2024屆寧夏大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆寧夏大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)在橢圓上，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，的中點(diǎn)在軸上，則等于（）A． B． C． D．2．圓截直線所得的弦長(zhǎng)為，則（）A． B． C． D．23．若隨機(jī)變量，且，則等于（）A． B． C． D．4．在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C．1 D．e6．現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知a＝，b＝，c＝，則()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a8．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B． C． D．9．下列說(shuō)法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差也變?yōu)樵瓉?lái)的倍；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位；③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱；④在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，若位于區(qū)域的概率為，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為⑤在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好；其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．-1 B． C．1 D．-311．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_________．14．關(guān)于x的方程有兩個(gè)正實(shí)根的概率是______；15．已知圓C1：，圓C2：，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_____．16．已知離散型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角；（2）若，求的取值范圍．18．（12分）如圖,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中,為側(cè)面的對(duì)角線的交點(diǎn),分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面//平面；(2)求二面角的余弦值.19．（12分）甲、乙、丙三人組成一個(gè)小組參加電視臺(tái)舉辦的聽(tīng)曲猜歌名活動(dòng)，在每一輪活動(dòng)中，依次播放三首樂(lè)曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯(cuò)，則活動(dòng)立即結(jié)束；若三人均猜對(duì)，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動(dòng)．已知每一輪甲猜對(duì)歌名的概率是34，乙猜對(duì)歌名的概率是23，丙猜對(duì)歌名的概率是(I)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）某小組有7個(gè)同學(xué)，其中4個(gè)同學(xué)從來(lái)沒(méi)有參加過(guò)天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，3個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過(guò)天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)．（1）現(xiàn)從該小組中隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，求恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率；（2）若從該小組隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，則活動(dòng)結(jié)束后，該小組有參加過(guò)天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長(zhǎng)的線段公共點(diǎn)為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)，當(dāng)在同一水平面內(nèi)時(shí)，求與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個(gè)線段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小，且保持三個(gè)線段與底面成角相同，若，，問(wèn)為何值時(shí)，的體積最大，并求出最大值．22．（10分）高二某班名同學(xué)期末考完試后，商量購(gòu)買(mǎi)一些學(xué)習(xí)參考書(shū)準(zhǔn)備在高三時(shí)使用，大家約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪購(gòu)買(mǎi)，擲出點(diǎn)數(shù)大于或等于的人去圖書(shū)批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，擲出點(diǎn)數(shù)小于的人去網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)，且參加者必須從圖書(shū)批發(fā)市場(chǎng)和網(wǎng)上選擇一家購(gòu)買(mǎi).（1）求這人中至多有人去圖書(shū)批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)的概率；（2）用、分別表示這人中去圖書(shū)批發(fā)市場(chǎng)和網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】由題意可得，設(shè)P，且，所以=，選A.【題目點(diǎn)撥】若，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．2、A【解題分析】

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合垂徑定理及圓心到直線的距離,即可求得的值.【題目詳解】圓,即則由垂徑定理可得點(diǎn)到直線距離為根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可知,化簡(jiǎn)可得解得故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的普通方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化,垂徑定理及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性得出，由此可得出結(jié)果.【題目詳解】由于，則正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計(jì)算，解題時(shí)要確定正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)性列等式計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4、A【解題分析】

先將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，找到此時(shí)的圓心再化為極坐標(biāo).【題目詳解】可化簡(jiǎn)為：根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得：化簡(jiǎn)可得：即：圓心為：故圓心的極坐標(biāo)為：故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化和圓的極坐標(biāo)方程，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)取極值點(diǎn)時(shí)導(dǎo)函數(shù)為0可求得a的值．【題目詳解】函數(shù)的極值點(diǎn)，所以；因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則；所以；解得；則實(shí)數(shù)a的值為；故選：B．【題目點(diǎn)撥】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題.6、C【解題分析】先排剩下5人，再?gòu)漠a(chǎn)生的6個(gè)空格中選3個(gè)位置排甲、乙、丙三人，即，選C.7、D【解題分析】

分別考查指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)性和冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)性即可得出．【題目詳解】∵y＝在R上為減函數(shù)，>，∴b<c.又∵y＝在(0，＋∞)上為增函數(shù)，>，∴a>c，∴b<c<a.故選：D【題目點(diǎn)撥】熟練掌握指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．8、D【解題分析】分析：橢圓的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，求解，再得出準(zhǔn)線方程．詳解：橢圓的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，解得，得出準(zhǔn)線方程點(diǎn)睛：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程9、B【解題分析】

