四川省瀘州市合江天立學(xué)校高2024屆數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

四川省瀘州市合江天立學(xué)校高2024屆數(shù)學(xué)高二下期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則()A． B． C． D．以上都不正確2．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A． B． C． D．3．設(shè)直線與圓交于A，B兩點，圓心為C，若為直角三角形，則（）A．0 B．2 C．4 D．0或44．某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（）A． B． C． D．5．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（）A．-3 B．0 C．3 D．20196．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．7．拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為A． B． C． D．9．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則其解析式為（）A． B． C． D．10．小紅和小明利用體育課時間進(jìn)行投籃游戲，規(guī)定雙方各投兩次，進(jìn)球次數(shù)多者獲勝．已知小紅投籃命中的概率為，小明投籃命中的概率為，且兩人投籃相互獨立，則小明獲勝的概率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)在時取得極大值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知復(fù)z=-1-2i(1+i)2，則復(fù)數(shù)zA．-34+14i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知X的分布列如圖所示，則X-101P0.20.3a（1），（2），（3），其中正確的個數(shù)為________.14．=.15．若為正實數(shù)，則的最大值為_______．16．已知為實數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，曲線，，C與l有且僅有一個公共點．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O為極點，A，B為C上的兩點，且，求的最大值．18．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點為原點，以極軸為軸的正半軸，取相同的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為.（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，曲線上任一點為，求的取值范圍．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：(2)求與交點的極坐標(biāo).20．（12分）第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行，這是2017年我國重要的主場外交活動，對推動國際和地區(qū)合作具有重要意義．某高中政教處為了調(diào)查學(xué)生對“一帶一路”的關(guān)注情況，在全校組織了“一帶一路知多少”的知識問卷測試，并從中隨機(jī)抽取了12份問卷，得到其測試成績（百分制），如莖葉圖所示．（1）寫出該樣本的眾數(shù)、中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計該校測試成績在70分以上的人數(shù)；（2）從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人．①記表示選取4人的成績的平均數(shù)，求；②記表示測試成績在80分以上的人數(shù)，求的分布和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)．（1）求的分布列（結(jié)果用數(shù)字表示）；（2）求所選3個中最多有1名女生的概率．22．（10分）現(xiàn)從某高中隨機(jī)抽取部分高二學(xué)生,調(diào)査其到校所需的時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學(xué)生到校所需時間不少于1小時,則可申請在學(xué)校住宿.若該校錄取1200名新生,請估計高二新生中有多少人可以申請住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學(xué)校的高二新生中任選4名學(xué)生,用表示所選4名學(xué)生中“到校所需時間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題意可得：據(jù)此有：.本題選擇B選項.2、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實數(shù)分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．3、D【解題分析】

是等腰三角形，若為直角三角形，則，求出圓心到直線的距離，則．【題目詳解】圓心為，半徑為，，∵為直角三角形，∴，而，∴，即，或4.故選：D.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．在直線與圓相交問題中垂徑定理常常要用到．4、B【解題分析】

解：根據(jù)題意，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽即4次獨立重復(fù)事件恰好發(fā)生2次，由n次獨立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率的公式可得，故選B．5、B【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此求出、、的值，進(jìn)而結(jié)合周期性分析可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則有，即，變形可得：，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則，故.故選：B.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性周期性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】設(shè)正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算.7、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出拋物線的焦點坐標(biāo).【題目詳解】由題意可知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，故選：C.【題目點撥】本題考查拋物線焦點坐標(biāo)的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，故選B.點睛:（1）解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．（2）三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)．9、C【解題分析】

設(shè)冪函數(shù)，代入點，即可求得解析式.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)，代入點，，解得，.故選C.【題目點撥】本題考查了冪函數(shù)解析式的求法.10、D【解題分析】

由題意可知，用表示小明、小紅的進(jìn)球數(shù)，所以當(dāng)小明獲勝時，進(jìn)球情況應(yīng)該是，由相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得?！绢}目詳解】由題意可知，用表示小明、小紅的進(jìn)球數(shù)，所以當(dāng)小明獲勝時，進(jìn)球情況應(yīng)該是，小明獲勝的概率是故選D?！绢}目點撥】本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分類討論思想意識以及運算能力。11、A【解題分析】

