四川省成都市青羊區(qū)石室中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

四川省成都市青羊區(qū)石室中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)據(jù)，2的平均值為2，方差為1，則數(shù)據(jù)相對(duì)于原數(shù)據(jù)()A．一樣穩(wěn)定 B．變得比較穩(wěn)定C．變得比較不穩(wěn)定 D．穩(wěn)定性不可以判斷2．已知樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合為，樣本中心點(diǎn)為，且其回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為（）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)，其中，，存在使得成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．4．一個(gè)正方體的展開如圖所示，點(diǎn)，，為原正方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)為原正方體一條棱的中點(diǎn)，那么在原來的正方體中，直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，若曲線與交于、兩點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．6．設(shè)p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；q:m≥43A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知展開式的常數(shù)項(xiàng)為15，則（）A． B．0 C．1 D．-18．將偶函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的曲線的對(duì)稱中心為（）A． B．C． D．9．5人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數(shù)為（）A．18 B．24 C．36 D．4810．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成（）A．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除B．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除C．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除D．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除12．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開二項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)為_________.14．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)________.（其中為虛數(shù)單位）15．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和記為，則__________.16．?dāng)?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若記數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為等腰直角三角形，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（1）求證：面面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．18．（12分）如圖（1）是一個(gè)仿古的首飾盒，其左視圖是由一個(gè)半徑為分米的半圓和矩形組成，其中長為分米，如圖（2）.為了美觀，要求.已知該首飾盒的長為分米，容積為4立方分米（不計(jì)厚度），假設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用只與其表面積有關(guān)，下半部分的制作費(fèi)用為每平方分米2百元，上半部制作費(fèi)用為每平方分米4百元，設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用為百元.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，該首飾盒的制作費(fèi)用最低？19．（12分）大型水果超市每天以元/千克的價(jià)格從水果基地購進(jìn)若干水果，然后以元/千克的價(jià)格出售，若有剩余，則將剩余的水果以元/千克的價(jià)格退回水果基地，為了確定進(jìn)貨數(shù)量，該超市記錄了水果最近天的日需求量（單位：千克），整理得下表：日需求量頻數(shù)以天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.（1）求該超市水果日需求量（單位：千克）的分布列；（2）若該超市一天購進(jìn)水果千克，記超市當(dāng)天水果獲得的利潤為（單位：元），求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù).若曲線和曲線都過點(diǎn),且在點(diǎn)處有相同的切線.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若時(shí),,求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）的單調(diào)遞減區(qū)間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)均值定義列式計(jì)算可得的和，從而得它們的均值，再由方差公式可得，從而得方差．然后判斷．【題目詳解】由題可得：平均值為2，由，，所以變得不穩(wěn)定.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查均值與方差的計(jì)算公式，考查方差的含義．屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，可得，然后代值計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當(dāng)當(dāng)時(shí)，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，lnx2）與動(dòng)點(diǎn)N（A，2A）之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y=2lnx的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲線上點(diǎn)M（1，0）到直線y=2x的距離最小，最小距離D=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（）≤，則f（）=，此時(shí)N恰好為垂足，由，解得考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用4、D【解題分析】分析：先還原正方體，將對(duì)應(yīng)的字母標(biāo)出，與所成角等于與所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.詳解：還原正方體，如圖所示，設(shè)，則，與所成角等于與所成角，余弦值為，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查異面直線所成的角以及空間想象能力，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對(duì)值.5、B【解題分析】

由題意可知曲線與交于原點(diǎn)和另外一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，聯(lián)立兩曲線的極坐標(biāo)方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【題目詳解】易知，曲線與均過原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，聯(lián)立曲線與的坐標(biāo)方程，解得，因此，，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩圓的相交弦長的計(jì)算，常規(guī)方法就是計(jì)算出兩圓的相交弦方程，計(jì)算出弦心距，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，也可以聯(lián)立極坐標(biāo)方程，計(jì)算出兩極徑的值，利用兩極徑的差來計(jì)算，考查方程思想的應(yīng)用，屬于中等題.6、C【解題分析】試題分析：由f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，得f'(x)=3x2+4x+m≥0在R上恒成立，只需Δ=16-12m≤0，即m≥考點(diǎn)：1、充分條件與必要條件；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.7、A【解題分析】

