南京大學高等代數(shù)期末考試題及答案

1、南京大學高等代數(shù)2013年期末考試試卷及答案（A卷）一、 填空題（每小題3分，共15分）1、線性空間的兩個子空間的交2、設(shè)與是n維線性空間 V的兩個基，由到的過渡矩陣是C，列向量X是V中向量在基下的坐標，則在基下的坐標是3、設(shè)A、B是n維線性空間V的某一線性變換在不同基下的矩陣，則A與B的關(guān)系是 4、設(shè)3階方陣A的3個行列式因子分別為：則其特征矩陣的標準形是5、線性方程組的最小二乘解所滿足的線性方程組是： 二、 單項選擇題（每小題3分，共15分）1、 （ ）復(fù)數(shù)域C作為實數(shù)域R上的線性空間可與下列哪一個線性空間同構(gòu)：（A）數(shù)域P上所有二級對角矩陣作成的線性空間；（B）數(shù)域P上所有二級對稱矩陣作

2、成的線性空間；（C）數(shù)域P上所有二級反對稱矩陣作成的線性空間；（D）復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間。2、（ ）設(shè)A是非零線性空間 V 的線性變換，則下列命題正確的是： （A）A的核是零子空間的充要條件是A是滿射；（B）A的核是V的充要條件是A是滿射； （C）A的值域是零子空間的充要條件是A是滿射； （D）A的值域是V的充要條件是A是滿射。3、（ ）矩陣可逆的充要條件是： 是一個非零常數(shù)；是滿秩的；是方陣。4、（ ）設(shè)實二次型（A為對稱陣）經(jīng)正交變換后化為：， 則其中的是：全是正數(shù)；是A的所有特征值；不確定。5、（ ）設(shè)3階實對稱矩陣A有三重特征根“”，則A的若當標準形是：以上各情形皆有可能。

3、三、 是非題（每小題2分，共10分）（請在你認為對的小題對應(yīng)的括號內(nèi)打“”，否則打“´”）1、（ ）設(shè)V1，V2均是n維線性空間V的子空間，且則。2、（ ）n維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下的矩陣是一對角矩陣。3、（ ）同階方陣A與B相似的充要條件是與 等價。4、（ ）n維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣。5、（ ）歐氏空間的內(nèi)積是一對稱的雙線性函數(shù)。四、 解答題（每小題10分，共30分）1、在線性空間中，定義線性變換：（1）求該線性變換A在自然基：下的矩陣A；（2）求矩陣A的所有特征值和特征向量。2、（1）求線性空間中從基到基的過渡矩陣；（2）求線性空間

4、中向量在基下的坐標。 3、在R2中，規(guī)定二元函數(shù)：（1） 證明：這是R2的一個內(nèi)積。（2） 求R2的一個標準正交基。五、 證明題（每小題10分，共30分）1、 設(shè)P3的兩個子空間分別為： 證明：（1）；（2）不是直和。2、設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，證明 是A的不變子空間的兗要條件是3、已知是n級正定矩陣，證明：（1）A是正定矩陣；（2）參考答案一、 填空題（每小題3分，共15分）1、線性空間的兩個子空間的交2、設(shè)與是n維線性空間 V的兩個基，由到的過渡矩陣是C，列向量X是V中向量在基下的坐標，則在基下的坐標是3、設(shè)A、B是n維線性空間V的某一線性變換在不同基下的矩陣，則A與B的關(guān)系是

5、 相似關(guān)系 4、設(shè)3階方陣A的3個行列式因子分別為：則其特征矩陣的標準形是5、線性方程組的最小二乘解所滿足的線性方程組是： 二、 單項選擇題（每小題3分，共15分）2、 （ A ）復(fù)數(shù)域C作為實數(shù)域R上的線性空間可與下列哪一個線性空間同構(gòu)：（A）數(shù)域P上所有二級對角矩陣作成的線性空間；（B）數(shù)域P上所有二級對稱矩陣作成的線性空間；（C）數(shù)域P上所有二級反對稱矩陣作成的線性空間；（D）復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間。2、（ D ）設(shè)A是非零線性空間 V 的線性變換，則下列命題正確的是： （A）A的核是零子空間的充要條件是A是滿射；（B）A的核是V的充要條件是A是滿射； （C）A的值域是零子空間

6、的充要條件是A是滿射； （D）A的值域是V的充要條件是A是滿射。3、（ B ）矩陣可逆的充要條件是： 是一個非零常數(shù)；是滿秩的；是方陣。4、（ C ）設(shè)實二次型（A為對稱陣）經(jīng)正交變換后化為：， 則其中的是：全是正數(shù)；是A的所有特征值；不確定。5、（ A ）設(shè)3階實對稱矩陣A有三重特征根“”，則A的若當標準形是：以上各情形皆有可能。三、 是非題（每小題2分，共10分）（請在你認為對的小題對應(yīng)的括號內(nèi)打“”，否則打“´”）1、（ × ）設(shè)V1，V2均是n維線性空間V的子空間，且則。2、（ ）n維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下的矩陣是一對角矩陣。3、（ ）同階方陣

7、A與B相似的充要條件是與 等價。4、（ × ）n維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣。5、（ ）歐氏空間的內(nèi)積是一對稱的雙線性函數(shù)。四、 解答題（每小題10分，共30分）1、在線性空間中，定義線性變換：（1）求該線性變換A在自然基：下的矩陣A；（2）求矩陣A的所有特征值和特征向量。解：（1）線性變換A在自然基下的矩陣是（5分） （2）因為 所以矩陣A的所有特征值是 解齊次線性方程組 得矩陣A的所有特征向量：，其中不全為零。 （5分）2、（1）求線性空間中從基到基的過渡矩陣；（2）求線性空間中向量在基下的坐標。解：（1）因為所以 即所求的過渡矩陣為 （5分）（2）因為故所以

8、在基下的坐標是： （5分）3、在R2中，規(guī)定二元函數(shù)：（3） 證明：這是R2的一個內(nèi)積。（4） 求R2的一個標準正交基。（1）證明：因為是正定矩陣，所以這個二元函數(shù)是R2的一個內(nèi)積。 （5分）（2）解：考察自然基它的度量矩陣正是令： 再令：則是R2的一個標準正交基。 （5分）（2）解法二：考察自然基它的度量矩陣正是 令：即：則 的度量矩陣是E，從而是R2的一個標準正交基。五、 證明題（每小題10分，共30分）2、 設(shè)P3的兩個子空間分別為： 證明：（1）；（2）不是直和。證明：（1）W1的一個基是：W2的一個基是：因為其中是的生成元的一個極大無關(guān)組從而是的一個基，所以 （5分）（2）因即所以不是直和。 （5分）（2）之證法二：因為所以不是直和。2、設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，證明 是A的不變子空間的兗要條件是證明：（充分性）設(shè)有是A的不變子