先對進(jìn)行求導(dǎo)，然后分別討論和時的極值點情況，隨后得到答案.【題目詳解】由得，當(dāng)時，，由，得，由，得.所以在取得極小值，不符合；當(dāng)時，令，得或，為使在時取得極大值，則有，所以，所以選A.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)極值點中含參問題，意在考查學(xué)生的分析能力和計算能力，對學(xué)生的分類討論思想要求較高，難度較大.12、C【解題分析】∵z=-1-2i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

由分布列先求出，再利用公式計算和即可.【題目詳解】解：由題意知：，即；綜上，故（1）正確，（2）（3）錯誤，正確的個數(shù)是1.故答案為：1.【題目點撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】令=y≥0，則（y≥0），∴表示的是上半圓在第一象限的部分的面積，其值等于，，所以=+=.考點：定積分.15、【解題分析】

設(shè)恒成立，可知；將不等式整理為，從而可得，解不等式求得的取值范圍，從而得到所求的最大值.【題目詳解】設(shè)恒成立，可知則：恒成立即：恒成立，解得：的最大值為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶愚D(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，從而構(gòu)造出不等式求解出的取值范圍，從而求得所求最值，屬于較難題.16、-3【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法、乘法運算整理可得：，利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)列方程可得：，問題得解．【題目詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則解得：故填：【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，還考查了純虛數(shù)的概念及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（3）（3）【解題分析】

試題分析（I）把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出a；（II）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=3cosθ+3cos（θ+）=3cos（θ+），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解：（Ⅰ）曲線C：ρ=3acosθ（a＞2），變形ρ3=3ρacosθ，化為x3+y3=3ax，即（x﹣a）3+y3=a3．∴曲線C是以（a，2）為圓心，以a為半徑的圓；由l：ρcos（θ﹣）=，展開為，∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=2．由直線l與圓C相切可得=a，解得a=3．（Ⅱ）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=3cosθ+3cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=3cos（θ+），當(dāng)θ=﹣時，|OA|+|OB|取得最大值3．考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．18、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）的取值范圍是.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）利用，將轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，利用消參法法去直線參數(shù)方程中的參數(shù)，得到直線的普通方程；（Ⅱ）根據(jù)伸縮變換公式求出變換后的曲線方程，然后利用參數(shù)方程表示出曲線上任意一點，代入，根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式求出其范圍即可．試題解析：（Ⅰ）直線的普通方程曲線的直角坐標(biāo)方程為（Ⅱ）曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線的方程為，即又點在曲線上，則（為參數(shù)）代入，得所以的取值范圍是．考點：1、參數(shù)方程與普能方程的互化；2、圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；3、伸縮變換．19、（1）（2）與交點的極坐標(biāo)為，和【解題分析】

（1）先把曲線化成直角坐標(biāo)方程，再化簡成極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【題目詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即.的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程為；(2)聯(lián)立可得：，與交點的極坐標(biāo)為，和.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的互化，也考查了極坐標(biāo)方程的聯(lián)立，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）①，②.【解題分析】試題分析：（1）眾數(shù)為，中位數(shù)為，抽取的人中，分以下的有人，不低于分的有人，從而求出從該校學(xué)生中任選人，這個人測試成績在分以上的概率，由此能求出該校這次測試成績在分以上的人數(shù)；（2）①由題意知分以上的有，，，，，，，，當(dāng)所選取的四個人的成績的平均分大于分時，有兩類：一類是：，，，，共1種；另一類是：，，，，共3種．由此能求出；②由題意得的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和．試題解析：(1)眾數(shù)為76，中位數(shù)為76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故從該校學(xué)生中人選1人，這個人測試成績在70分以上的概率為，故該校這次測試成績在70分以上的約有（人）(2)①由題意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.當(dāng)所選取的四個人的成績的平均分大于87分時，有兩類.一類是82，88，93，94，共1種；另一類是76，88，93，94，共3種.所以.②由題意可得，的可能取值為0，1，2，3，4,,,,.的分別列為01234.21、（1）見解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）由于總共只有2名女生，因此隨機(jī)變量的取值只能為0,1，2，計算概率為，可寫出分布列；（2）顯然事件是互斥的，因此．試題解析：（1）由題意知本題是一個超幾何分步，隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)，可能取的值為0，1，2，的分布列為：012（2）由（1）知所選3人中最多有一名女生的概率為：．考點：隨機(jī)變量