先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)為15，求得的值．【題目詳解】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，由此求得，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)求出函數(shù)解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求對(duì)稱軸即可.【題目詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∴．令，得．故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.9、D【解題分析】

將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【題目詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數(shù)為：故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡單題.10、A【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可化簡求解.【題目詳解】函數(shù)則，所以，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)的求值，指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】注意n為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意n為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵．12、C【解題分析】

求導(dǎo)計(jì)算處導(dǎo)數(shù)，畫出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，則，；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；畫出和函數(shù)圖像，如圖所示：函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖像知.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)可得出二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，得.所以，二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，解題時(shí)要充分利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，利用的指數(shù)來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則，分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)化簡成的形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出所求即可．【題目詳解】，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】試題分析：由可得：，所以,則數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3，所以?？键c(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)公式。16、2【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析兩組數(shù)據(jù)之間關(guān)系，再根據(jù)數(shù)據(jù)變化規(guī)律確定對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差變化規(guī)律，即得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，所以，因此，即故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)以及數(shù)據(jù)變化對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響規(guī)律，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，先證明面，再由面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）先由題中數(shù)據(jù)，得到；再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）證明：∵，為棱的中點(diǎn)，∴，又∵為菱形且，∴，∵，∴面，∵面，∴面面；（2）解：∵，，∴，，又，∴，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由，取，得．設(shè)直線與平面所成角為．所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查證明面面垂直，以及求線面角的正弦值，熟記線面垂直、面面垂直的判定定理，以及空間向量的方法求線面角即可，屬于常考題型.18、（1）；（2）當(dāng)分米時(shí)，該首飾盒制作費(fèi)用最低.【解題分析】分析：該幾何體下面是一個(gè)長方體，上面是半個(gè)圓柱，由體積求得，然后分別求出上半部分和下半部分的面積，從而可得關(guān)于的解析式，注意要由可求得的取值范圍．（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值．詳解：（1）由題知，∴.又因，得，∴.（2）令，∴，令則，∵，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).∴時(shí)，最小.答：當(dāng)分米時(shí)，該首飾盒制作費(fèi)用最低.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解題關(guān)鍵是求出費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)解析式，解題中要注意求出的取值范圍．然后就可由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得最小值．19、(1)分布列見解析.(2)分布列見解析；元．【解題分析】分析：（1）根據(jù)表格得到該超市水果日需求量（單位：千克）的分布列；（2）若A水果日需求量為140千克，則X=140×（15﹣10）﹣（150﹣140）×（10﹣8）=680元，則P（X=680）==0.1．若A水果日需求量不小于150千克，則X=150×（15﹣10）=750元，且P（X=750）=1﹣0.1=0.2．由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．詳解：（1）的分布列為（2）若水果日需求量為千克，則元，且.若水果日需求量不小于千克，則元，且.故的分布列為元.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布X～B(n，p))，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）通過證明，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解二面角的余弦值.【題目詳解】（1）平面，平面，所以，由已知條件得：，，所以平面.（2）由（1）結(jié)合已知條件以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，所以，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即：，取，則得：，同理可求：平面的一個(gè)法向量.設(shè)：平面和平面成角為，則.【題目點(diǎn)撥】此題考查線面垂直的證明和求二面角的余弦值，關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直的判定定理，根據(jù)法向量的關(guān)系求解二面角的余弦值.21、（I）；（II）.【解題分析】試題分析：（1）先求導(dǎo),根據(jù)題意,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,從而可求得的值．（2）由（1）知，,令,即證時(shí)．先將函數(shù)求導(dǎo),討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的增減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最值．使其最小值大于等于0即可．試題解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，，設(shè)