福建省三明市永安第三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

福建省三明市永安第三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè),，，則（）A． B． C． D．2．如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，是的極大值點(diǎn)B．，是的極小值點(diǎn)C．，不是的極值點(diǎn)D．，是是的極值點(diǎn)3．正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)使得，且，則的最小值是()A． B．2 C． D．4．已知向量，，若與垂直，則（）A．2 B．3 C． D．5．對(duì)于兩個(gè)平面和兩條直線，下列命題中真命題是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．設(shè)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．7．已知向量，，若，則（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－18．過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C．10 D．209．已知復(fù)數(shù)滿足方程，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部和為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．10．在5張撲克牌中有3張“紅心”和2張“方塊”，如果不放回地依次抽取2張牌，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為A．625 B．310 C．311．設(shè)集合,，則（）A． B． C． D．12．由曲線與直線，所圍成的封閉圖形面積為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線與上，且，，若為定值，則橢圓的離心率為_(kāi)_____.14．袋中裝有10個(gè)形狀大小均相同的小球，其中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球.從中不放回地依次摸出2個(gè)球，記事件“第一次摸出的是紅球”，事件“第二次摸出的是白球”，則______.15．已知函數(shù)，的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．16．“”是“”的_______條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一個(gè)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中）.（1）若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（3）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是線段的中點(diǎn),平面.(1)求證:平面；(2)若,求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.19．（12分）設(shè)全體空間向量組成的集合為，為中的一個(gè)單位向量，建立一個(gè)“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函數(shù)”.（1）設(shè)，，若，求向量；（2）對(duì)于中的任意兩個(gè)向量，，證明：；（3）對(duì)于中的任意單位向量，求的最大值.20．（12分）為了探究車流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與的數(shù)據(jù)如表：時(shí)間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日車流量（萬(wàn)輛）1234567的濃度（微克/立方米）28303541495662（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（提示數(shù)據(jù)：）（2）（I）利用（1）所求的回歸方程，預(yù)測(cè)該市車流量為12萬(wàn)輛時(shí)的濃度；（II）規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量不超過(guò)多少萬(wàn)輛？（結(jié)果以萬(wàn)輛為單位，保留整數(shù)）參考公式：回歸直線的方程是，其中，.21．（12分）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)（1）求的值；（2）求的值22．（10分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若方程在區(qū)間有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先研究函數(shù)單調(diào)性，再比較大小.【題目詳解】,令，則因此當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.2、B【解題分析】

由圖判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合為在點(diǎn)P處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【題目詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點(diǎn)，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題通過(guò)圖象考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析圖象不難求解.3、A【解題分析】試題分析：由得解得，再由得，所以，所以.考點(diǎn)：數(shù)列與基本不等式.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，也即求出等比數(shù)列的基本元，在求解過(guò)程中，先對(duì)具體的數(shù)值條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求出，由此化簡(jiǎn)第一個(gè)條件，可得到；接下來(lái)第二步是基本不等式常用的處理技巧，先乘以一個(gè)常數(shù)，再除以這個(gè)常數(shù)，構(gòu)造基本不等式結(jié)構(gòu)來(lái)求.4、B【解題分析】分析：先求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量垂直的結(jié)論列出等式求出x，再求即可.詳解：由題可得：故選B.點(diǎn)睛：考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直關(guān)系和模長(zhǎng)計(jì)算，正確求解x是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)線面平行垂直的位置關(guān)系判斷．【題目詳解】A中可能在內(nèi)，A錯(cuò)；B中也可能在內(nèi)，B錯(cuò)；與可能平行，C錯(cuò)；，則或，若，則由得，若，則內(nèi)有直線，而易知，從而，D正確．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行與垂直的關(guān)系，在說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤時(shí)可舉一反例．說(shuō)明命題是正確時(shí)必須證明．6、B【解題分析】

設(shè)，計(jì)算，變換得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到，解得答案.【題目詳解】由題意，得，進(jìn)而得到，令，則，，.由，得，即.當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).函數(shù)是偶函數(shù)，也是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，解得，又，即，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性和奇偶性是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

根據(jù)題意得到的坐標(biāo)，由可得的值.【題目詳解】由題，，，或，故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查利用坐標(biāo)法求向量差及根據(jù)向量垂直的數(shù)量積關(guān)系求參數(shù)8、D【解題分析】

判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，得出過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，得出A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則有，再計(jì)算的值．【題目詳解】，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，則．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．9、D【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到z，由實(shí)部與虛部的和為1，可求得的值．詳解：因?yàn)樗砸驗(yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部和為即所以所以選D點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

因?yàn)槭遣环呕爻闃?，故在第一次抽到“紅心”時(shí)，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，根據(jù)隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式，即可計(jì)算第二次抽到“紅心”的概率．【題目詳解】因?yàn)槭遣环呕爻闃?，故在第一次抽到“紅心”的條件下，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，第二次抽取時(shí)，所有的基本事件有4個(gè)，符合“抽到紅心”的基本事件有2個(gè)，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為12故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題給出無(wú)放回抽樣模型，著重考查抽樣方法的理解和隨機(jī)事件的概率等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