逐個(gè)分析，判斷正誤．①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的倍；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位；③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；線性相關(guān)系數(shù)越接近于，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱；④服從正態(tài)分布，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為；⑤在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好．【題目詳解】①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的倍，錯(cuò)誤；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位，正確；③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；線性相關(guān)系數(shù)越接近于，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，③錯(cuò)誤；④服從正態(tài)分布，則位于區(qū)域內(nèi)的概率為，④錯(cuò)誤；⑤在線性回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好；正確故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有標(biāo)準(zhǔn)差，線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)，正態(tài)分布等，比較綜合，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算可得z＝1﹣3i，從而可得答案．【題目詳解】,∴復(fù)數(shù)z的虛部是-3故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)后可得方程至多有兩個(gè)解．因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的解，故方程有兩個(gè)不同的解，且，，最后利用函數(shù)的圖像特征可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；所以的圖像如圖所示：又時(shí)，，又的值域?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，所以方程即有兩個(gè)不同的解，令，故，解得，故選B．【題目點(diǎn)撥】復(fù)合方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，后者可先利用導(dǎo)數(shù)等工具刻畫(huà)的圖像特征，結(jié)合原來(lái)方程解的個(gè)數(shù)得到的限制條件，再利用常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)刻畫(huà)的圖像特征從而得到參數(shù)的取值范圍．12、D【解題分析】

利用直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義離心率計(jì)算公式即可得出．【題目詳解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直線的斜率為故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三邊關(guān)系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-5【解題分析】分析：畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，把目標(biāo)函數(shù)平移到點(diǎn)A處，求得函數(shù)的最小值，即可．詳解：由題意，畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)，即，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)在軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，代入可得目標(biāo)函數(shù)的最小值為．點(diǎn)睛：線性規(guī)劃問(wèn)題有三類(lèi):（1）簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，包括畫(huà)出可行域和考查截距型目標(biāo)函數(shù)的最值，有時(shí)考查斜率型或距離型目標(biāo)函數(shù)；（2）線性規(guī)劃逆向思維問(wèn)題，給出最值或最優(yōu)解個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍；（3）線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，本題就是第三類(lèi)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.14、【解題分析】

由題意求出方程有兩個(gè)正實(shí)根的的取值范圍，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式即可求解.【題目詳解】關(guān)于x的方程有兩個(gè)正實(shí)根，設(shè)兩個(gè)正實(shí)根為，則，解得，又，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了幾何概型（長(zhǎng)度型）的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

求出圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可得到的最小值.【題目詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的對(duì)稱(chēng)圓的方程的求法，以及兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把的最小值轉(zhuǎn)化為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.16、【解題分析】∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，∴μ=1，得對(duì)稱(chēng)軸是x=1．∵，∴P（1<ξ<3）==0.468，∴P（1＜ξ＜3）=0.468=．故答案為．點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－1σ<X≤μ＋1σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間面積為1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）運(yùn)用三角形的余弦定理，可得sinC，可得角C；

（2）運(yùn)用正弦定理和兩角差的正余弦公式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．試題解析：（1）由余弦定理，可得，所以，所以，又，所以．（2）由正弦定理，，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以得，所以，，即．18、(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解題分析】

（1）利用線線平行證明平面//平面，（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建系求解即可．【題目詳解】（1）證明分別為邊的中點(diǎn)，可得,又由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得故有，由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得為的中點(diǎn)，又由為的中點(diǎn)，可得.由，平面，，平面，得平面，平面，，可得平面平面.（2）為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，取，有同樣可求出平面的一個(gè)法向量，，結(jié)合圖形二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題屬于基礎(chǔ)題，線線平行的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理要熟練掌握，利用空間向量的夾角公式求解二面角．19、（Ⅰ）34（Ⅱ）ξ的分別列為Eξ=0×1【解題分析】試題分析：（1）分別將甲、乙、丙第i次猜對(duì)歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則A（2）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．試題解析：分別將甲、乙、丙第i次猜對(duì)歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則（Ⅰ）該小組未能進(jìn)入第二輪的概率P=P(=P(A（Ⅱ）乙猜對(duì)歌曲次數(shù)ξ的可能取值為0,1,2,3，P(ξ=0)=P(AP(ξ=1)=P(A=P(=1P(ξ=2)=P(A==1P(ξ=3)=P(A∴ξ的分別列為Eξ=0×1點(diǎn)睛：本題考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解題分析】

（1）恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)為事件，則，計(jì)算得到答案、（2）隨機(jī)變量，計(jì)算，，，得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【題目詳解】（1）記“恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)”為事件，則其概率為．（2）隨機(jī)變量，，，．∴隨機(jī)變量的分布列為234∴．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的計(jì)算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、（1）正四面體；理由見(jiàn)解析（2）；（3）當(dāng)時(shí)，最大體積為：；【解題分析】

（1）根據(jù)線段等長(zhǎng)首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點(diǎn)均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn)，可知四面體棱長(zhǎng)均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，利用表示出各邊，利用勾股定理構(gòu)造方程可求得，從而可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）取中點(diǎn)，利用三線合一性質(zhì)可知，從而可用表示出底面邊長(zhǎng)和三棱錐的高，根據(jù)三棱錐體積公式可將體積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，并確定此時(shí)的取值，從而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線段等長(zhǎng)，即到四面體四個(gè)頂點(diǎn)距離相等為四面體外接球的球心又底面在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長(zhǎng)