜率是-2，所以，解得，故選C．考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【思路點(diǎn)睛】此題考察拋物線的性質(zhì)，和數(shù)形結(jié)合思想的考察，屬于偏難點(diǎn)的基礎(chǔ)題型，對(duì)于拋物線的考察不太同于橢圓和雙曲線，對(duì)應(yīng)拋物線的基礎(chǔ)題型，當(dāng)圖形中有點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，就一定聯(lián)想到點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再跟據(jù)平面幾何的關(guān)系分析，比如此題，|FM||MN|=55，轉(zhuǎn)化為，那分析圖像等于知道的余弦值，也就知道了直線9、B【解題分析】試題分析：“若，則”的逆否命題為“若，則”，為真命題；若為假命題，則至少有一為假命題；命題，則，所以正確的個(gè)數(shù)是1，選B.考點(diǎn)：命題真假【名師點(diǎn)睛】若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判斷即可.以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，首先要對(duì)兩個(gè)簡(jiǎn)單命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式（組）求解即可.10、C【解題分析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，然后利用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則，可得結(jié)果.【題目詳解】，，，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，注意細(xì)節(jié)，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】分析：由題可知當(dāng)時(shí)，與恰有兩個(gè)交點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定的圖象，即可求得實(shí)數(shù)的值.詳解：由題可知，當(dāng)時(shí)，與恰有兩個(gè)交點(diǎn).函數(shù)求導(dǎo)（）易得時(shí)取得極小值；時(shí)取得極大值另可知，所得函數(shù)圖象如圖所示.當(dāng)，即時(shí)與恰有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，恰好有兩個(gè)“孿生點(diǎn)對(duì)”，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查新定義，通過審題，讀懂題意，選擇解題方向，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，與恰有兩個(gè)交點(diǎn)是解題關(guān)鍵.12、B【解題分析】

用反證法證明，假設(shè)同時(shí)大于，推出矛盾得出結(jié)果【題目詳解】假設(shè)，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設(shè)不成立，所以不能同時(shí)大于，所以至少有一個(gè)不大于，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查的是用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，在此基礎(chǔ)上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還運(yùn)用了基本不等式，本題較為綜合二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由正態(tài)分布中三個(gè)特殊區(qū)間上的概率知，∴．答案：14、【解題分析】試題分析：的定義域?yàn)椋?，得，所?①若，由，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)；②若，由，得或.因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是，故答案為.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.15、尋找異常點(diǎn)，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯(cuò)【解題分析】

分析殘差是回歸診斷的一部分，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤，分析模型選擇是否合適．【題目詳解】分析殘差能夠幫助我們解決的問題是：尋找異常點(diǎn)，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯(cuò)；故答案為：尋找異常點(diǎn)，考查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯(cuò)．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程中殘差的作用，是基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程為普通方程，聯(lián)立可求線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)．【題目詳解】射線θ=的直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0），曲線（t為參數(shù)）化為普通方程為y=（x﹣2）2，聯(lián)立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的兩個(gè)根分別為1，4∴線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為∴線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程為普通方程，考查直線與拋物線的交點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）先將兩邊同乘以可得，再利用，可得的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）先設(shè)的坐標(biāo)，則，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最小值，進(jìn)而可得的直角坐標(biāo)．試題解析：（Ⅰ）由，得，從而有，所以．（Ⅱ）設(shè)，又，則，故當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．考點(diǎn)：1、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；2、參數(shù)的幾何意義；3、二次函數(shù)的性質(zhì)．18、（1）：，：；（2），此時(shí).【解題分析】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析：（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?，常見的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性．注意方程中的參數(shù)的變化范圍．19、（1）表格見解析，有；（2）分布列見解析，【解題分析】

（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算，得到答案.（2）依題意隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，計(jì)算概率得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【題目詳解】（1）甲班乙班合計(jì)大于等于80分的人數(shù)122032小于80分的人數(shù)282048合計(jì)404080依題意得.有以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.（2）從乙班，，分?jǐn)?shù)段中抽人數(shù)分別為2、3、2.依題意隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3.，，，，0123.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、(1);(2).【解題分析】分析：（1）根據(jù)動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，結(jié)合橢圓的定義，即可求得動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（2）由題可知，，因圓心坐標(biāo)在直線上，則直徑，將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值.根據(jù)題意設(shè)直線方程為，設(shè),與橢圓方程聯(lián)立，整理得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理及，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由此可以求出四邊形面積的最大值.詳解：解：（1）依題意得：，圓的半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，圓內(nèi)切于圓，，點(diǎn)的軌跡為橢圓，設(shè)其方程為則，，，軌跡的方程為：.（2）點(diǎn)在直線上，即直線經(jīng)過圓的圓心，，故設(shè)直線方程為，設(shè),聯(lián)立消得，，且，，四邊形的面積，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即四邊形面積的最大值為.點(diǎn)睛：本題考查曲線的軌跡方程求法和直線與圓錐曲線位置關(guān)系，考查對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的最大值求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.解決直線與圓錐曲線綜合問題基本步驟為：（1）設(shè)，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程，注意考慮直線斜率是否存在;（2）聯(lián)，即聯(lián)立直線方程與圓錐曲線，消元;（3）判，即直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以通過判別式加以判斷;（4）韋，即韋達(dá)定理，確定兩根與系數(shù)的關(guān)系.（5）代，即根據(jù)已知條件，將所求問題轉(zhuǎn)換到與兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程相關(guān)的問題，進(jìn)而求解問題.21、（1）（2）見解析【解題分析】

(1)在上恒成立即在上恒成立