先求出集合、，再利用交集的運(yùn)算律可得出集合.【題目詳解】，，因此，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)于集合運(yùn)算律的理解應(yīng)用，對(duì)于無(wú)限集之間的運(yùn)算，還可以結(jié)合數(shù)軸來(lái)理解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】根據(jù)題意作出所圍成的圖形，如圖所示，圖中從左至右三個(gè)交點(diǎn)分別為，所以題中所求面積為，故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)，求出M，N的坐標(biāo)，得出關(guān)于的式子，根據(jù)P在橢圓上得到的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【題目詳解】設(shè)，則直線PM的方程為，直線PN的方程為，聯(lián)立方程組，解得，聯(lián)立方程組，解得，則又點(diǎn)P在橢圓上，則有，因?yàn)闉槎ㄖ?，則，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓離心率的求法，有一定的難度.14、【解題分析】

首先第一次摸出紅球?yàn)槭录?，第二次摸出白球?yàn)槭录?，分別求出，利用條件概率公式，即可求解．【題目詳解】由題意，事件A“第一次摸到紅球”的概率為：，又由“第一次摸到紅球且第二次摸到白球”的概率為，根據(jù)條件概率公式，可得，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了概率的計(jì)算方法，主要是考查了條件概率與獨(dú)立事件的理解，屬于中檔題．看準(zhǔn)確事件之間的聯(lián)系，正確運(yùn)用公式，是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．15、【解題分析】

求導(dǎo)后，若，則，可驗(yàn)證出不合題意；當(dāng)時(shí)，求解出的單調(diào)性，分別在，，三種情況下通過(guò)最大值取得的點(diǎn)構(gòu)造關(guān)于最值的方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，解得：，不合題意，舍去當(dāng)時(shí)，令，解得：，可知在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增①當(dāng)，即時(shí)，解得：，不合題意，舍去②當(dāng)，即時(shí)，，解得：③當(dāng)，即時(shí)解得：，不合題意，舍去綜上所述：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)，通過(guò)對(duì)極值點(diǎn)位置的討論確定最值取得的點(diǎn)，從而可利用最值構(gòu)造出方程，求解出參數(shù)的取值范圍.16、必要不充分【解題分析】

解出的解集，根據(jù)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.【題目詳解】，或“”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分【題目點(diǎn)撥】本題考查充分、必要條件充分、必要條件的三種判斷方法:(1)定義法：根據(jù)進(jìn)行判斷．(2)集合法：根據(jù)成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或4；（2）；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)條件列方程解得結(jié)果，（2）根據(jù)純虛數(shù)定義列式求解，（3）根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義列不等式解得結(jié)果【題目詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，所以，所以或4；（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，所以（3）因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以解不等式組得，，即的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)相關(guān)概念以及復(fù)數(shù)幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】分析：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可通過(guò)線面垂直的判定方法證得平面；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，即可求得答案.詳解：(1)證明方法一:連接，因?yàn)榈酌媸堑妊菪吻宜?，，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，因此，且，所以，且，又因?yàn)榍?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以，平面平面，在平行四邊形中，因?yàn)?所以平行四邊形是菱形，因此，所以平面.解法二：底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,，由得，所以,,,，因此，且，所以且，所以，平面.(2)底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,，所以，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由得，由是平面的法向量，因此，平面和平面所成的銳二面角的余弦值是.點(diǎn)睛：本題考查用空間向量求平面間的夾角，主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等相關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.19、（1）或；（2）見(jiàn)解析；（3）最大值為.【解題分析】分析：（1），設(shè)，代入運(yùn)算得：，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，，，則利用“向量函數(shù)”的解析式化簡(jiǎn)，從而可得結(jié)果；（3）設(shè)與的夾角為，則，則，即最大值為.詳解：（1）依題意得：，設(shè)，代入運(yùn)算得：或；（2）設(shè)，，，則從而得證；（3）設(shè)與的夾角為，則，則，故最大值為.點(diǎn)睛：新定義問(wèn)題一般先考察對(duì)定義的理解，這時(shí)只需一一驗(yàn)證定義中各個(gè)條件即可.二是考查滿足新定義的函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時(shí)需結(jié)合新函數(shù)的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).三是考查綜合分析能力，主要將新性質(zhì)有機(jī)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)，創(chuàng)造性證明更新的性質(zhì).20、(1);(2)(ⅰ)91微克/立方米;(ⅱ)13萬(wàn)輛.【解題分析】

(1)由數(shù)據(jù)可得：，，結(jié)合回歸方程計(jì)算系數(shù)可得關(guān)于的線性回歸方程為.(2)(I)結(jié)合(1)中的回歸方程可預(yù)測(cè)車流量為12萬(wàn)輛時(shí)，的濃度為91微克/立方米.(II)由題意得到關(guān)于x的不等式，求解不等式可得要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱?，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬(wàn)輛以內(nèi).【題目詳解】(1)由數(shù)據(jù)可得：，，，，，故關(guān)于的線性回歸方程為.(2)(I)當(dāng)車流量為12萬(wàn)輛時(shí)，即時(shí)，.故車流量為12萬(wàn)輛時(shí)，的濃度為91微克/立方米.(II)根據(jù)題意信息得：，即，故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或?yàn)榱?，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在13萬(wàn)輛以內(nèi).【